UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA

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1 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-1 UNIDAD N 4: TRIGONOMETRÍA ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Trigonometría Sistema de medición angular... 3 Sistema seagesimal Sistema Radial Tabla de conversión entre los sistemas de medidas angulares Actividades... 5 Razones trigonométricas Actividad Circunferencia trigonométrica Actividad Relaciones entre las razones trigonométricas Teorema fundamental 7 Ángulos opuestos... 8 Inversas de relaciones trigonométricas Actividades Resolución de triángulos oblicuángulos Teorema del seno Teorema del coseno Actividades... 1 Ejercicios prácticos.. 13

2 Ingreso 019 Matemática Unidad 4 - ÍNDICE REDUCIDO DE TEMAS DE LA UNIDAD ESTA UNIDAD CONTIENE LOS SIGUIENTES TEMAS: TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS CONSEJOS A TENER EN CUENTA ANTES DE EMPEZAR: LEER CON MUCHA ATENCIÓN LOS CONTENIDOS. PONER ÉNFASIS EN LOS EJEMPLOS. RESOLVER MINUCIOSAMENTE LOS EJERCICIOS. CONSULTAR LAS DUDAS QUE PUEDAN SURGIR.

3 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-3 TRIGONOMETRÍA INTRODUCCIÓN La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo Metrom: medida. Entonces significa MEDIDA DE TRIANGULOS. Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados los ángulos de triángulos, las propiedades aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos líneas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR Para epresar la medida de un ángulo, se pueden utilizar los siguientes sistemas: Sistema seagesimal: su unidad de medida es el grado seagesimal ; donde un grado seagesimal (simbólicamente 1º) representa la noventa-ava parte de un ángulo recto. ángulo recto 1º 90º ángulo recto 90 Sistema Radial: Para definir la unidad de medida de este sistema, analicemos previamente: Sea un ángulo cualquiera, con centro en el vértice del ángulo radios r 1 r, si se trazan arcos de circunferencias de longitudes S 1, S ; se obtiene la siguiente figura: r Se verifica que: r 1 S S 1 S1 S a ; con a cte r r 1 Para cualquier radio r, la correspondiente longitud de arco S, se verifica: S a S a r La constante a es característica del ángulo en cuestión determina el valor del ángulo. Se dirá que el ángulo se mide en radianes. Un radián es la medida del ángulo cuo arco es igual al radio de la circunferencia, en la que está centrado. r

4 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-4 Nota: Sabiendo que el ángulo central positivo de un giro es = 360º recordando que la longitud de la circunferencia es..r, un ángulo central verifica: S r 360 º Por lo tanto: 360º = radianes r r Ejemplos: a) Determinar los radianes que representan 35º. 360º 35º rad 35º rad rad 360º 7 rad 36 b) Determinar los grados seagesimales que representan 3 rad. rad 360º 3 rad 3 rad 360º ; luego = 540 º rad TABLA DE CONVERSIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES Ángulo en Grados Ángulo en Radianes

5 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-5 ACTIVIDADES 1. Calcular la medida de los siguientes ángulos en radianes: a) â = 18º b) α = 78º. Calcular la medida de los siguientes ángulos en grados: a) ê = 7 3 b) α = 3 rad RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Se llaman razones trigonométricas a las relaciones entre los lados ángulos de un triángulo rectángulo. Son seis reciben el nombre de seno, coseno, tangente, cotangente, secante cosecante. Considerando el ángulo se pueden definir las seis razones de la siguiente forma: b C A a B c sen cos cat op hip cat ad hip C A B A sec cosec hip cat ad hip cat op A B A C cat op tg cat ad C B cotg cat ad cat op B C De las definiciones anteriores se deduce que sen tg cos ; 1 cotg ; tg 1 sec ; cos cosec 1 sen

6 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-6 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Recibe el nombre de circunferencia trigonométrica la circunferencia de centro en el origen de coordenadas cartesianas (0,0) de radio r = 1. 1 P (,) 1 O 1 1 Al considerar un punto P(,) perteneciente a la circunferencia trigonométrica unir el punto P con el origen de coordenadas se obtiene el segmento OP = r = 1 (radio de la circunferencia), que coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo OPX. Observando el gráfico es claro que: OP= r = hipotenusa OX = (abscisa del punto P) = cateto adacente del ángulo (en el triángulo OPX) PX= (ordenada del punto P) = cateto opuesto del ángulo (en el triángulo OPX) Las razones trigonométricas tienen una representación segmentaria en la circunferencia trigonométrica, que para ángulos del primer cuadrante es: P A OB = : representa el cos O B Q PB = : representa el sen QA : representa la tg

7 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-7 Nota: Las razones presentan los siguientes signos de acuerdo a cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas ordenadas: ACTIVIDAD Completar el siguiente cuadro con el signo correspondiente. sen cos tg cotg cosec sec 1º Cuadrante º Cuadrante 3º Cuadrante 4º Cuadrante RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Teorema fundamental. sen = cos = r r de donde = r sen de donde = r cos

8 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-8 Además, según Pitágoras: + = r luego tenemos que: r cos + r sen = r de donde resulta la epresión: sen + cos = 1 Dividiendo en la epresión del recuadro por sen α: cos 1 1 sen sen 1 + cotg = cosec Dividiendo en la epresión del recuadro por cos : 1 tg 1 cos tg + 1 = sec Ángulos opuestos: Si = α sen = r sen = ' sen = - sen r r cos = r cos = r cos = cos ACTIVIDAD 1. Completar el cuadro conociendo los valores de algunas relaciones trigonométricas.

9 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-9 0º 30º 45º 60º 90º sen cos tg cotg sec cosec. Calcular sen α tg α, usando la Relación Fundamental, sabiendo que cos α = α es un ángulo del segundo cuadrante. 3. Calcular cos α cotg α, usando la Relación Fundamental, sabiendo que sen α = 1 α es un ángulo del segundo cuadrante. INVERSAS DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Puede observarse la siguiente situación: Para el ángulo de 30º; o sea para el arco 6, le corresponde el valor de la función seno igual a 0,5; es decir: 0,5 = sen 6. Esta relación implica que 6 es el arco cuo seno es 0,5. Simbólicamente, se puede epresar lo siguiente: Si es el seno de, esto implica que es el arco cuo seno es. sen arco sen La relación arco seno es la inversa del seno.

10 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-10 Análogamente: cos arco coseno tg arco tg Tener en cuenta el siguiente cuadro, que audará para ubicar el ángulo en el cuadrante correspondiente, conociendo la relación trigonométrica. Valor de la Relación Trigonométrica Ángulo agudo dado por la calculadora Seno Positivo, (180º ) Seno Negativo ( + 360º), ( + 180º) Coseno Positivo, (360º ) Coseno Negativo, ( 360º ) Tangente Positivo, ( + 180º) Tangente Negativa ( + 360º), (180º + ) Ejemplos: a) sen = 0,5 = 30º (valor de calculadora) 180º - = 150º b) sen = -0,5 = -30º (valor de calculadora) Rtas: -30º + 360º = 330º 30º + 180º = 10º c) cos = 0,5 = 60º (valor de calculadora) 360º - = 300º d) tg = 1 = 45º (valor de calculadora) + 180º = 45º + 180º = 5º e) tg = -1 = -45º (valor de calculadora) 360º + = 315º 180º + = 135º

11 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-11 ACTIVIDADES 1. Haciendo uso de la calculadora, obtener el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 100º = e) cotg,6 = b) cos 0,5 = f) sec 0,1 = c) tg 0º 10 3 = g) cosec 14º 15 = d) cotg,6º =. Si tg α =,5 α está en el primer cuadrante. Cuánto mide α en radianes? 3. Si sen â = 0,5 â pertenece al II cuadrante; Cuánto mide â en seagesimal? 4. Calcular las demás razones trigonométricas de α sabiendo que sen α = 5 4 α es un ángulo del segundo cuadrante. 5. Calcular las demás razones trigonométricas de α sabiendo que cos α = tercer cuadrante. 3 α está en el RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto. Teorema del seno En todo triángulo oblicuángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. C B A sen c sen b sen a c A b B C a

12 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-1 Teorema del coseno El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. Según los datos del problema, el teorema se puede aplicar de las formas siguientes: A = B + C B. C. cos â a B = A + C A. C. cos bˆ B C C = B + A B. A. cos ĉ c A b ACTIVIDADES 1. Sea abc un triángulo rectángulo en â, el segmento ab mide 0 cm. el ángulo ĉ, opuesto a ese lado, mide 4º. Calcular: a) el lado ac b) el lado bc c) el ángulo bˆ. Sea abc un triángulo rectángulo en â, los segmentos ab ac miden m 4 m, respectivamente. Calcular: a) el lado bc b) el ángulo bˆ c) el ángulo ĉ 3. Dos lados adacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º tienen longitudes de 3 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.

13 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-13 EJERCICIOS PRÁCTICOS Ejercicio 1: Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º /4 radianes. Calcular la medida del tercer ángulo interior en grados seagesimales en radianes. Ejercicio : Utilizar una calculadora encontrar las relaciones trigonométricas de los ángulos: 0º, 5º,45º,70º 85º. Entre qué valores varía el seno el coseno? Ejercicio 3: Algunos valores de las relaciones trigonométricas pueden calcularse directamente sin usar calculadora. Calcular según la figura luego comprobar con la calculadora. a) sen 30º b) cos 30º c) sen 60º d) cos 60º e) Es necesario conocer las medidas del triángulo? a h a a Ejercicio 4: Qué signo tienen sen cos en los siguientes ángulos? a) = 00º b) = 98º c) = 75º d) = 300º e) = 185º. Ejercicio 5: a) Sea un ángulo del cuarto cuadrante tal que cos = 4/5. Hallar sen tan b) Sea un ángulo del segundo cuadrante tal que sen = 3/4. Hallar cos tan c) Sea un ángulo del tercer cuadrante tal que cos = 4/5. Hallar sen tan Ejercicio 6: Calcular sen cos en los siguientes casos: a) tan = está en el segundo cuadrante b) tan = 4 está en el tercer cuadrante c) tan = está en el cuarto cuadrante Ejercicio 7: Determinar sabiendo que: a) sen = 0,69465 está en el segundo cuadrante b) tan = 1,4814 está en el segundo cuadrante c) cos = 0,65606 está en el tercer cuadrante d) tan = está en el cuarto cuadrante

14 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-14 e) sen = 1/3 está en el tercer cuadrante f) cos = 0,65987 está en el cuarto cuadrante Ejercicio 8: En los siguientes triángulos rectángulos, calcular: seno, coseno tangente de. a) 6 cm 10 cm b) 8 cm cm 3 cm,5cm Ejercicio 9: a) Encontrar los ángulos de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 0cm 35 cm. b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0cm uno de los catetos 15cm. Hallar los ángulos. Ejercicio 10: En la siguiente figura v 40 m/ s = 30 º. Calcular v v v v v Ejercicio 11: En la siguiente figura a a 0 m/ s = 40 º. Calcular a a a a

15 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-15 Ejercicio 1: En la siguiente figura F 50 N = 35 º. Calcular F F F F F Ejercicio 13: En la siguiente figura 10 N = 335 º. Calcular Ejercicio 14: Utilizando los elementos del siguiente triángulo, calcular lo que se pide en cada ítem: a) a = 7 cm ; b = 9 cm ; = 60 ; c =? b) c =, cm ; a = 1,7 cm ; = 10 ; b =? b a c) a = 8 cm ; b = 57 cm ; c = 61 cm ; =? d) c = 16 cm ; = 5 ; = 35 ; b =? c Ejercicio 15: Plantear resolver las siguientes situaciones problemáticas. a) Desde un avión que vuela a 500m de altura se divisa una boa. La visual dirigida desde el avión a la boa forma con la vertical un ángulo de 45º. Determinar a qué distancia de la boa se encuentra el avión. b) Se apoa una escalera en la pared a una distancia de 1 metros formando esta un ángulo de 60º con el piso, Cuál es la longitud de la escalera? c) Un edificio proecta una sombra de 150m cuando el sol forma un ángulo de 0º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

16 Ingreso 019 Matemática Unidad 4-16 d) Qué altura debe tener un poste que sostendrá una antena si unos de los cables que la sujeta tiene de longitud 19 m. forma un ángulo de 65º con el piso? e) Un árbol se quebró su etremo superior forma con el piso un ángulo de 48º, si éste quedó a una distancia de 7m. de la base del árbol Cuánto mide el árbol? f) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida m, otro 1,5 m el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. Lo conseguirá? g) Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º cada uno va por su lado, uno camina a 3 km por hora el otro a 3,5 km por hora, a qué distancia se encuentran al cabo de media hora? h) Desde un punto se observa un edificio cua parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio. i) Desde un punto A en la orilla de un río, cua anchura es de 50m, se ve un árbol justo enfrente. Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla. j) En un rectángulo de 55 mm de base, se traza su diagonal, cua medida es de 305 mm. Cuánto mide la altura del rectángulo? k) Maimiliano está remontando su barrilete. El largo del hilo desenredado es de 15.9 metros. El barrilete está justo encima de su hermana, que está a 8,4 metros de distancia de Maimiliano. Representar gráficamente la situación. Calcular la altura a la que está en ese momento el barrilete del piso. Mai su hermana miden los dos 1,5 m. l) Se desea construir un túnel a través de una montaña. Un topógrafo realizó las mediciones que se muestran en la figura: Determine la longitud del túnel. 84 m 136 m 78,5