ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

Transcripción

1 LONGITUDES Y ÁREAS. 1. Perímetro y área Medidas del rectángulo Medidas del cuadrado Medidas del rombo Medidas del romboide Medidas de un paralelogramo cualquiera Medidas del triángulo Medidas del trapecio. 2. Los polígonos regulares. 3. La circunferencia y el círculo Longitud de la circunferencia Longitud de un arco Área del círculo Área de un sector circular Área de una corona circular. 4. Figuras compuestas. Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del Bloque de Geometría de 1º ESO citados Decreto 69/2007, de , por el que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM ) Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación. Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. APM Página 1

2 1. PERÍMETRO Y ÁREA. El perímetro de una figura plana es la suma de las longitudes de sus lados. Esa suma representa una medida de longitud. Por ello, las unidades utilizadas son el metro y todos sus múltiplos y submúltiplos. Veamos un ejemplo: Calcula el perímetro de la siguiente figura: P = 1,5 + 2, = 9 cm El área de una figura plana es la medida de la superficie que ocupa. Si, por ejemplo, se pide calcular cuánto mide la superficie que ocupa la siguiente figura, necesitamos tomar una unidad de medida y contar cuántas como ella hay en la superficie. Vamos a tomar como unidad de medida un cuadrado, u. Entonces, el área de la figura de la izquierda tomando como unidad de medida el cuadrado de la derecha es: 8 u 2. Normalmente, para medir las superficies se utiliza el metro cuadrado. El metro cuadrado (m 2 ) es la cantidad de superficie que ocupa un cuadrado de 1 metro de lado. APM Página 2

3 1.1. Medidas del rectángulo. El rectángulo de la figura se ha dibujado en papel cuadriculado. Calcula el perímetro. Si cada cuadradito mide 1 centímetro cuadrado, cuál es el área del rectángulo? El perímetro es P = = 24 cm. Si contamos los cuadraditos de la primera hay 8. Por tanto, en la primera fila hay 8 cm 2. Como hay 4 filas, el rectángulo tiene 8 x 4 = 32 cm 2. Por tanto, Si tenemos un rectángulo de base b y altura a: P rectángulo = 2a + 2b = 2(a+b) A rectángulo = base x altura = b x a 1.2. Medidas del cuadrado. El cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales. Por tanto, la base es igual a la altura. Luego, Si tenemos un cuadrado de lado l: P cuadrado = 4l A cuadrado = lado x lado = l 2 APM Página 3

4 Por ejemplo, si deseamos calcular las medidas de un cuadrado de lado 3 metros, se realiza como sigue: P = 4 x 3 = 12 m A = 3 2 = 9 m Medidas del rombo. Recordemos los elementos básicos de un rombo. Sabemos que el rombo tiene los cuatro lados iguales. Por tanto, el perímetro del rombo es cuatro veces el lado, es decir, P = 4l Vamos a deducir el área del rombo. Si observas la figura, comprobarás que dividiendo el rombo en cuatro partes y duplicando cada una de ellas, se obtiene un rectángulo de base una de las diagonales y altura la otro diagonal. Por tanto, el área del rombo es la mitad del área del rectángulo. Luego la fórmula del área del rombo es diagonal mayor por diagonal menor y dividido entre dos. Si tenemos un rombo con diagonal mayor D y diagonal menor d y lado l: P rombo = 4l A rombo = APM Página 4

5 Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro y el área del siguiente rombo. Sabemos que el perímetro es: P = 4 x 6 = 24 cm Para calcular el área es necesario conocer la diagonal mayor. Como la diagonal menor mide 4 cm, la mitad mide 2 cm. Por tanto, nos encontramos ante un triángulo rectángulo, de hipotenusa 6 cm y cateto 2 cm. Nos falta calcular el otro cateto. Por el teorema de Pitágoras, hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2. Por tanto: 6 2 = c 2 36 = 4 + c 2 c 2 = 36 4 c 2 = 32 Si el otro cateto mide 5,66 cm, entonces la diagonal mayor mide el doble, es decir, D = 11,32 cm Por tanto, el área es: APM Página 5

6 1.4. Medidas del romboide. Vamos a observar el dibujo. Está claro que el perímetro es P = 2b + 2c, pues los lados del romboide son iguales dos a dos. En cuanto al área, si realizamos una traslación del triángulo de la parte de la izquierda (colocándolo en la derecha), podemos observar el romboide se convierte en un rectángulo que tiene la misma base y la misma altura que el romboide. Por tanto, Si tenemos un romboide de base b y altura a y lado c: P romboide = 2b + 2c = 2(b+c) A romboide = base x altura = b x a 1.5. Medidas del paralelogramo cualquiera. Como consecuencia de los apartados anteriores, el perímetro de un paralelogramo es la suma del doble de la base y el doble del lado. El área de un paralelogramo se calcula multiplicando la base por la altura. Si tenemos un paralelogramo cualquiera de base b, lado c y altura a: P paralelogramo = 2b + 2c = 2(b + c) A paralelogramo = base x altura = b x a APM Página 6

7 1.6. Medidas del triángulo. El perímetro de un triángulo es la suma de la longitud de sus lados. Para deducir el área de un triángulo vamos a observar la siguiente figura. a) En la primera figura tenemos un triángulo de base b y altura a y queremos calcular su área. b) Construimos un triángulo igual al original, pero girado 180º. El triángulo original y el que hemos construido encajan perfectamente. c) Al encajarlos, si miramos la figura 2, se obtiene un paralelogramo. d) Sabemos que el área del paralelogramo es base por altura. e) Entonces, el área de nuestro triángulo será la mitad del área del paralelogramo obtenido, es decir, base por altura y dividido entre dos. Por tanto, Si tenemos un triángulo de base b, lados c, d y altura a P triángulo = b + c + d A triángulo = APM Página 7

8 1.7. Medidas del trapecio. Para calcular el perímetro de un trapecio, se suman las longitudes de sus lados. Veamos la siguiente figura para deducir el área del trapecio. a) En la primera figura tenemos un trapecio de base mayor B, base menor b y altura a. b) Construimos un trapecio igual al original, pero girado 180º. c) Como en el caso del triángulo, ambos trapecios encajan perfectamente. d) Al juntar los dos trapecios obtenemos un paralelogramo con base igual a la suma de las dos bases del trapecio, B + b, y la misma altura a. e) Como ya sabemos, el área de un paralelogramo es base por altura. Como consecuencia, el área del trapecio será la mitad de la del paralelogramo que hemos construido. Por tanto: Si tenemos un trapecio de base mayor B, base menor b, lados c, d y altura a: P trapecio = c + d + B + b A trapecio = APM Página 8

9 trapecio. Veamos un ejemplo. Vamos a calcular el perímetro y el área del siguiente El perímetro está claro, pues es un trapecio isósceles. Entonces: P = = 24 cm Para calcular el área es necesario conocer la altura del trapecio. Como la base mayor mide 8 cm y la base menor mide 4 cm, la diferencia es la medida de los dos triángulos rectángulos de la figura, es decir, 4 cm. Por tanto, cada uno de los catetos mide 2 cm. Así: Por el teorema de Pitágoras, hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2. Por tanto: 6 2 = c 2 36 = 4 + c 2 c 2 = 36 4 c 2 = 32 Por tanto, la altura de nuestro trapecio es 5,66 cm. Luego, el área del trapecio es: A = APM Página 9

10 2. LOS POLÍGONOS REGULARES. Vamos a tomar como ejemplo un pentágono regular de lado l. Como el pentágono es regular, todos sus lados miden l, por tanto, el perímetro del pentágono regular es 5l. Para deducir el área, observemos la siguiente figura: Como el pentágono tiene cinco lados, lo podemos dividir en cinco triángulos isósceles iguales. Los lados iguales de los triángulos son los radios de la circunferencia circunscrita y la base es el lado del polígono l. Sabemos que el área del triángulo es A =, entonces, el área del pentágono será A pentágono =, siendo l la longitud del lado y a la apotema del pentágono. Por tanto, el área de un polígono regular de n lados es: A polígono =, y como el perímetro del polígono es nº lados x l, entonces A polígono = OBSERVACIÓN: Si el polígono regular es un hexágono, al dividirlo en seis triángulos iguales, se obtienen triángulos equiláteros. Si tenemos un polígono regular de lado l y apotema a: P polígono regular = nº lados x l A polígono regular = APM Página 10

11 Vamos a ver un ejemplo. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide 24 m. Para realizar el ejercicio correctamente, hagamos un dibujo. El perímetro es muy sencillo de calcular, por tratarse de un hexágono regular. P = 6 x 24 = 144 m Para calcular el área, necesitamos conocer la apotema. Como ya sabemos, podemos dividir el hexágono en seis triángulos. Por tratarse de un hexágono, los triángulos son equiláteros, de lado 24 metros. Por tanto, si dibujamos la apotema, se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 24 m y uno de los catetos mide la mitad, es decir, 12 m. Por el teorema de Pitágoras, hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2. Por tanto: 24 2 = c = c 2 c 2 = c 2 = 432 Luego, la apotema mide 20,78 m. Por tanto, el área del hexágono regular es: A = APM Página 11

12 3. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO Longitud de la circunferencia. Calcular la longitud de la circunferencia es estirar el contorno hasta conseguir una línea recta como la de la figura. En los cálculos, y para no tener demasiados decimales, vamos a considerar el número pi como 3,14. La longitud de la circunferencia es igual al doble del producto del número pi por el radio. Si tenemos una circunferencia de radio r: L circunferencia = Por ejemplo, la longitud de la circunferencia de radio 2,5 metros es: L = 3.2. Longitud de un arco. La longitud de una circunferencia de radio r es, y equivale a un arco de 360º. Para conocer la longitud de un arco cualquiera, necesitaremos conocer la amplitud del ángulo interior con que se corresponde. APM Página 12

13 Por tanto, 360º nº grados x Si tenemos un arco A en una circunferencia de radio r: L arco = Por ejemplo, si tenemos una circunferencia de radio 3 metros y queremos calcular la longitud del arco de amplitud 120º, procedemos del siguiente modo: L = 3.3. Área del círculo. Vamos a observar la siguiente figura: Para calcular el área del círculo, podemos dividirlo en un número muy grande de sectores iguales. Estos tienen casi la forma de un triángulo y se pueden colocar de manera que formen, aproximadamente, un paralelogramo. Ya sabemos que para calcular el área de un paralelogramo es necesario conocer la base y la altura del mismo. APM Página 13

14 La base de nuestro paralelogramo es la mitad de la longitud de la circunferencia, es decir, base = La altura de nuestro paralelogramo es el radio de la circunferencia. Por tanto, el área del paralelogramo es base x altura = Así, el área del círculo es igual al producto del número pi por el cuadrado del radio. Si tenemos una circunferencia de radio r: A círculo = Por ejemplo, si queremos calcular el área de la siguiente figura: Tenemos que calcular el área de los dos círculos y dividirlas entre dos, pues son semicírculos. A círculo 1 =. Entonces: A 1 = A círculo 2 =. Entonces: A 1 = Por tanto, el área total es: A = 9,81 + 1,57 = 11,38 cm 2 APM Página 14

15 3.4. Área de un sector circular. El área de un sector circular es proporcional a su ángulo. Es decir: 360º nº grados x Por tanto, Si tenemos una circunferencia de radio r y un sector circular cuyo ángulo determinado es n, entonces A sector circular = Por ejemplo, si en un círculo de 2 dm de radio se considera un sector circular cuyo ángulo determinado es 120º, cuál es su área? El área es: A = APM Página 15

16 3.5. Área de una corona circular. Para hallar el área de una corona circular se resta al área del círculo mayor, de radio R, el área del círculo menor, de radio r. A mayor = A menor = A corona circular = Por tanto: Si tenemos una corona circular: A corona circular = Por ejemplo, vamos a calcular el área de la siguiente corona circular: A = = APM Página 16

17 4. FIGURAS COMPUESTAS. Si queremos calcular el área de polígono irregulares o de figuras de diversas formas, es necesario dividir las figuras en cuadrados, triángulos o polígonos de los cuales que sepamos calcular sus áreas. Si dividimos en la figura en triángulos, se llama calcular el área por triangulación. Si dividimos la figura en cuadrado, se llama calcular el área por cuadriculación. Veamos ejemplos prácticos para entender el apartado. 1) Calcula el área de este polígono en centímetros cuadrados. Hemos dibujado sobre el polígono una cuadrícula cuyos cuadraditos tengan un centímetro de lado. El área del polígono en centímetros cuadrados es el número de cuadraditos. Tiene 8 cuadraditos completos, 4 medios trozos y 2 trozos que juntos hacen otro cuadradito más. Por tanto, el área del polígono es: A = = 11 cm 2 APM Página 17

18 2) Calcula el área del siguiente polígono, donde BD = 6 cm, h 1 = 2 cm y h 2 = 3 cm. Se trata de calcular el área de este polígono, que si lo observamos, es un trapezoide. Como vemos en el dibujo, lo hemos dividido en dos triángulos. Vamos a calcular el área de cada uno de ellos. En ambos triángulos la base es BD. A T1 = A T2 = Por tanto, el área del trapezoide es: A = = 15 cm 2 3) Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura: El cálculo del perímetro es sencillo: P = ,5 + 2,5 + 2, = 54,5 m APM Página 18

19 Para calcular el área de esta casita, tenemos que calcular el área del triángulo, el área del rectángulo y el área del cuadrado. Vamos allá. Para calcular el área del triángulo isósceles, es necesario conocer la altura. Por el teorema de Pitágoras, hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2. Por tanto: 10 2 = c = 64 + c 2 c 2 = c 2 = 36 Por tanto, A triángulo = El área del rectángulo es: A rectángulo = base x altura = 16 x 8 = 128 m 2 Y el área del cuadrado es: A cuadrado = lado x lado = 2,5 x 2,5 = 6,25 m 2 Por tanto, el área de la casita es: A = ,25 = 169,75 m 2 APM Página 19