TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA
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- Belén Henríquez Navarro
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1 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad 6 y,5 rad 7 a) rad rad b) rad rad rad 8 8 8, 5 rad, 5 ' 7" EJERCICIO : Completa la tabla: rad rad 8 8 rad rad 8 6 Por tanto: rad 8, 5 rad, ' 7" ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO : Si tg α y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar α) : a) tg 8 α b) tg 8 α c) tg 6 α d) tg 6 α tg tg8 tg tg6 a) tg 8 c) tg 6 b) tg d) tg EJERCICIO 4 : Si sen,5 y < < 9 halla sin calcular : a) sen 8 α b) cos 8 α 8 sen 5 8 cos a) sen, b) cos Necesitamos saber cuánto vale cos : sen cos, 5 cos, 5 cos cos, 8775 cos,94 (es positivo, pues 9 ) 8 cos 94 Por tanto: cos,
2 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 5,77, cos 5,64 y tg 5,9, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora: a) cos b) tg c) cos d) sen cos8 5 cos5, tg5, 9 cos8 5 cos5, 64 sen6 5 sen5, 77 a) cos b) tg tg c) cos d) sen RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de los catetos mide cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto: a b c b 5 44 b 5 b b 9 cm b Hallamos los ángulos: sen Bˆ sen Bˆ, Bˆ 5'" Â 9 Bˆ 5 7' 48" c 5 Por tanto: a cm; Â 5 7' 48";b 9 cm; Bˆ 6 5'";c 5 cm; Ĉ 9 EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado metros de cable. Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B. sen 6 sen 5 zsen zsen h z h z zsen 6 h zsen 5 h zsen 5 zsen 6 sen 5 z 5 6 sen 6 sen 5 5 sen 5 6 zsen 5 sen 5 z sen sen z, 98 m sen 6 sen 5 sen 5 sen 6 h z sen 6, 45 m La altura del mástil es de,45 m sen 6 sen 5 Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar e y: h h, 45 tg 6 y, 99 m y tg 6 tg 6 h h, 45 tg 5 4, 9 m tg 5 tg 5 Por tanto, la distancia entre A y B es de y 4,9,99 6,9 m.
3 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 4. Cuál es la altura de la antena? tg 55 tg 4 tg h h 7 tg 55 h tg 55 7tg 4 tg 55 tg 4 7tg 4 7tg 4 h tg 55 tg tg 4 9, 97 m tg 55 tg 4 55 tg 4 7 tg 4 tg 7tg 4 tg 55 h tg 55 4, 4 m La altura de la antena es de 4,4 metros. tg 55 tg 4 EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden y 4 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: 7 5 l l 74 l 8, 6 cm 5 Hallamos los ángulos: tg   5 '6" Bˆ 9  54 7' 44" 7 ˆ A 7 4' " Los ángulos del rombo miden: ˆ B 8 55' 9" RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA EJERCICIO : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 5 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 8. A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Solución Hallamos el ángulo Bˆ : Bˆ 8  Ĉ 5 Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: a sen 65 5 sen 5 5sen 65 a sen 5 79 c 5 5sen 8 c 85, 85 km sen8 sen 5 sen 5 Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. km Los metros de valla necesarios serían: a b c 5,49 55,49 m
4 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 4 EJERCICIO : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos: Hallamos el lado c con el teorema del coseno: c a b ab cosĉ c 9, 5 4 9, 5 4 cos 5 c 57, 4 c 7, 58 cm c 9, , 85 Como conocemos los tres lados, la solución es única. Hallamos el ángulo A ˆ: a c 9, 5 7, 58 9, 5sen 5 sen  sen Â, 96  7 45' 4" sen  senĉ sen  sen 5 7, 58 Bˆ 8  Ĉ 56 4'6" Por tanto: a 9,5 cm;  7 45' 4"; b 4 cm; Bˆ 56 4'6"; c 7,58 cm; Ĉ 5 EJERCICIO : Halla los lados y los ángulos de este triángulo: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de a b 5 8 sen  sen Bˆ sen8 sen Bˆ los senos : 8sen8 sen Bˆ, 57 Bˆ 8' 46" 5 (Como A ˆ es obtuso, Bˆ y Cˆ han de ser agudos, solo hay una relación). Hallamos el ángulo Cˆ: Ĉ 8  Bˆ 4 '4 " c a c 5 Calculamos el lado c: senĉ sen  sen4 '4" sen8 Por tanto: a 5 m;  8 ;b 8 m; Bˆ 8' 46"; c, 46 m; c, 46 m Ĉ 4 '4" EJERCICIO : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, eiste solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno: a b c bc cos  5, 84, 5 6 4cos  4 cos A, 5 6 5, 84 4 cos Â, 59 cos Â, 85  94 54'" b a c ac cos Bˆ, 5 5, , 4cos Bˆ 86, 4cos Bˆ 5, 84 6, 5 cos Bˆ, 875 ˆ B 8 58' 7" C ˆ 8 Por tanto: a 7, ˆ ˆ A B 56 7' 4" cm;  94 54'";b,5 cm; Bˆ 8 58'7";c 6 cm; Ĉ 56 7' 4" EJERCICIO 4 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de. Al cabo de horas, el primer barco está a 4 km del punto inicial y el segundo barco, a 5 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qué distancia se encuentra un barco del otro?
5 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 5 Hallamos la distancia,, aplicando el teorema del coseno: cos 569, , 8 7, km Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 7, km. EJERCICIO 5 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de metros, el ángulo correspondiente a B es de 5, y el ángulo en A es de 75. Cuál es la distancia entre B y C? Y entre A y C? Hallamos el ángulo Ĉ : Ĉ 8  Bˆ 55 Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos: a sen75 sen 55 sen 75 a sen55 7, 9 b sen 5 b 9, 5 m sen5 sen 55 sen 55 Por tanto, la distancia entre B y C es de 7,9 m y la distancia entre A y C es de 9,5 m. EJERCICIO 6 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de los senos: a b 6 sen  sen Bˆ sen5 sen Bˆ sen Bˆ (Como 6  sen5 es obtuso,, 58 Bˆ y Ĉ Bˆ 5 5'9" han de ser agudos; Hallamos el ángulo de Ĉ: Ĉ 8  Bˆ 9 4' 5" m solo hay una solución). c a c Calculamos el lado c: senĉ sen  sen9 4'5" sen5 Por tanto: a m;  5 ;b 6 m; Bˆ 5 5'9";c 6,6 m; Ĉ 9 c 6, 6 m 4'5" EJERCICIO 7 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 5 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 4. A qué distancia se encuentra Sara del castillo? Y Manolo? El ángulo Ĉ será: Ĉ Con el teorema de los senos hallamos los lados e y: sen4 sen5 sen4 sen5 48, 5 y sen 5 y 6, 9 m sen 5 sen5 sen5 Por tanto: Sara está a 48,5 m del castillo y Manolo, a 6,9 m. m
6 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 6 DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 8 : Demuestra que: cos sen cos a) b) cos cos sen cos cos sen c) sen y sen y sen sen y d) sen cos cos sen cos sen sen sen e) cos tg cos cos sen cos sen sen cos sen cos sen a) sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos cos cos sen cos b) cos cos cos cos cos c) sen y sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen sen y cos sen y sen sen sen y sen sen y sen sen sen y sen y sen sen y sen sen y d) cos cos sen cos sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen sen sen sen cos sen sen cos sen e) tg cos sen cos sen cos sen cos cos cos sen sen cos sen sen cos cos cos cos cos cos sen cos RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 9 : Resuelve: a) 45 sen 45 sen b) sen cos c) cos sen sen d) cos cos cos sen e) 4cos cos f) sen cos cos sen sen 45 sen 45 sen cos 45 cos sen 45 sen cos45 cos sen 45 a) sen cos 45 sen sen sen 45 6 k donde k Z 5 6 k sen cos b) sen cos cos cos sen
7 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 7 cos sen 9 6k 7 6k 6 k sen 6 k donde k Z c) cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos 6 k 8 6 k cos cos 6 k Por tanto, las soluciones son: 8 6 k cos cos 45 6 k 5 6 k donde k Z. d) cos cos cos sen cos cos sen 45 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k cos cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos sen sen 9 6 k cos k sen sen sen sen k Por tanto las soluciones son: 7 6 k e) 4cos cos 4cos sen cos 4cos 4 cos cos 4cos 4 4cos k siendo k Z (no vale) 4cos 4sen cos cos 8cos cos cos 6 5 cos 8 cos ' 4" 6 k 8 4' 56" 6 k 6 k siendo k Z f) sen cos cos sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos sen 9 6 k 7 6 k sen 6 k 5 6 k REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS siendo k Z EJERCICIO a Representa la siguiente función trigonométrica: y cos b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:
8 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 8 a Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería: b La gráfica corresponde a la función y cos. EJERCICIO a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica: b Representa la siguiente función: y cos a La gráfica corresponde a la función y sen. b Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería:
TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA
Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Definiciones: 0 30 45 60 90 180 270 360 Seno 0 1 0-1 0 Coseno 1 0-1 0 1 Tangente 0 1 0 0 Teorema del seno: Teorema del coseno: Fórmulas elementales: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. Suma
TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IES IGNACIO ALDECOA 19 TEMA 4: TRIGONOMETRÍA. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Medida de ángulos. Equivalencias. Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Ángulos y razones trigonométricas
Departamento Matemáticas TEMAS 3 y 4. Trigonometría Nombre CURSO: 1 BACH CCNN 1 Ángulos y razones trigonométricas 1. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulos.
a1 3 siendo a 1 y a 2 las aristas. 2 a a1
Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo
1. Trigonometría 4º ESO-B. Cuaderno de ejercicios. Matemáticas JRM. Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1
1. Trigonometría 4º ESO-B Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM Nombre y apellidos... INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Página 1 RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo. OBJETIVO
4, halla sen x y tg x. 5
TRIGONOMETRÍA 1º.- Sabiendo que 90 º < x < 70 º y que 4, halla sen x y tg x. 5 a) sen x? ; de la fórmula fundamental sen x + cos x 1 se obtiene sen x 1 - cos x. 9 5 de donde sen x 5 3, solución positiva
Razones trigonométricas
Medida de ángulos Ejercicio nº.- a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 0 70 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad 6,5 rad Ejercicio nº.- Completa la siguiente tabla: Ejercicio nº.- a) Epresaen grados
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en determinar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus tres ángulos. Vamos a recordar primero la resolución para triángulos rectángulos
TRIGONOMETRÍA. c) 315º = d) 320º = 4.- Expresa los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo menor
TRIGONOMETRÍA 1.- Expresa en grados los siguientes ángulos medidos en radianes: a) b) c) 5π rad = 4 7π rad = 6 4π rad = 3 10π d) rad = 9 e) 0,25 π rad = f) 1,25 π rad = 2.-Expresa en radianes los siguientes
Se entiende por trigonometría, según su origen griego, la ciencia que tiene por objetivo la medida de los lados y los ángulos de los triángulos.
Unidad Trigonometría Introducción... Ángulos. Medida de ángulos... Razones trigonométricas de un ángulo... Resolución de triángulos: triángulos rectángulos... Casos concretos... Introducción Se entiende
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Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
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UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina las demás razones trigonométricas a través de un dato. Aplica las definiciones de razones trigonométricas en la solución de ejercicios
POLIGONOS. Nº DE LADOS NOMBRE 3 Triángulos 4 Cuadriláteros 5 Pentágonos 6 Hexágonos 7 Heptágonos 8 Octógonos 9 Eneágonos 10 Decágonos
1 POLIGONO POLIGONOS Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Lados Vértices Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que polígono irregular
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ASIGNATURA: MATEMÁTICA Contenido: TRIGONOMETRÍA I TEORÍA Docente: Teneppe María Gabriela Medida de ángulos: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º) DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ESTE TRIANGULO SERA EL MISMO PARA TODA LA EXPLICACIÓN RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES
1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b)
MATEMÁTICAS - SEPTIEMBRE TAREA DE VERANO 4º E.S.O.-B 1. a) Qué significa una potencia de eponente negativo?..... b) Simplificar: b 1) : b 4 ) b ) 9 1 b 4) 1 4. Simplificar potencias: a) 4 ( ) d) 9000 0'000000006
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TRIGONOMETRÍA.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. Los ángulos orientados Son aquellos que además de tener una cierta su amplitud ésta viene acompañada de un signo que nos indica un orden de recorrido (desde la semirrecta
APELLIDOS Y NOMBRE:...
1º BACHILLERATO Fecha: 6-09-011 PRUEBA INICIAL APELLIDOS Y NOMBRE:... NORMAS El eamen se realizará con tinta de un solo color: azul ó negro No se puede usar corrector Se valorará potivamente: ortografía,
EJERCICIOS DE LOS TEMAS 9 y 10.GEOMETRÍA
1.- Dos triángulos ABC y A C son semejantes y la razón de semejanza entre el primero y el segundo es,4. Calcula las longitudes de los lados que faltan sabiendo que AB = 0 cm, BC = 15 cm y A C = 10 cm.
Razones trigonométricas.
Razones trigonométricas. Matemáticas I 1 Razones trigonométricas. Medidas de ángulos. Medidas en grados (Deg.) El grado es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta
1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º.
MATEMÁTICAS NM TRIGONOMETRÍA 1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º. a) Calcule AB. b) Halle el área del triángulo. 2. (D) La siguiente figura muestra una
Razones trigonométricas DE un ángulo agudo de un triángulo
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Calcula razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Demuestra identidades trigonométricas elementales Demuestra identidades
= + = 1+ Cuarta relación fundamental
1.- Determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos, relacionándolos con algunos ángulos notables (0º, 0º,, 60º, 90º, 180º, 70º, 60º), indicando en qué cuadrante se encuentran: a) 40º b)
NOMBRE Y APELLIDOS: debe medir el tercero para que ese triángulo sea un triángulo rectángulo?
FICHA REFUERZO TEMA 8: TEOREMA DE PITAGORAS. SEMEJANZA. CURSO: 2 FECHA: NOMBRE Y APELLIDOS: Ejercicio nº 1.-Los dos lados menores de un triángulo miden 8 cm y 15 cm. Cuánto debe medir el tercero para que
PÁGINA 76. sen 34 = BC AB = = 0,56. cos 34 = AC AB = = 0,82. tg 34 = BC AC = = 0,68. Pág mm. 35 mm. 51 mm
Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 76 Pág. 1 1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes,
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Además de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio:
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1. Resolver las siguientes ecuaciones en Q. ARITMÉTICA a) b) 3. x + 1 = 3 83 3,90x x = 3 31 c) 0,x + x 4,16 = 6 d) ( x ) ( x ) + 3 1 = + 1 4 e) f) g) x x + = 0,3 0, 6x 3 0, 6 1x + 6x = 0,3 8 0,86x 0,73
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EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA
1. Deduce la expresión del seno del ángulo mitad. 2. Sabiendo que sen á = 1/4 y que á está en el primer cuadrante, calcula tg 2á. 3. Calcula cos(2x), siendo cos x=1/2. 4. Resuelve la ecuación: cos(x)=cos(2x)
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68 EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA Repaso Trigonometría elemental:. Completar en el cuaderno la siguiente tabla: Grados 05º 5º 0º 5º Radianes 4π/9 rad π/5 rad rad Ejercicios libro: pág. 9:, y 4; pág. 4:, y.
3. Un triángulo rectángulo es semejante a otro cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm. Su hipotenusa vale 2,5 cm. Halla las medidas de sus catetos.
RELACIÓN DE ACTIVIDADES MATEMÁTICAS º ESO TEMA 7: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y TRIGONOMETRÍA Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:. Halla la incógnita en los siguientes triángulos rectángulos:
2. Cuál es el valor del cociente de la suma entre la diferencia de los senos de dos ángulos?
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4. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa tiene 9 pies de longitud.
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3.- TRIGONOMETRÍA 1.- EL RADIÁN
. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 00 b) 00 Solución: a) 0/9 rad, b) 5/ rad.. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 70 b) 6 Solución: a) / rad, b) 7/0 rad..- TRIGONOMETRÍA.- EL RADIÁN. Halla,
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Ejercicio Unidad : Trigonometría básica Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados: π rad rad 6 a) 80º 80º π rad b) 0º 0º π π rad ' rad 80º 80º 6 rad c) º º π π rad 0'79 rad 80º d) 00º
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EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
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