TRIGONOMETRÍA: MEDIDA DE ÁNGULOS

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1 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 1 TRIGONOMETRÍA: MEDIDA DE ÁNGULOS Ángulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas de origen común. Medidas de ángulos Medidas en grados Un grado es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. El grado es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud r o. 60 Un grado es igual a 60 minutos. Un minuto es igual a 60 segundos. Un ángulo recto mide 90. Un ángulo llano mide 180. Un ángulo completo mide 60. Medidas en radianes Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. El radián es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. Un ángulo recto mide rad. Un ángulo llano mide rad. Un ángulo completo mide rad. Equivalencia entre grados y radianes. Como un ángulo llano mide 180 o rad., un radián equivale a 180/, y, epresado en grados, minutos y segundos: 1 radián = 57175,71 Como un ángulo llano mide 180 o rad, un grado equivale a /180 rad, es decir: 1 = 0,0175 rad. Para pasar de grados, minutos y segundos, a radianes, se multiplica por y se divide por 180. Para pasar de radianes a grados, minutos y segundos, se multiplica por 180 y se divide por.

2 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. TRIGONOMETRÍA: TRIÁNGULOS SEMEJANTES Trazando una perpendicular a cualquiera de los lados de un ángulo obtenemos un triángulo rectángulo determinado por tres segmentos (OA, OB y AB). Tomando dos de esos segmentos podemos afirmar: AB - La razón es siempre la misma, independientemente de la perpendicular r elegida. OA AB - La razón sólo varía al variar el ángulo. OA Esto es así porque todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a los lados de un ángulo son semejantes. Entonces: AB OA A`B` OA` A``B``... OA`` Ejercicio: AB Teniendo en cuanta que para un ángulo de 0º, = 0,5, calcula la altura a la que se encuentra el OA globo, sabiendo que la longitud de la cuerda que lo sujeta es de 80 m.

3 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Seno del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Se designa por sen. sen cateto opuesto hipotenusa Coseno del ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Se designa por cos. cos cateto contiguo hipotenusa Tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Se designa por tg. tg cateto cateto opuesto contiguo Ejercicio: Sea el triángulo pitagórico de la figura, de lados, y 5. Las razones trigonométricas del ángulo son: sen 5 ; cos 5 ; tg ;

4 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observando la figura obtenemos que: y sen, r cos. r sen y r r r r sen cos. Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando obtenemos: cos 1 que se llama relación fundamental y suele escribirse: 1 Además: sen tg. cos,

5 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 5º Y 60º Los ángulos de 0, 5 y 60 aparecen con mucha frecuencia en las formas geométricas. Sus razones trigonométricas se calculan fácilmente a partir del triángulo equilátero y del triángulo rectángulo de catetos iguales. c c 1 sen 5º c De la misma forma: tg 5º 1 cos5º c ; Por tanto: h h h sen 60º : Conviene recordar las siguientes razones trigonométricas: Seno Coseno tangente 1 1 1

6 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Una de las aplicaciones fundamentales de la trigonometría es la resolución de problemas en los que aparecen triángulos rectángulos. Resolver un triángulo rectángulo es calcular en él todos sus elementos desconocidos (lados y ángulos). Para ello tenemos en cuenta las relaciones trigonométricas y las siguientes relaciones entre sus elementos: Triángulo rectángulo: En un triángulo rectángulo se verifica: Relación entre los ángulos: A + B + C = 180 Teorema de Pitágoras: a b c

7 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Una de las aplicaciones fundamentales de la trigonometría es la resolución de problemas en los que aparecen triángulos rectángulos. Resolver un triángulo rectángulo es calcular en él todos sus elementos desconocidos. Para ello tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos: Triángulo rectángulo: En un triángulo rectángulo se verifica: Relación entre los ángulos: A + B + C = 180 Teorema de Pitágoras: a b c Área de un triángulo: Veremos distintas epresiones del área de un triángulo: 1. En función de la base y la altura: b 1 S b h. En función de dos lados y el ángulo comprendido: S b a senc. En función de los lados y el radio de la circunferencia circunscrita: 1 abc S R p a p b p c. En función de los lados. Fórmula de Herón. S p semiperímetro del triángulo., donde p es el Triángulos cualesquiera: En un triángulo cualquiera se verifica que: El área del triángulo: 1 S b h b A + B + C = 180 Problemas de resolución de triángulos: Un triángulo queda determinado cuando se conocen: - tres lados. - dos lados y el ángulo comprendido. - un lado y los ángulos adyacentes. Resolver un triángulo es obtener, a partir de los tres datos conocidos que lo determinan, los otros tres restantes. Para ello se procede del siguiente modo: 1. Representar la figura.. Situar sobre la figura los datos conocidos.. Señalar sobre la figura los elementos que hay que hallar.. Utilizar las herramientas estudiadas.

8 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Las razones trigonométricas son independientes del radio de la circunferencia elegida. Al aumentar o disminuir el radio de ésta, lo único que hacemos es construir diferentes triángulos rectángulos semejantes, y las razones trigonométricas sólo dependen del ángulo, no del triángulo. Por comodidad, tomaremos la circunferencia de radio unidad y centrada en el origen de coordenadas, que se llama circunferencia goniométrica. Así, para un ángulo tendremos: Para un ángulo cualquiera la definición de las razones trigonométricas directas es la siguiente: ordenada sen radio abscisa cos tg r y radio ordenada abscisa y r

9 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 9 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA sen 0 sen 0 sen 0 cos 0 cos 0 cos 0 tg 0 tg 0 tg 0 En todo triángulo rectángulo se verifica que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos, y dado que el seno y el coseno de un ángulo es la razón entre un cateto y la hipotenusa, en consecuencia se cumplirá que: -1 sen a +1 y 1 cos a +1 En cambio la tangente, al ser el cociente entre dos catetos, puede tomar cualquier valor real. Ejemplo: Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo, sabiendo que cuarto cuadrante? Por estar en el cuarto cuadrante, se deduce que el seno y tangente son negativas. Además: Ángulo cos 5 ; 0 sen Seno tg y que está en el 70 Coseno Tangente 0 No eiste 0 No eiste

10 el blog de mate de aida: trigonometría º ESO pág. 10 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES DE CIERTOS ÁNGULOS (REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE) Ángulos complementarios: y 90 - En la figura se observa que el valor del seno de es igual al valor del coseno de 90- y que el valor del coseno de es igual al valor del seno de 90-. sen (90 - ) = cos cos (90 - ) = sen tg (90 - ) = cotg Ángulos suplementarios: y En la figura se observa que los valores de los senos son iguales y los valores de los cosenos son opuestos. sen (180 - ) = sen cos (180 - ) = - cos tg (180 - ) = - tg Ángulos que difieren en 180: y En la figura se observa que los valores de los senos y los de los cosenos son opuestos. sen (180 + ) = - sen cos (180 + ) = - cos tg (180 + ) = tg Ángulos opuestos: y - En la figura se observa que los valores de los senos son opuestos y los valores de los cosenos son iguales. sen (- ) = - sen cos (- ) = cos tg (- ) = - tg

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