Razones trigonométricas.

Transcripción

1 Razones trigonométricas. Matemáticas I 1 Razones trigonométricas. Medidas de ángulos. Medidas en grados (Deg.) El grado es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo en un arco de longitud radio 360º. Además, 1º (1 grado) = 60 ' (60 minutos) y 1 ' (1 minuto) = 60 '' (60 segundos). Conviene también recordar que un ángulo recto mide 90º, un ángulo llano mide 180º y un ángulo completo mide 360º. Medidas en grados (Rad.) El radián es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo en un arco de longitud igual al radio. Se simboliza por rad. Además, un ángulo recto mide.. rad. =90º, un ángulo llano mide rad. =180º y un ángulo completo mide.. rad. =360º. Equivalencia entre grados y radianes Teniendo en cuenta que que el ángulo de una circunferencia mide sexagesimales) ó.. rad.. Obtenemos, que 1 rad.= 180º 57,9578º =57º17' 44,86' ' 1º= 360º (en unidades 180º rad. 0,017453rad.

2 Razones trigonométricas. Matemáticas I Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo. Dado un triángulo rectángulo de vértices A, B, C. Si es un ángulo agudo en el vértice C de dicho triángulo, x la longitud del cateto contiguo al ángulo, y la longitud del cateto opuesto al ángulo y h la longitud de la hipotenusa. Las razones trigonométricas del cateto contiguo al ángulo serán sen = cos = cateto opuesto hipotenusa = y h cateto contiguo = x hipotenusa h y tg = sen cos = h x h = y x Además, de estas razones tomando las inversas se obtiene también las siguientes razones cosec = 1 sen =h y sec = 1 cos =h x cotg = 1 tg = x y # Ejemplo.- Las razones trigonométricas del ángulo del triángulo de catetos x=4 unidades, y=3 unidades y h=5 unidades son:

3 Razones trigonométricas. Matemáticas I 3 sen = 3 5 cos = 4 5 tg = 3 4 cosec = 5 3 sec = 5 4 cotg = 4 3 Ampliación del concepto de ángulo. Ángulos de giro positivos o negativos Teniendo en cuenta que un radián es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo en un arco de longitud igual al radio, podemos, extender el ángulo a magnitudes mayores que el arco abarcado por una circunferencia y también a ángulos negativos, si giramos en sentido del movimiento de las agujas de un reloj. # Ejemplo.- El ángulo equivalente a efectuar el giro de,5 veces una circunferencia en sentido contrario de la agujas del reloj, será de medida,5.. rad.=5. pi. rad. cuya medida equivalente en grados será 900º. Y el ángulo equivalente a efectuar el giro un cuarto de veces una circunferencia en sentido de la agujas del reloj, será de medida 1 4. rad.=. rad. cuya medida equivalente en grados será 90º. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Ampliación de las definiciones de razones trigonométricas Si consideramos una circunferencia de radio r, centrada en el origen de coordenadas O, y sea A x, y un punto sobre la circunferencia y el ángulo formado por el eje OX + y la semirrecta de origen O y que pasa por el punto A.

4 Razones trigonométricas. Matemáticas I 4 Las razones trigonométricas serán las siguientes Razones directas sen = y r Razones inversas cosec = r y cos = x r sec = r x tg = y x cotg = x y # Ejemplo.- Si tomamos un punto A 1, 3 sobre la circunferencia de radio, las razones trigonométricas del ángulo = OX O OA son: sen = 3 cos = 1 tg = 3 cosec =. 3 = 3 3 sec = cotg = 3 Razones trigonométricas únicas Un resultado importante es que las razones trigonométricas no dependen del valor del radio de la circunferencia elegida. Dado que si C 1 y C son dos circunferencias concéntricas con centro en el origen de coordenadas O y de radios r y R respectivamente. Si A es un punto de A C 1 y B es un punto de B C, tal que A `in `[OB], entonces Por la semejanza de los triángulos OA' A y O B ' B, los lados son proporcionales, y por tanto también lo son las razones trigonométricas.

5 Razones trigonométricas. Matemáticas I 5 Luego, para el estudio de un ángulo cualquiera = A' OA, tomando la circunferencia goniométrica (Circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio r = 1), si A x, y es un punto de la circunferencia, se cumplirá sen =y y cos =x, y por tanto las razones trigonométricas de = A' OA serán: Razones directas sen =y Razones inversas cosec = 1 y cos =x sec = 1 x tg = y x cotg = x y Hay que observar que como para cualquier punto A x, y de la circunferencia goniométrica se cumple 1 x 1 y 1 y 1, será 1 cos 1 y 1 sen 1 Signo y valor de las razones trigonométricas. Utilizando la circunferencia goniométrica fácilmente podemos obtener la siguiente tabla Cuadrante x y sen cos tg 0º º 0º < < 90º º º 90º < < 180º º º 180º < < 70º º º 70º < < 360º Relación entre razones trigonométricas. Si consideramos un ángulo determinado por un punto A x, y sobre la circunferencia goniométrica, como cos =x y sen = y. Teniendo en cuenta el teorema de Pitagóricas como x y =1, se cumplirá la relación fundamental de trigonometría sen cos =1

6 Razones trigonométricas. Matemáticas I 6 Si sen 0, dividiendo la relación de trigonometría con sen, se tiene la relación 1 cotg =cosec Si cos 0, dividiendo la relación de trigonometría con cos, se tiene la relación tg 1=sec # Ejemplo.- Si es un ángulo que está en el cuarto cuadrante y tag = 3 4, entonces tg 1=sec =sec sec = 5 4 cos = 4 5 Y dado que tg =sen cos sen = =3 5 Relaciones entre las razones de ciertos ángulos. Utilizando la circunferencia goniométrica fácilmente se deduce los siguientes resultados Ángulos suplementarios: y 180º sen 180º =sen cos 180º = cos tg 180º = tg cosec 180º =cosec sec 180º = sec cotg 180º = cotg Ángulos que difieren 180º: y 180º sen 180º = sen cos 180º = cos tg 180º =tg cosec 180º = cosec sec 180º = sec cotg 180º =cotg

7 Ángulos opuestos: y Razones trigonométricas. Matemáticas I 7 sen =sen cos =cos tg = tg cosec = cosec sec =sec cotg = cotg Ángulos complementarios: y 90º sen 90º =cos cos 90º =sen tg 90º =cotg cosec 90º =sec sec 90º =cosec cotg 90º =tg # Ejemplo: Si es un ángulo del 1º cuadrante y sen = 1. Será cos =1 sen = 3 1 tg = 3/ = 3/3 Y utilizando las relaciones anteriores, podemos también calcular las razones trigonométricas directas del ángulo =180º, que serán sen =sen 180º =sen = 1 cos =cos 180º = cos = 3 tg =tg 180º = tg = 3 3

8 Razones trigonométricas. Matemáticas I 8 Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos. Otras fórmulas trigonométricas que se pueden demostrar mediante procesos geométricos (por ejemplo utilizando el producto escalar) obtenemos Razones trigonométricas de la suma de los ángulos sen a b =sen a.cos b cos a. sen b cos a b =cos a.cos b sen a. sen b tg a tg b tg a b = 1 tg a.tg b Razones trigonométricas de la diferencia de los ángulos sen a b =sen a.cos b cos a. sen b cos a b =cos a.cos b sen a. sen b tg a tg b tg a b = 1 tg a. tg b para calcular el # Ejemplo: Sabiendo que sen 30º= 1 sen 75º, utilizamos,cos 30º= 3 y que sen 45º=cos 45º=, sen 75º=sen 45º 30º =sen 30º.cos 45º cos 30º. sen 45º = = = Razones trigonométricas del ángulo doble y ángulo mitad. De las fórmulas trigonométricas anteriores se deducen también las siguientes Razones trigonométricas del ángulo doble sen a =. sen a.cos b cos a =cos a sen b tg a = tg a 1 tg a Razones trigonométricas del ángulo mitad sen a =± 1 cos a cos a =± 1 cos a tg a =± 1 cos a 1 cos a

9 Razones trigonométricas. Matemáticas I 9 # Ejemplo.- Sabiendo que sen 30º= 1. el cos 15 º será 1 cos 15º= 1 = 3 4 Ecuaciones trigonométricas y sistemas de ecuaciones trigonométricas. Se denominan ecuaciones trigonométrica a las ecuaciones en las que aparecen una o varias razones trigonométricas como incógnitas. # Ejemplo.- Resolver la ecuación Como cos x 5 cos x 3=0 cos x=cos x sen x=cos x 1 cos x =cos x 1 Sustituyendo se tiene cos x 5 cos x =0 Y haciendo cos x = y, obtenemos la ecuación de segundo grado en y, de la forma y 5 y =0 Cuyas soluciones son Obteniendo y= 1 y= 1º) cos x= 1 x=10º 360º. k y x=40º 360º. k k Z º) cos x= No tiene solución Un sistema de ecuaciones trigonométricas es aquel que está formado por ecuaciones trigonométricas. # Ejemplo.- Resolver la ecuación sen x. sen y= 1 4 cos x.cos y= 3 4 dando las soluciones correspondientes al primer cuadrante.

10 Razones trigonométricas. Matemáticas I 10 Sumando las dos ecuaciones: sen x.cos y cos x. cos y=1 Restando a la primera ecuación la segunda: cos x.cos y sen x. cos y= 1 Como cos x=cos x sen x=cos x 1 cos x =cos x 1 Por tanto se obtiene el siguiente sistema cos x y =1 %implica x y=0 cos x y = 1 %implica x y=60º Que resolviendo será x= y=30º