3. ÁNGULOS. A ó. A se lee ángulo A. 3.1 Definición y notación de ángulos
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- Ignacio Toledo Alarcón
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1 3. ÁNGULOS 3.1 Definición y notación de ángulos El ángulo es la abertura comprendida entre dos líneas rectas que convergen en un punto común llamado vértice. Semirrecta O Vértice Semirrecta O Un ángulo se puede denotar de las siguientes maneras: Ángulo cuyo vértice es Una letra mayúscula situada en el vértice. Ángulo cuyo valor es a ó cuyo valor es α olocando una letra minúscula dentro del ángulo, generalmente se emplea una letra del alfabeto griego. a α Tres letras mayúsculas de manera que la letra media indique el vértice del ángulo. Simbólicamente la notación se realiza anteponiendo a la letra el símbolo ó bien colocando un pequeño ángulo sobre la letra. Por ejemplo: ó se lee ángulo Ángulo definido por ó 21
2 Unidad uno Geometría y Trigonometría Dado que el ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas, una de las cuales permanece fija mientras que la otra gira, los ángulos pueden ser positivos si el giro es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, mientras que si gira en el mismo sentido el ángulo es negativo. Ángulo positivo Ángulo negativo 3.2 lasificación de ángulos Por la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación los ángulos pueden ser clasificados como: Ángulo agudo Ángulo obtuso Ángulo entrante Ángulo recto Ángulo colineal o llano Ángulo perigonal GUDO RETO OTUSO Mide menos de 90º Mide 90º Mide más de 90º y menos de 180º OLINEL o LLNO ENTRNTE PERIGONL Mide 180º Mide más de 180º y menos de 360º Mide 360º 22
3 Por su posición, los ángulos pueden ser: onsecutivos o dyacentes Opuestos por el vértice contiguos omplementarios Suplementarios onjugados Ángulos consecutivos o contiguos Ángulos dyacentes Opuestos por el vértice O O Ángulos que tienen un vértice común y un lado que los separa. Son ángulos contiguos: O y O Ángulos cuyos lados no comunes pertenecen a una misma recta. Son ángulos adyacentes: O y O uando dos rectas se cortan, los pares de ángulos no adyacentes que se forman se llaman opuestos por el vértice. demás, son iguales. a y b son opuestos omplementarios Suplementarios c y d onjugados son opuestos a b O O Son ángulos que suman 90º O + O = 90º 90 =89 60 = Son ángulos que suman 180º O + O =180º 180 = = Son ángulos que suman 360º a + b = 360º 360 = =
4 Unidad uno Geometría y Trigonometría EJERIIO 3-1 INSTRUIONES.- Nombra todos los ángulos que se forman en la figura y escríbelos en las líneas. D F E G H Parejas de ángulos opuestos por el vértice: con con Ángulos rectos: Ángulos agudos Ángulos obtusos 24
5 EJERIIO 3-2 INSTRUIONES.- Determina el complemento, el suplemento y el conjugado de cada uno de los siguientes ángulos. ÁNGULO 26º 47º 75º 86º 39º28 76º16 55º32 21º º º09 50 OMPLEMENTO SUPLEMENTO ONJUGDO INSTRUIONES.- Encuentra el valor de los ángulos indicados según la información proporcionada en cada figura. Encuentra el valor de los ángulos complementarios O y O. Encuentra el valor de los ángulos suplementarios O y O. 3 x x +10 x 12 O x + 20 O O = O = O = O = 25
6 Unidad uno Geometría y Trigonometría 3.3 Sistemas de medición de ángulos La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos. Medir un ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón. Para medir un ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular. Sistema sexagesimal: 90º 180º 0º ó 360º 270º En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado. Un ángulo de un grado ( º ) es el ángulo central que 1 abarca un arco de 360 parte de una circunferencia. ada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos ( ), y a su vez cada minuto también se divide en 60 partes iguales llamadas segundos ( ). Grado (º) Minuto ( ) Segundos ( ) 1º = 60' = 3600" 1 = 60" Por ejemplo: GRDOS convertidos a GRDOS, MINUTOS Y SEGUNDOS º 37 º 25 º +(.87 º)(60 ) 36 º60 25 º º º+52+(.2)(60) 25º GRDOS, MINUTOS Y SEGUNDOS convertidos a GRDOS 30 26'45" 45" 7 15' 30 26' + 60" 15' ' ' 60' 26.75' '
7 Sistema circular: En este sistema la unidad utilizada es el radián (rad). r r Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Dado que: Longitud del arco es igual al radio (r) de la circunferencia. O =1 Radián r La longitud de una circunferencia = 2 r 360º = 2 radianes Relación entre grados sexagesimales y radianes Dado que una circunferencia es igual a siguiente manera: 2 radianes, esto puede relacionarse en grados de la 360º = 2 radianes Radián = 360 º 180º = 2 Radián = º Radián 57º17 44" Esta relación permite establecer algunos valores de grados en radianes: Grados 360 º 180 º 90 º 60 º 45 º 30 º 15 º 10º 1º Radianes Para efectuar una conversión, se realiza el procedimiento siguiente: RDINES a GRDOS Se multiplica por 180º y se divide entre por º. ó bien se multiplica 27
8 Unidad uno Geometría y Trigonometría GRDOS a RDINES Se multiplica por entre º. y se divide entre 180º ó bien se divide Por ejemplo: RDINES convertidos a GRDOS: 7.81 radianes rad 3 180º 180º 7.81rad = = 60º 3 ( ) º GRDOS convertidos a RDINES 415º 25º30 25º30 =25.5º 415 º = º 25.5º = º ( ) rad ( ) rad 28
9 EJERIIO 3-3 INSTRUIONES.- Expresa en radianes o en ángulos sexagesimales, según la conversión indicada. onvertir a Radianes GRDOS RDINES 25º 70º onvertir a grados RDINES GRDOS º º 6 245º º 2.25 rad 68º rad 34º 0.45 rad 200º rad 340º 4.51 rad 29
10 Unidad uno Geometría y Trigonometría 3.4 Teoremas importantes sobre ángulos TEOREM 1: Dos ángulos adyacentes son suplementarios. HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN O y O O + O =180º son ángulos adyacentes. O + O = O O = 180º O + O = 180º Por suma de ángulos. Por definición de ángulos adyacentes: por la propiedad transitiva de la igualdad: dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. TEOREM 2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN OD y O son ángulos opuestos por el vértice. OD = O OD + O = 180º O + O = 180º OD + O = O + O OD = O Por ángulos adyacentes. Por la propiedad transitiva de la igualdad: porque una igualdad no se altera si se resta la misma cantidad a sus dos miembros. 30
11 TEOREM 3: Toda secante o transversal que corta dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales. HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN MN y PQ rectas paralelas. RS corta a MN y a PQ c y e y f d c = f e = d c = b b = f Por ser ángulos opuestos por el vértice. Por ser ángulos correspondientes (son los pares de ángulos, uno interno y el otro externo que se encuentran en un mismo semiplano con respecto a la transversal o secante). son ángulos alternos internos. c = f se aplica propiedad trasnsitiva de la igualdad: dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. TEOREM 4: Toda secante o transversal que corta dos paralelas forma con ellas ángulos alternos externos iguales. MN y PQ HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN rectas paralelas. a = h a = d RS corta a MN y a PQ a y b y h g b = g d = h Por ser ángulos opuestos por el vértice. Por ser ángulos correspondientes (son los pares de ángulos, uno interno y el otro externo que se encuentran en un mismo semiplano con respecto a la transversal o secante). son ángulos alternos externos. a = h se aplica propiedad trasnsitiva de la igualdad: dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. 31
12 Unidad uno Geometría y Trigonometría TEOREM 5: Dos ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios. c y HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN MN y PQ rectas paralelas. c + e = 180º e + f = 180º por ser ángulos e RS corta a MN y a PQ son ángulos conjugados internos. d y f son ángulos conjugados internos. d + f = 180º c = f adyacentes. por ser ángulos alternos internos. e + c = 180º por sustitución. TEOREM 6: Los ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios. b y HIPÓTESIS TESIS DEMOSTRIÓN MN y PQ rectas paralelas. b + h = 180º g + h = 180º por ser ángulos adyacentes. h RS corta a MN y a PQ g = b por ser ángulos alternos externos. a + g = 180º son ángulos conjugados externos. b + h = 180º por sustitución. a y g son ángulos conjugados externos. 32
13 EJERIIO 3-4 INSTRUIONES.- Determina el valor de los ángulos indicados. Encuentra la medida de los ángulos con la información proporcionada en la siguiente figura: Encuentra el valor de los ángulos indicados, según la figura. 1 2 D 4 125º 6x 12 4 x D E D = D =
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