Colegio La Magdalena APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO. 2º Trimestre. Autor: Vicente Adsuara Ucedo

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicente Adsuara Ucedo

2 INDICE Tema 9: Trigonometría y Geometría 1 Ejercicios Tema Tema 10: Ampliación de Trigonometría. Ejercicios Tema Tema 11: Resolución de Triángulos...37 Ejercicios Tema Tema 1: Ecuaciones trigonométricas 49 Tema 13: Los Números. Potencias y Radicales 54 Tema 14: Los Números Complejos.57 Tema 15: Ampliación de Números Complejos..66 Tema 16: Polinomios..69 PROBLEMAS DE INGENIO..79 SUDOKUS...84

3 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría TEMA 9: TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA 9.1 Introducción Según sabemos, el triángulo es el polígono más sencillo y en el intervienen tres lados y tres ángulos. Sabemos también que la geometría estudia las diversas relaciones existentes entre los lados de un triángulo y también las existentes entre los ángulos del mismo. Así por ejemplo, la propiedad: En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos, es una relación en la que intervienen exclusivamente los lados del mismo. Por otra parte, la propiedad: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, es una relación en la que intervienen exclusivamente los ángulos. Ahora bien, cuando se quiere relacionar los lados de un triángulo con los ángulos del mismo, es preciso recurrir a otra rama de las matemáticas que recibe el nombre de: TRIGONOMETRIA. La palabra trigonometría proviene del griego trigonos que significa triángulo y de metros que significa medida. Los egipcios utilizaron ya la trigonometría para resolver entre otros los problemas derivados de la construcción de pirámides. Con objeto de estructurar el estudio de la trigonometría es conveniente considerar primeramente las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, para pasar después al estudio de las relaciones en un triángulo cualquiera. 9. Razones trigonométricas de un ángulo agudo Consideremos un triángulo rectángulo y en él uno cualquiera de sus ángulos agudos, por ejemplo el B. A partir de este ángulo se pueden definir seis números, obtenidos dividiendo las longitudes de dos lados del triángulo, números a los que llamaremos razones trigonométricas del ángulo. 1

4 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría Seno: Es el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa. Se representa por sen o sin. sen B Cateto opuesto Hipotenusa b a Coseno: Es el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. Se representa por cos. cos B Cateto contiguo Hipotenusa c a Tangente: Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. Se representa por tag o tg. tag B Cateto opuesto Cateto contiguo b c Cotangente: Es el cociente entre el cateto contiguo y el cateto opuesto. Se representa por ctg. ctg B Cateto contiguo Cateto opuesto c b Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto contiguo. Se representa por sec. sec B Hipotenusa Cateto contiguo a c Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Se representa por cosec.

5 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría cosec B Hipotenusa Cateto opuesto a b Ejemplo: Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm. y 5 cm. Calcular las seis razones trigonométricas del más pequeño de los ángulos agudos. Por Pitágoras calculemos la hipotenusa: a b + c a 13 cm. El ángulo agudo más pequeño tendrá como cateto opuesto el más pequeño: sen B 5/13 ; cos B 1/13; tag B 5/1; ctg B 1/5; sec B 13/1; cosec B 13/5 9.3 Sistema trigonométrico de referencia Las definiciones de las seis razones trigonométricas, que acabamos de considerar, únicamente son validas para ángulos agudos, ya que en un triángulo rectángulo no existen ángulos obtusos. Pues bien, vamos a definir, para un ángulo cualquiera, unas características del mismo llamadas líneas trigonométricas, que reciben los mismos nombres que las razones trigonométricas debido a que cuando se trata de ángulos agudos, sus valores coinciden. Para ello vamos a establecer un sistema trigonométrico de referencia que consta de los elementos que vamos a relacionar: 3

6 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría - Circunferencia trigonométrica: Es una circunferencia cuyo radio se toma como unidad - Ejes de coordenadas: Son dos rectas, una horizontal y otra vertical que se cortan en el centro de la circunferencia, constituyendo un sistema de coordenadas cartesianas. - Origen de ángulos: Es el semieje horizontal positivo. Todos los ángulos se miden a partir de esta semirecta. Los ángulos tomados en sentido directo o antihorario se consideran positivos y los contrarios, negativos. - Cuadrantes: El primer cuadrante esta formado por todos los ángulos comprendidos entre 0º y 90º. - El segundo cuadrante está formado por los ángulos entre 90º y 180º - El tercer cuadrante está formado por los ángulos entre 180º y 70º. - El cuarto cuadrante está formado por los ángulos entre 70º y 360º. 9.4 Líneas trigonométricas de un ángulo cualquiera Una vez establecido el sistema trigonométrico de referencia, vamos a utilizarlo para definir las líneas trigonométricas de un ángulo α, que en principio supondremos que esta en el primer cuadrante. sen α Cateto opuesto Hipotenusa AB AB OB 1 AB cos α Cateto contiguo Hipotenusa OA OB OA 1 OA 4

7 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría tg α Cateto opuesto Cateto contiguo AB OA CD OC CD 1 CD sec α Hipotenusa Cateto contiguo OB OA OD OD OC 1 OD Consideremos ahora el triángulo: OEF en el que el ángulo OFE también mide α y en el que se cumplirá: ctg α Cateto contiguo Cateto opuesto EF OE EF 1 EF cosec α Hipotenusa Cateto opuesto OF OE OF 1 OF De este modo las seis líneas trigonométricas han quedado definidas como longitudes de seis segmentos determinados por la semirecta OF que delimita el ángulo. Según que esta semirecta se encuentre en cada cuadrante, las líneas trigonométricas tienen diferentes representaciones. 9.5 Relaciones fundamentales Las líneas trigonométricas de un ángulo no son seis valores independientes entre sí, sino que entre ellas existen ciertas relaciones, de las cuales, las más importantes reciben el nombre de: relaciones fundamentales. Vamos a enunciarlas y a demostrarlas: A) La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a la unidad. Demostración: Según el dibujo anterior, por el teorema de Pitágoras: 5

8 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría AB + OA OB, y teniendo en cuenta que: sen α AB cos α OA OB 1 sen α + cos α 1 B) La tangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir el seno entre el coseno del mismo ángulo. Demostración: tg α Cateto opuesto Cateto contiguo AB sen α OA cos α tg α sen α cos α C) La cotangente de un ángulo es igual al cociente que resulta de dividir el coseno entre el seno del mismo ángulo. Demostración: ctg α Cateto contiguo Cateto opuesto OA AB cos α sen α ctgα cos α sen α D) La cotangente de un ángulo es la inversa de la tangente del mismo. ctg α cos α sen α 1 sen α cos α 1 tg α 6

9 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría E) La secante de un ángulo es la inversa del coseno del mismo. 1 sec α cos α F) La cosecante de un ángulo es la inversa del seno del mismo. cos ecα 1 sen α 9.6 Signos de las líneas trigonométricas De los seis segmentos que representan a las líneas trigonométricas, el seno y la tangente son verticales por lo que su signo será positivo si se encuentran por encima del eje horizontal y negativo si se encuentran por debajo. El coseno y la cotangente son segmentos horizontales, por lo que su signo será positivo si se encuentra a la derecha del eje vertical y negativo si se encuentra a la izquierda. En cuanto a la secante, su signo coincide siempre con el del coseno, ya que ambas líneas trigonométricas son inversas. Por la misma razón el signo de la cosecante coincide siempre con el del seno. PRIMER SEGUNDO TERCER CUARTO CUADRANTE CUADRANTE CUADRANTE CUADRANTE Seno y Cosecante Coseno y Secante Tangente y Cotangente

10 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría 9.7 Calculo de una línea en función de las demás Las seis líneas trigonométricas de un ángulo están relacionadas entre sí de tal modo que, si se conoce una de ellas, es posible determinar cualquiera de las otras cinco, siempre que se sepa en que cuadrante se encuentra el ángulo, con objeto de poder determinar el signo de la correspondiente línea. a) Calculo del coseno y de la tangente en función del seno A través de la ecuación fundamental de la trigonometría: sen α + cos α 1 conoceremos el coseno y una vez conozcamos seno y coseno sabremos la tangente. b) Calculo del seno y de la tangente en función del coseno Procederemos del mismo modo que en apartado anterior. c) Calculo del seno y el coseno en función de la tangente A través de la ecuación fundamental de la trigonometría: sen α + cos α 1 Si dividimos toda la ecuación por sen α : sen sen α α + cos α sen α 1 sen α 1+ ctg α cosec α Y si en la ecuación fundamental de la trigonometría, dividimos por cos α : sen cos α α + cos cos α α 1 cos α 1 + tg α sec α 8

11 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría De manera que conociendo la tangente podemos conocer la secante y a continuación el coseno, y conociendo la cotangente podemos conocer la cosecante y a continuación el seno. 9.8 Líneas trigonométricas de ángulos relacionados Cuando dos ángulos tienen alguna relación entre sí, también sus líneas trigonométricas están relacionadas, de tal modo que si se conocen las de uno de ellos es posible calcular las del otro. a) Ángulos Complementarios Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen los tres ángulos iguales y la hipotenusa igual, por tanto los otros dos catetos serán también iguales, es decir: OA CD sen ( 90º - α ) cos α OC AB cos ( 90º - α ) sen α Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades resulta la expresión de la tangente: tg ( 90º - α ) ctg α 9

12 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría Invirtiendo las tres desigualdades obtenidas, resultan las otras tres líneas trigonométricas. sen 1 (90 α) 1 cos α cosec ( 90º - α ) sec α 1 cos (90 α) 1 sen α sec ( 90º - α ) cosec α tg 1 (90 α) 1 ctg α ctg ( 90º - α ) tg α b) Ángulos suplementarios Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos también iguales. Igualando los catetos de ambos triángulos obtenemos las expresiones del seno y del coseno. CD AB sen ( 180º - α ) sen α OC - OA cos ( 180º - α ) - cos α Dividiendo miembro a miembro ambas igualdades: 10

13 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría tag ( 180º - α ) - tag α E invirtiendo las tres igualdades obtenidas resultan las otras tres lineas trigonométricas: ctag ( 180º - α ) - ctag α sec ( 180º - α ) - sec α cosec ( 180º - α ) cosec α c) Ángulos que se diferencian en 180º: Los triángulos OAB y OCD son iguales, ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos de ambos triángulos: CD - AB sen ( 180º + α ) - sen α OC - OA cos( 180º + α ) - cos α 11

14 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría Dividiendo: tag ( 180º + α ) tag α Invirtiendo: ctag ( 180º + α ) ctag α sec ( 180º + α ) - sec α cosec ( 180º + α ) - cosec α d) Ángulos opuestos: Los triángulos OAB y OCD son iguales ya que tienen la hipotenusa igual y los ángulos agudos también iguales. Igualando los catetos: CD - AB sen ( - α ) - sen ( α ) OC OA cos ( - α ) cos ( α ) Dividiendo: tag ( - α ) - tag ( α ) 1

15 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría Invirtiendo: ctag ( - α ) - ctag ( α ) sec ( - α ) sec ( α ) cosec ( - α ) - cosec ( α ) 9.9 Reducción de un ángulo al primer cuadrante En la circunferencia trigonométrica no solamente tienen cabida los ángulos comprendidos entre 0º y 360º, sino que se pueden considerar ángulos superiores a 360º, así como también valores negativos. Sin embargo, cuando un ángulo es menor de 0º o mayor de 360º, se puede reducir al primer giro, lo que supone encontrar un ángulo comprendido entre 0º y 360º, cuyas líneas trigonométricas coincidan con las del ángulo considerado. Para reducir un ángulo al primer giro, basta sumarle o restarle el número exacto de vueltas. Ejemplo: Reducir al primer giro el ángulo: 978º. Este ángulo está comprendido entre 70º y 1080º o lo que es lo mismo entre y 3 vueltas. 978º - 70 º 58º α 58º Una vez que el ángulo ha sido reducido al primer giro, se hallará en el primero, segundo, tercero o cuarto cuadrante según que su valor este comprendido entre 0º y 90º, entre 90º y 180º, entre 180º y 70º o entre 70º y 360º. Pues bien si el ángulo se halla en el segundo, tercero o cuarto cuadrante, siempre se puede encontrar un ángulo del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas coincidan con las del ángulo dado, a excepción de los signos. Para reducir un ángulo al primer cuadrante se procede de diferente manera según cual sea el cuadrante en el que inicialmente se encuentra. - Si el ángulo se encuentra en º cuadrante de halla el suplementario - Si el ángulo se encuentra en el 3º cuadrante se le restan 180º - Si el ángulo se encuentra en el 4º cuadrante se expresa primeramente como un ángulo negativo y a continuación se halla el opuesto. 13

16 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría Ejemplos: 1.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 113º. α 113º - 180º 67º.- Reducir al primer cuadrante el ángulo de 59º α 59º - 180º 79º 9.10 Líneas trigonométricas de algunos ángulos a) Líneas trigonométricas del ángulo 0º.- sen 0º AB 0 sen 0º 0 cos 0º OA 1 cos 0º 1 tg 0º sen 0º cos 0º tg 0º 0 ctg 0º 1 / 0 El ángulo de 0º no tiene cotangente, ya que el 0 carece de inverso. 14

17 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría sec 0º 1 / cos 0º 1/1 1 sec 0º 1 cosec 0º 1 / 0 El ángulo de 0º no tiene cosecante. b) Líneas trigonométricas del ángulo de 30º.- OB BC OC sen 30º AB CB 1 1 sen 30º cos 30º 1 sen 30º 1 ( 1 / ) 1 / / 4 cos 30º 3 ; cos tag 30 ctg c) Líneas trigonométricas del ángulo de 45º 15

18 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría AB OA sen 45º cos 45º sen 45º + cos 45º 1 sen 45º 1 sen 45º 1 sen 45º 1 1 sen 45 cos 45 tg 45 1 d) Líneas trigonométricas del ángulo de 60º OA AC OA 1 cos 60º OC sen 60º 1 1 ( ) 3 tg 60º 3 e) Líneas trigonométricas del ángulo de 90º.- Sen 90º 1 cos 90º 0 El ángulo de 90º no tiene tangente 16

19 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría RESUMEN Seno Coseno Tangente Cotang. Secante Cosec. 0º No existe 1 No existe 1 30º º º º 1 0 No existe 0 No existe 1 La tabla anterior nos permite también determinar las líneas trigonométricas de los ángulos de 10º, 135º, 150º, 180º, 10º, 5º, 40º, 70º, 300º, 315º, 330º y 360º, ya que cualquiera de estos ángulos, reducido al primer cuadrante, coincide con alguno de los que figuran en la tabla. 17

20 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría EJERCICIOS: 1.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 1 cm. Dibújalo y determina las razones trigonométricas del menor de sus ángulos..- Comprueba que las soluciones del ejercicio anterior verifican todas las relaciones fundamentales. 3.- Determina las razones trigonométricas del ángulo α 4.- Utilizando papel cuadriculado dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya tangente sea. 5.- Determina las otras 5 razones trigonométricas del ángulo del ejercicio anterior, expresando los resultados con cuatro cifras decimales 6.- Utilizando papel cuadriculado, dibuja un ángulo agudo cuya cotangente sea 5/ Utilizando papel milimetrado, dibuja una circunferencia trigonométrica y toma sobre ella un ángulo agudo cuya tangente mida 1.5. Después, dibuja cuidadosamente las otras cinco líneas trigonométricas de este ángulo y expresa con la precisión que puedas, los valores de las mismas. 8.- El coseno de un ángulo situado en el º cuadrante es 0.7. Determina las otras 5 líneas trigonométricas expresando los resultados con cuatro cifras decimales. 9.- Demuestra las siguientes igualdades entre expresiones trigonométricas. a) ( sen α + cos α ) 1 + sen α cos α 18

21 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría b) 1 + tag α sec α c) ctg α sen α cos α d) cos 4 α - sen 4 α 1 sen α e) 1+ cosα senα senα 1 cosα f) 1+ senα 1 senα 1+ senα cosα 10.- El seno de un ángulo situado en el primer cuadrante es /5. Determina las otras cinco líneas trigonométricas La tangente de un ángulo situado en el tercer cuadrante es /3. Determina el seno, el coseno y la cotangente. 1.- La cotangente de un ángulo situado en el cuarto cuadrante es 4. Determina las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con tres cifras decimales La secante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 7/3. Determina las otras cinco líneas trigonométricas La cosecante de un ángulo situado en el primer cuadrante es 9. Determina las otras cinco líneas trigonométricas expresando los resultados con dos cifras decimales Cuál es el mínimo valor que puede tener la secante de un ángulo del primer cuadrante? 16.- Entre que valores puede oscilar el seno de un ángulo? 17.- Cuáles son el mínimo y el máximo valor que puede tener el coseno de un ángulo? 18.- Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a 0.7? 19

22 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría 19.- Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la cotangente del mismo ángulo? 0.- Es posible que la cosecante de un ángulo sea igual a la secante del mismo ángulo? 1.- Dibuja un ángulo del primer cuadrante cuya tangente sea igual a la cotangente..- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos ángulos tales que el segundo se obtiene sumando 90º al primero. 3.- Deduce la relación que existe entre las líneas trigonométricas de dos ángulos tales que el segundo se obtiene restando 180º al primero. 4.- Construye una tabla que exprese las líneas trigonométricas de los ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 10º, 135º, 150º, 180º, 10º, 5º, 40º, 70º, 300º, 315º y 330º. 5.- Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo de 998º. 6.- Completa el cuadro que figura a continuación, expresando las cinco líneas trigonométricas que faltan, suponiendo que corresponden a ángulos del primer cuadrante. Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante 1/5 /7 5 3 / Reduce al primer giro y al primer cuadrante el ángulo: 6.791º. 8.- Utilizando regla y compás, construye un ángulo del primer cuadrante cuya secante sea 3. 0

23 º Trimestre Tema 9: Trigonometría y Geometría 9.- Utilizando un transportador de ángulos, comprueba que el ángulo que has dibujado en el ejercicio anterior mide aproximadamente 70º Utilizando un compás y un transportador de ángulos dibuja un ángulo de º sobre una circunferencia trigonométrica de 10 cm. de radio. A continuación representa las seis líneas trigonométricas de este ángulo Utilizando una regla milimétrica, determina con la precisión que puedas, las seis líneas trigonométricas del ángulo de º que has dibujado en el ejercicio anterior. 3.- Utilizando la calculadora, comprueba los valores obtenidos en el ejercicio anterior Determina por medio de la calculadora, expresando el resultado con cinco cifras decimales: a) sen 7º b) cos 6º c) tag 59º d) ctg 35º e) sec 8º f) cosec 1º 34.- Determina, por medio de la calculadora, las líneas trigonométricas de los ángulos que se indican, expresando el resultado con siete cifras decimales. a) sen 7º b) cos 6º 3 c) tag 59º 1 d) ctg 35º 1º e) sec 8º

24 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría TEMA 10: AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRIA Uno de los problemas técnicos con el que se tenían que enfrentar los arquitectos egipcios al construir las pirámides era conseguir que la pendiente de una cara se mantuviese constante y que esta pendiente fuese la misma para las cuatro caras. Para controlar esta magnitud utilizaban una medida que se llamaba el SEGT. El segt de cada cara de una pirámide era el número de unidades horizontales que había que avanzar hacia el eje de la pirámide para subir una longitud vertical. Es lo que hoy llamamos cotangente del ángulo. Los egipcios utilizaban la mano como unidad de longitud horizontal y el codo equivalente a siete manos, como unidad de longitud vertical. Por tanto, el segt era la inclinación correspondiente a un plano en el que para subir un codo era necesario avanzar una mano. Cuantos más segts tiene la cara de una pirámide menor es su inclinación. El segt de la pirámide de Keops, en la que la mitad del lado de la base mide 1540 manos y la altura mide 80 codos, es 5.5, ya que por cada codo de subida es preciso avanzar 5.5, manos Líneas trigonométricas de una suma de ángulos Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales: seno, coseno y tangente de dos ángulos a y b, queremos determinar las del ángulo a+b. Para ello dibujamos los dos ángulos en una circunferencia trigonométrica, pero colocándolos uno a continuación del otro, con objeto de que el ángulo a + b este situado a partir del origen de ángulos. Sí dibujamos el seno y el coseno de a y de b, así como también los del ángulo suma a + b, observamos que: sen a AB cos a OA sen b CD cos b OC sen ( a + b ) ED cos ( a + b ) OE Además los ángulos ED ˆ C y AO ˆ B son iguales ya que sus lados son respectivamente perpendiculares, por lo tanto la medida del ángulo ED ˆ C es: a

25 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Por otra parte a partir del punto C trazamos los segmentos CF y CG. De este modo quedan definidos una serie de triángulos que nos van a servir para relacionar las líneas trigonométricas de los tres ángulos que intervienen en el proceso Seno de una suma de ángulos: El seno del ángulo suma a + b es el segmento ED que, tal como se observa en la figura, puede descomponerse en dos sumandos, los cuales, según veremos, se expresan en función de las líneas trigonométricas de a y b. sen ( a + b ) ED EG + GD FC + GD Sí en el triángulo OFC consideramos el seno del ángulo agudo a, tenemos: FC sen a OC FC sen a OC sen a cos b Por otra parte, si en el triángulo CGD consideramos el coseno del ángulo agudo a, tenemos: 3

26 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría GD cos a DC GD cos a DC cos a sen b Finalmente nos queda: sen ( a + b ) sen a cos b + cos a sen b Ejemplo: Determinar el seno del ángulo de 75º. sen 75º sen ( 45º + 30º ) sen 45º cos 30º + cos 45º sen 30º sen 75º Coseno de una suma de ángulos: El coseno del ángulo suma es el segmento OE que según la figura: cos ( a + b ) OE OF - EF OF - GC Sí en el triángulo OFC consideramos el coseno del ángulo agudo a, tenemos: OF cos a OC OF cos a OC cos a cos b Por otra parte, si en el triángulo CGD consideramos el seno del ángulo agudo a: sen a GC DC GC sen a DC sen a sen b 4

27 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Finalmente nos queda: cos ( a + b ) cos a cos b sen a sen b Ejemplo: Determinar el coseno del ángulo de 75º.- cos 75º cos ( 45º + 30º ) cos 45º cos 30º - sen 45º sen 30º cos 75º 6 4 Tangente de una suma de ángulos.- Si dividimos las formulas del seno y del coseno: tag ( a + b ) sen ( a cos ( a + + b ) b ) sen a cos b cos a cos b + cos a sen b sen a sen b sena cosb cos asenb + cos a cosb cos a cosb cos a cosb senasenb cos a cosb cos a cosb sena senb + cos a cosb senasenb 1 cos a cosb tga + tgb 1 tga tgb tga + tgb tg ( a + b) 1 tgatgb Ejemplo: Determinar la tangente del ángulo de 75º 5

28 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría tg 75º tg ( 45º + 30º ) tg 45º + tg 30º 1 tg 45º tg 30º ( ) ( ) ( 3) ( 3 1 ) ( ) ( 3) Líneas trigonométricas de una diferencia de ángulos Supongamos que, conocidas las líneas trigonométricas principales: seno, coseno y tangente, de dos ángulos a y b, queremos determinar las del ángulo a b. Seno de una diferencia de ángulos: sen ( a b ) sen [ a + ( -b ) ] sen a cos ( -b ) + cos a sen ( -b ) y sabemos que: sen ( -b ) - sen b y cos ( -b ) cos b, por tanto: sen ( a b ) sen a cos b cos a sen b Ejemplo: Dados dos ángulos del primer cuadrante, cuyos senos son 1/3 y 1/4 respectivamente, determinar el seno del ángulo a b: cos a 1 sen a 1 1 ) 3 ( cos b 1 sen b 1 1 ) 4 ( y sustituyendo en la fórmula: 1 15 sen ( a b )

29 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Coseno de una diferencia de ángulos: cos ( a b ) cos [ a + ( -b ) ] cos a cos ( -b ) sen a sen ( -b ) cos a cos b + sen a sen b Ejemplo: Dados dos ángulos a y b del primer cuadrante en los que se verifica que: sen a cos b 10 9 Determinar el coseno del ángulo a b, expresando el resultado en forma de número decimal, con sis cifras decimales. cos a 1 sen a 9 1 ) 10 ( 19 sen b cos ( a b ) cos a cos b + sen a sen b Tangente de la diferencia de ángulos: tg ( a b ) tg [ a + ( -b ) ] tga + tag( b) 1 tgatg( b) tga tgb 1+ tgatgb Ejemplo: Dados los ángulos a y b del primer cuadrante, cuyas tangentes son 3 y, respectivamente, determinar la tangente del ángulo diferencia a b Líneas trigonométricas del ángulo doble Supongamos que conocidas las líneas trigonométricas principales de un ángulo a, queremos determinar las del ángulo ª, doble del primero. Seno del ángulo doble: sen a sen ( a + a ) sen a cos a + cos a sen a sen a cos a 7

30 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Ejemplo: Sabiendo que el seno de un ángulo del segundo cuadrante es 1/5, determinar el seno de su ángulo doble. Coseno del ángulo doble: cos a cos ( a + a ) cos a cos a sen a sen a cos a sen a Ejemplo.- Sabiendo que el seno de un ángulo del primer cuadrante es 7/1, determinar el coseno de su ángulo doble. Tangente del ángulo doble: tg a tg ( a + a ) tga + tga 1 tgatga tg a 1 tg a Ejemplo: Sabiendo que la tangente de un ángulo es 3, determinar la tangente de su ángulo doble Líneas trigonométricas del ángulo mitad Seno del ángulo mitad: Sabemos que: cos a + sen a 1 Y si consideramos la formula del coseno del ángulo doble, referida al ángulo a : cos a cos a - sen a cos a sen a + cos a y sustituyendo en la ecuación anterior: sen a + cos a + sen a a 1 cos a 1 sen ± 8

31 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Al utilizar la fórmula es preciso elegir adecuadamente el signo, dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo a Ejemplo.- Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar el seno de su ángulo mitad. Coseno del ángulo mitad: Consideremos las mismas dos fórmulas de antes: cos a + sen cos a - sen Sumando miembro a miembro: a 1 a cos a cos a 1 + cos a a 1 + cos a cos ± Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar el coseno del ángulo mitad. Tangente del ángulo mitad: tg a a sen a cos 1 cos a 1 + cos a 1 cos 1 + cos Si multiplicamos en la fracción de dentro de la raíz arriba y abajo por : 1 cosa: a a a (1 cos a)(1 cos a) tg (1 + cos a)(1 cos a) (1 cos a) 1 cos a 1 cos a sen a 9

32 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Y si hubiéramos multiplicado en la fracción por 1 + cos a: tg a sen a 1 + cos a Ejemplo: Sabiendo que el coseno de un ángulo del primer cuadrante es 0.36, determinar la tangente del ángulo mitad 10.5 Formulas de transformación de productos en sumas Transformación en suma del producto de un seno por un coseno: sen ( a + b ) sen a cos b + cos a sen b sen ( a b ) sen a cos b cos a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) + sen ( a b ) sen a cos b sen a cos b 1 [ sen ( a + b ) + sen ( a b ) ] Ejemplo: Transformar en suma el producto: sen 40º. cos 5º Transformación en suma de un producto de senos: cos ( a b ) cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) cos a cos b sen a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a b ) cos ( a + b ) sen a sen b 30

33 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría sen a sen b 1 [ cos ( a b ) cos ( a + b ) ] Ejemplo: Transformar en suma el producto sen 3x. sen x Transformación en suma de un producto de cosenos: cos ( a b ) cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) cos a cos b sen a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a b ) + cos ( a + b ) cos a cos b cos a cos b 1 [ cos ( a b ) + cos ( a + b ) ] Ejemplo: Transformar en suma el producto cos 80º. cos 0º 10.6 Fórmulas de transformación de sumas en productos Transformación en producto de una suma de senos: sen ( a + b ) sen a cos b + cos a sen b sen ( a b ) sen a cos b cos a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) + sen ( a b ) sen a cos b 31

34 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría Si llamamos A a + b y B a b a A + B y b A B sen A + sen B sen A + B. cos A B Ejemplo.- Transformar en producto: sen 7º + sen 10º Transformación en producto de una diferencia de senos: sen ( a + b ) sen a cos b + cos a sen b sen ( a b ) sen a cos b cos a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: sen ( a + b ) sen ( a b ) cos a sen b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable que antes: sen A sen B cos A + B. sen A B Ejemplo: Transformar en producto la diferencia sen 5x sen 3x Transformación en producto de una suma de cosenos: cos ( a b ) cos a cos b + sen a sen b cos ( a + b ) cos a cos b sen a sen b Sumando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a + b ) + cos ( a b ) cos a cos b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable: 3

35 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría cos A + cos B cos A + B. cos A B Ejemplo: Transformar en producto la suma: cos 70º + cos 0º Transformación en producto de una diferencia de cosenos: cos ( a + b ) cos a cos b sen a sen b cos ( a b ) cos a cos b + sen a sen b Restando miembro a miembro ambas igualdades: cos ( a + b ) - cos ( a b ) - sen a sen b Y volviendo a hacer el mismo cambio de variable: cos A cos B - sen A + B. sen A B Ejemplos: 1.- Transformar en producto la diferencia: cos 0º - cos 0º.- Transformar en producto la diferencia: cos 0º - sen 40º 33

36 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría EJERCICIOS: 1.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son 0. y 0.1. Determina en forma decimal, apreciando hasta la cienmilésima, el seno y el coseno de la suma de ambos..- Determina en forma decimal, el seno y el coseno de la diferencia de los dos ángulos del ejercicio anterior. 3.- Los senos de dos ángulos del primer cuadrante son 1 y 3 1. Determina en forma exacta, el seno y el coseno de la suma de ambos. 4.- Determina el seno y el coseno de la diferencia de los ángulos del ejercicio anterior. 5.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 90º, considerando que este ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 30º. 6.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 105º, considerando que este ángulo se puede obtener sumando los ángulos de 60º y 45º 7.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 0º, considerando que este ángulo se puede obtener restando a un ángulo cualquiera el mismo ángulo. 8.- Determina el seno, el coseno y la tangente de 15º, considerando que este ángulo se puede obtener restando los ángulos de 60º y de 45º. 9.- Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 0.99 y Determina, en forma decimal, la tangente de su suma y de su diferencia Las tangentes de dos ángulos del primer cuadrante son 7 y 6. Determina, en forma exacta, la tangente de su suma y de su diferencia Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 90º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a 1.- Deduce el seno y el coseno del ángulo a + 45º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a. 34

37 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría 13.- Deduce la tangente del ángulo a + 45º en función de las líneas trigonométricas del ángulo a Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la diferencia entre 45º y 30º Determina el seno de 15º, considerando que este ángulo es la mitad del de 30º Comprueba que las soluciones de los dos ejercicios anteriores son equivalentes Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la diferencia entre 45º y 30º Determina la tangente de 15º, considerando que este ángulo es la mitad de 30º Determina las líneas trigonométricas del ángulo de 10º, considerando que este ángulo es el doble de 60º. 0.- Determina el seno del ángulo de º 30, considerando que este ángulo es la mitad de 45º 1.- Determina la tangente del ángulo de º y Deduce una formula que nos de el seno del ángulo a en función de la tangente de a. 3.- Deduce una formula que nos de el seno de 3 a en función del seno de a. 4.- Deduce una formula que nos de el coseno de 3 a en función del coseno de a. 5.- Deduce una formula que nos de la tangente de 3 a en función de la tangente de a. 6.- Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 1/3. Determina el seno, el coseno y la tangente del ángulo 3 a. 35

38 º Trimestre Tema 10: Ampliación de Trigonometría 7.- Deduce una formula que nos de el seno de 4 a en función de las líneas trigonométricas de a. 8.- Deduce una fórmula que nos de el coseno de 4 a en función del seno de a. 9.- Deduce una formula que nos de la tangente de 4 a en función de la tangente de a Sabiendo que el seno de un ángulo a del primer cuadrante es 3/5. Determina el seno el coseno y la tangente del ángulo 4 a Los senos de dos ángulos a y b del primer cuadrante son 0. y 0.1. Detremina en forma decimal el seno y el coseno del ángulo a + b. 3.- Transforma en sumas los siguientes productos de líneas trigonométricas. a) sen 10º. cos 40º b) sen 3º. sen 71º c) cos 17º. cos 54º d) sen 3x cos 5x e) sen x. sen 4x f) cos x. cos 3x 33.- Transforma en producto las siguientes sumas de líneas trigonométricas. a) sen 48º + sen 5º b) sen 80º - sen 0º c) sen 17º + cos 57º d) cos 3x cos 5x e) sen 4x + sen x f) cos 3º + cos 5º 36

39 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos TEMA 11: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 11.1 Introducción Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos a partir de un mínimo número determinado de ellos que sirvan para determinarlo. En el caso del triángulo rectángulo, el problema es especialmente sencillo, ya que el teorema de Pitágoras relaciona sus lados, y las propias definiciones de las razones trigonométricas relacionan sus lados con sus ángulos. 11. Resolución de triángulos rectángulos Los elementos de un triángulo rectángulo que se pueden tomar como datos para, a partir de ellos, determinar todos los demás, son los siguientes: - La hipotenusa y un cateto - Los dos catetos - La hipotenusa y un ángulo agudo - Un cateto y un ángulo agudo Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un cateto: sen B Cateto opuesto Hipotenusa a b cos C Cateto contiguo Hipotenusa a b A continuación, calculamos el cateto c por medio del teorema de Pitágoras. 37

40 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Y un cateto mide 3 cm. Calcula los dos ángulos agudos y el otro cateto. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de los dos catetos: tg B Cateto opuesto Cateto contiguo c b tg C Cateto opuesto Cateto contiguo b c A continuación calculamos la hipotenusa a por medio del teorema de Pitágoras. Ejemplo: Los catetos b y c de un triángulo rectángulo miden 5 y 9 m. Respectivamente. Determinar los dos ángulos agudos y la hipotenusa. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de la hipotenusa y un ángulo agudo: 38

41 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos sen B Cateto opuesto Hipotenusa a b b a sen B cos B Cateto contiguo Hipotenusa a c c a cos B A continuación, calculamos el ángulo agudo C, considerando que es el complementario de B. C 90º - B Ejemplo.- La hipotenusa del triángulo de la figura mide 1 Km. Y el ángulo agudo B mide 1º. Determinar los dos catetos del mismo. Resolución de un triángulo rectángulo a partir de un cateto y un ángulo agudo: sen B Cateto opuesto Hipotenusa b b a a sen B tg B Cateto opuesto Cateto contiguo b b c c tg B A continuación, calculamos el ángulo C, considerando que es el complementario de B. C 90º - B Ejemplo.- El cateto vertical b de la figura anterior mide 15 cm. Y el ángulo agudo B, opuesto al mismo, mide 0.9 radianes. Determinar la hipotenusa y el otro cateto. 39

42 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos 11.3 Teorema del seno La trigonometría nos permite determinar la relación numérica que existe entre cada ángulo y su correspondiente lado opuesto. Si trazamos la altura CD se forman dos triángulos rectángulos, ADC y BDC. En cada uno de ellos podemos deducir el valor del cateto DC en función de la hipotenusa y del ángulo opuesto. DC DC sen A - AC b DC b sen A sen B DC DC BC a DC a sen B Igualando las dos expresiones : b sen A a sen B a sen A b sen B Del mismo modo, trazando la altura correspondiente al vértice B, podíamos haber demostrado que: a sen A c sen C De donde: a sen A b sen B c senc 40

43 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos En todo triángulo, las longitudes de los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos Teorema del coseno Este teorema nos va a permitir calcular un lado de un triángulo cualquiera cuando se conocen los otros dos y el ángulo que forman. La altura CD determina dos triángulos rectángulos: ACD y BCD: a h + ( c n ) h + c - c n + n b h + n restando miembro a miembro ambas igualdades se obtiene: a - b c - c n Despejando a : a b + c - c n En el triángulo rectángulo de la izquierda ADC: cos A AD AC b n n b cos A Y sustituyendo en la expresión anterior: a b + c - b c cos A 41

44 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo que forman Resolución de triángulos oblicuángulos Los elementos de un triángulo oblicuángulo que se pueden tomar como datos para, a partir de ellos determinar todos los demás son los siguientes: - Los tres lados - Dos lados y el ángulo comprendido entre ambos - Dos lados y un ángulo no comprendido entre ambos - Un lado y dos ángulos Resolución de un triángulo a partir de sus lados: Aplicando el teorema del coseno a cada uno de los lados iremos conociendo los tres ángulos. Sí en la formula el coseno nos sale negativo se tratará de un ángulo obtuso y si es positivo será un ángulo agudo. Es interesante considerar que los tres lados de un triángulo no pueden ser valores cualesquiera, ya que tienen que cumplir el requisito de que un lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que la diferencia. Por ello si al resolver un triángulo nos encontramos con que un coseno es mayor que la unidad, lo cual es imposible, esto significa que los datos son incompatibles. Ejemplo: Los lados a, b y c de un triángulo miden 3, 6 y 7 cm respectivamente. Determinar el valor de los tres ángulos. Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y del ángulo comprendido entre ambos: Bastará aplicar el teorema del coseno y posteriormente el del seno. Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 3 y 5 cm. respectivamente y el ángulo C comprendido entre ambos es de 70º. Determinar el lado c, así como los otros dos ángulos. Resolución de un triángulo a partir de dos de sus lados y de un ángulo no comprendido entre ambos: Estos ejercicios se resuelven por aplicación del teorema del seno. 4

45 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos Ejemplo: Los lados a y b de un triángulo miden 4 y 3 cm, respectivamente y el ángulo A opuesto al primero de ellos es de 38º. Determinar el lado c y los otros dos ángulos. Resolución de u triángulo a partir de un lado y dos ángulos: Si se conocen dos ángulos, se conoce el tercero restando a 180º la suma de ambos y conocidos los tres ángulos y un lado, aplicando el teorema del seno, conoceremos los otros dos lados. Ejemplo: El lado a de un triángulo mide 9 cm. y los ángulos B y C miden 51º y 74º respectivamente. Determinar el ángulo A, saí como los otros dos lados Área de un triángulo Área 1 1 Base. Altura b. h DB AB. sen A h c sen A 1 S bc sen A El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman. Ejemplo: Dos de los lados de un triángulo miden 5.73 y 6.8 m y estos dos lados forman un ángulo de 38º. Calcular su área. 43

46 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos 11.7 Aplicaciones practicas La resolución de triángulos posee numerosas aplicaciones practicas en problemas técnicos que surgen en el ámbito de la Geometría, la Física, la Topografía, la Astronomía,..y en muchos campos de la Ciencia y de la Técnica. Ejemplos: 1.- Determinar el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio..- Con objeto de averiguar la altura que tiene una estatua, se coloca un teodolito a 80 metros del pedestal de la misma. Con este aparato que sirve para medir ángulos, se lanza una visual a los pies de la estatua, resultando que esta visual forma un ángulo de 1º 36 con el plano horizontal. Otra visual lanzada a la cabeza de la estatua tiene una inclinación de 19º 13 con respecto al mismo plano. Cuál es la altura de la estatua? 3.- Calcular la longitud de la diagonal de un pentágono regular de 5 cm de lado. 4.- Con objeto de llevar a cabo el proyecto de un puente, un ingeniero desea saber la distancia entre el punto A en el que se encuentra y el punto B, situado en un lugar inaccesible de la otra orilla. Para ello toma como referencia un punto C situado a 100 m de A, construye el triángulo ABC y, utilizando un teodolito mide los ángulos A y C, cuyos valores son A 66º 47 y C 51º 33. Que distancia hay entre A y B? 5.- Dos fuerzas de 60 y 100 Kgf actúan sobre un mismo punto formando un ángulo de 80º. Cuál es la intensidad de la resultante? 44

47 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos EJERCICIOS DE RESOLUCION DE TRIANGULOS CUALESQUIERA 1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 cm y un cateto del mismo mide cm. Determina el otro cateto y los dos ángulos agudos..- Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 13 y 17 cm. Determina la hipotenusa y los dos ángulos agudos. 3.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 11 cm y uno de los ángulos agudos 19º. Determina los dos catetos y el otro ángulo agudo. 4.- Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm y el ángulo opuesto al mismo 6º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo. 5.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm y el ángulo contiguo al mismo 31º. Determina el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo. 6.- Los lados de u triángulo isósceles miden 4, 7 y 7 cm. Determina sus tres ángulos. 7.- El lado desigual de un triángulo isósceles mide 18.4 cm y el ángulo desigual 54º 0. Determina el valor de cada uno de los lados iguales y de cada uno de los ángulos iguales. 8.- Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 14 cm y cada uno de los ángulos iguales 1º. Determina el valor del lado desigual y del ángulo desigual. 9.- Determina el lado y los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 7 cm Determina el radio de un pentágono regular de 1 cm de lado Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide cm y el ángulo desigual 48º. Determina el valor del lado desigual y de cada uno de los ángulos iguales. 1.- Cada uno de los lados de un rombo mide 10 cm y uno de sus ángulos 65º. Determina las diagonales. 45

48 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos 13.- La gran Pirámide de Keops tiene una altura de 138 metros y su base es un cuadrado de 7 metros de lado. Determina el ángulo de inclinación de cada una de las aristas Desde un barco situado cerca de la costa guipuzcoana se ve el Monte Igueldo bajo un ángulo de 1º 17. Sabiendo que la altura de este monte es de 181 metros. A que distancia de su base se encuentra el barco? 15.- Los tres lados de un triángulo miden 3, 5 y 7 cm. Determina el valor de sus tres ángulos Dos lados de un triángulo miden 4 y 6 cm y el ángulo comprendido entre ambos 9º. Determina los otros dos ángulos así como también el tercer lado Un lado de un triángulo mide 1 cm y los dos ángulos adyacentes al mismo, 8º y 85º. Determina los otros dos lados Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm Calcula el área de un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 4 y 6 cm y el ángulo comprendido entre ambos 30º. 0.- Un avión cuya velocidad propia en ausencia de viento, es de 00 km/h se ve empujado por una corriente de aire de 0 km/h cuya dirección forma 40º con el eje del aparato. Cuál es la velocidad real del mismo? 1.- Qué ángulo deben formar dos fuerzas de 6 y 7 kgf para que su resultante sea igual a la mayor de ellas?.- Los lados de un triángulo miden 1, 18 y 5 cm. Calcula la altura correspondiente al lado mayor. 3.- Desde un punto situado a 100 metros de una torre se ve esta bajo un ángulo de 38º 47. Bajo que ángulo se verá esta misma torre desde una distancia de 00 metros? 46

49 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos 4.- Un paralelogramo cuyos lados miden 1 y 0 cm tiene una superficie de 00 cm. Determina el ángulo que forman sus lados. 5.- Demuestra que un triángulo isósceles, cuyos lados iguales son b y c, se verifica: a cos B b 6.- Demuestra que en un triángulo isósceles cuyos lados iguales son a y c se verifica: b a (1 cos B ) 47

50 º Trimestre Tema 11: Resolución de Triángulos Ejercicio sobre una aplicación practica de trigonometría: Encontrándonos en una de las orillas de una ría, deseamos averiguar la distancia existente entre dos faros A y B situados en la orilla opuesta. Para ello, tomamos en nuestra orilla, dos puntos C y D separados por una distancia conocida, por ejemplo 500 metros y construimos el cuadrilátero formado por los puntos: A, B, C y D. Por medio de un teodolito medimos los ángulos ACD, BCD, ADC y BDC cuyos valores resultan ser: 83º 1, 79º56, 88º 11 y 93º 58. A partir de estos datos, determinar la distancia entre los dos faros. 48

51 º Trimestre Tema 1: Ecuaciones Trigonométricas TEMA 1: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1 Comprobar que son ciertas las siguientes igualdades sustituyendo las razones que aparecen por sus valores numéricos. a).- tg 60º. cotg 40º 1 b).- cos 30º. sec 330º 1 c).- tg 45º sen 45º cos 315º d).- sen 10º sen 60º cos 60º e).- cos 150º cos300º 1. Demostrar que se cumplen las siguientes relaciones trigonométricas a) sen α cos α b) cos α - sen α cos α - 1 c) ( 1 ctg α ) cosec α - cotg α d) ( tg α + cotg α ) sec α + cosec α e) sec α - cos α tg α. sen α f) cosec α 1 cos α cotg α. cosec α g) sec α 1 sen α sec α 49

52 º Trimestre Tema 1: Ecuaciones Trigonométricas h) sen α ( cosec α - sen α ) cos α i) tg α ( sen α + cotg α. cos α ) sec α j) cos α + sen α cosec α sen α k) 1 sen α. cos α - cos α sen α tg α l) tgα + senα cosecα tgα cosec α sec α m) secα - senα senα cosα ctg α 1.3 Demostrar que las ecuaciones siguientes son identidades a) tgα 1+ secα - tgα 1 secα senα b) sen α + cosα tgα cosα tg α c) cosα cosα senα cosα ( cosα senα ) 1 senα cosα d) sen α - cos α sen 4 α - cos 4 α e) cosecα senα - cot gα cot gα 0 cosecα 50

53 º Trimestre Tema 1: Ecuaciones Trigonométricas f) secα 1 cosα secα + 1 sen α g) ( sec α - tg α ) ( cosec α + 1 ) cotg α h) cosα - 1 senα 1+ senα cosα 0 i) tgα + tgβ cot gα + cot gβ tg α tg β 1.4 Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) sen α - cos α 1 b) 3 tg α 1 + tg α c) tg α 5 sen α d) 3 tg α cos α e) cotg α - cosec α 1 f) sen α + cosec α 5 g) 5 sec α - 4 cos α 8 h) sen α - cos α 1 i) 3 sec α - 7 tg α tg α j) cos α - sen α + 3 sen α 51

54 º Trimestre Tema 1: Ecuaciones Trigonométricas 1.5 Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) cos α sen α b) cos α + 3 sen α c) tg α cotg α 1.6 Demostrar a) ( cos α + sen α ) sen α + 1 b) sec α cot g α + tg α cot g α tg α 1.7 Resolver a) 10 sen α + 3 tg α + 8 sen α cos α 0 b) cos α + sen α 4 sen α c) sen α cos α 6 sen 3 α d) tg ( 45º + α ) + tg ( 45º - α ) 4 e) cos α + cos α. cos α Demostrar cos ( x y) cos( x + y) a) sen( x + y) + sen( x y) tg y b) tg ( 45º + α ) - tg ( 45º - α ) tg α 5

55 º Trimestre Tema 1: Ecuaciones Trigonométricas c) cos α tgα. tgα d) sen A sen B. cos ( A B ) + cos B sen ( A B ) 53

56 º Trimestre Tema 14: Los Números Complejos TEMA 13: LOS NÚMEROS. POTENCIAS Y RADICALES El Conjunto de los Números Naturales Cuando contamos los elementos de un conjunto, asociamos a cada elemento del conjunto un elemento de la sucesión de los números naturales, que arrancando de cero serían: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.. El conjunto de los números naturales se designa con la letra N. El conjunto N se representa gráficamente en una semirrecta. Entre los números naturales se puede establecer un criterio de comparación: a > b o a < b. La suma y el producto son operaciones internas dentro del conjunto N. El hecho de no poder resolver cualquier tipo de restas trabajando con números naturales, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de números que supere esta dificultad: El conjunto Z de los números enteros: Z { -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, } El conjunto Z se representa gráficamente en una recta. El conjunto Z es un conjunto ordenado, ya que dados dos números enteros distintos o a > b o a < b. La suma, la resta y el producto de números enteros son operaciones enteras dentro del conjunto Z. ( Z, +,. ) tiene estructura algebraica de anillo unitario y conmutativo. El hecho de no poder resolver cualquier tipo de divisiones trabajando con números enteros, nos hace pensar en la existencia de otro conjunto de números que supere esta dificultad: El conjunto Q de los números racionales. Se dice que a/b es una fracción de números enteros, si y solo si a y b son dos números enteros cualesquiera y b es distinto de cero. El conjunto de las fracciones de números enteros da origen al conjunto de los números racionales: Q. El conjunto Q se representa gráficamente en una recta. El Conjunto Q es un conjunto ordenado ya que siempre se puede establecer una comparación entre dos fracciones de números enteros, es decir o a/b > c/d o a/b < c/d siempre que no se trate de fracciones equivalentes. No todos los números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Se pueden representar los números decimales limitados, también se pueden representar en forma de fracción los números decimales periódicos, pero no se pueden representar en forma de fracción los números decimales ilimitados noperiódicos, y por tanto no son números racionales. A estos números se les 54