68 EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

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1 68 EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA Repaso Trigonometría elemental:. Completar en el cuaderno la siguiente tabla: Grados 05º 5º 0º 5º Radianes 4π/9 rad π/5 rad rad Ejercicios libro: pág. 9:, y 4; pág. 4:, y. Uso de la calculadora: a) Hallar, con cuatro cifras decimales bien aproximados, el valor de las siguientes razones trigonométricas: sen 5º cos 70º tg 5º sen 6º 7 cos 78º 4 8 tg 4º 4 sec º cosec º ctg 54º sen 5º cos 05º b) Dadas las siguientes razones trigonométricas, hallar el ángulo agudo α del que proceden: sen α=0,5 cos α=0,74 tg α= sec α=,8 ctg α=,5 c) Dado cos α=0,, hallar, mediante calculadora, tg α d) Dado sen α=0,56, hallar, mediante calculadora, cos α e) Dada tg α=, hallar, mediante calculadora, sen α f) Dada cosec α=, hallar, mediante calculadora, cos α g) Dada sec α=,5, hallar, mediante calculadora, tg α h) Dada ctg α=, hallar, mediante calculadora, cosec α. Resolver los siguientes triángulos, rectángulos en A, aplicando, siempre que sea posible relaciones trigonométricas ( no el teorema de Pitágoras!); hallar también su área: a) a=0 m, B=47º (Soluc: C=4º; b 4,0 m; c 8,4 m; S ABC 557,64 m ) b) a=4,5 m, b=5,8 m (Soluc: B 57º ; C º6 8 ; c,90 m; S ABC 409,99 m ) c) b=,8 cm, B=º (Soluc: C=68º; a 87,56 cm; c 8,8 cm; S ABC,40 cm ) d) b=8 mm, c=6 mm (Soluc: B 5º7 48 ; C 6º5 ; a=0 mm; S ABC=4 mm ) e) a=8 km, b=6 km (Soluc: B 48º5'; C 4º 5'; c 5,0 km; S ABC 5,87 km ) f) a= m, c=5 m (Soluc: B 67º'48 ; C º7' ; b= m; S ABC 0 m ) g) c=4,7 dam, C=º (Soluc: B=59º; a 8,9 dam; b 7,06 dam; S ABC 57, dam ) h) c=4 dm, B=67º ' (Soluc: C º9'; a,99 dm; b 97,6 dm; S ABC 84,9 dm ) 4. Una escalera de bomberos de 0 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra forma un ángulo de 0º. Hallar la anchura de la calle. Qué altura se alcanza sobre cada fachada? (Soluc: anchura 5,7 m; altura 7,07 y 5 m respectivamente) Ejercicios libro: pág. : y ; pág. : 8; pág. : 9, 0 y (de planteamiento); pág. : y 4 (geométricos); pág. 4: 7 (teórico)

2 Razones trigonométricas en cualquier cuadrante: 5. Expresar los siguientes ángulos como suma de un número entero de vueltas y un ángulo positivo menor de 60º o π rad (hacer el dibujo en el caso de los cinco primeros): a) 00º b) 9π/ rad c) 970º d) -00º e) -040º f) 0π rad g) 4π/4 rad h) 500º i) π/ rad j) -60º k) 6π/5 rad l) 4π/6 rad m) 4980º (Soluc: a) 0º; b) 90º; c) 60º; d) 40º, e) 0 rad; f) π/ rad; g) π/4 rad; h) 60º; i) π/ rad; j)60º; k) π/5 rad; l) 7π/6 rad) 6. Sobre papel milimetrado, y para cada uno de los apartados que figuran a continuación, trazar una circunferencia de radio unidad (usar e indicar una escala conveniente), señalar en ella los ángulos en cuestión (utilizar para ello un transportador de ángulos) y trazar su seno y coseno, medir éstos aproximadamente, y comparar el resultado obtenido con la calculadora: a) 0º y 50º b) 45º y 5º c) 90º, 80º y 70º d) 60º y 00º e) 0º, 60º y 0º 7. Utilizando la calculadora, construir una tabla de valores apropiada para representar, sobre papel milimetrado, las funciones sen x, cos x y tg x (Pueden verse dichas gráficas en el anexo final del cuaderno) 8. Sabiendo que cos α=-/5 y 80º<α<70º, calcular las restantes razones trigonométricas. (Soluc: sen α=-4/5, tg α=4/) 9. Sabiendo que tg α=-/4 y α 4º cuadrante, calcular las restantes razones trigonométricas. (Soluc: sen α=-/5, cos α=4/5) 0. Ídem con sec α= y 0<α<π/ (Soluc: sen α= /, cos α=/, tg α= ). Ídem con tg α=- y π/<α<π (Soluc: sen α=. Ídem con cos α=0, y π/<α<π (Soluc: sen α=- /0, cos α=- /0) 6 /5, tg α=- ). Ídem con sen α=-0, y π<α<π/ (Soluc: cos α -0,95, tg α 0,) 4. Ídem con tg α=4/ y π<α<π/ (Soluc: sen α=-4/5, cos α=-/5) 5. Calcular las restantes razones trigonométricas sabiendo que: a) cos α=4/5 70º<α<60º b) tg α=/4 80º<α<70º c) sen α=/5 90º<α<80º d) ctg α=- 90º<α<80º e) sen α=/4 α er cuad. f) cos α=-/ α º cuad. g) cosec α=- 80º<α<70º h) sec α= 0º<α<90º i) tg α=/4 0º<α<90º j) tg α=/4 α er cuad. k) sec α=- l) cosec α= 5 α er cuad. α º cuad. 6. Determinar los valores de sen α y tg α sabiendo que tg α > 0 y cos α=-5/ 7. Encontrar el ángulo α y las demás razones trigonométricas sabiendo que sen α=/ y cos α=- / Ejercicios libro: pág. 04: y ; pág. 05:, y ; pág. :, y ; pág. : 7 (con calculadora) 8. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas sencillas: a) sen x = b) cos x = c) tg x = d) sen x = e) cos x = f) tg x = Ejercicios libro: pág. 09: ; pág. 4: 8

3 ALFONSO GONZÁLEZ Reducción al er cuadrante: 9. Hallar, sin calculadora: a) sen 570º b) cos 450º c) sen (-0º) d) cos (-40º) e) tg 565º f) cos 5π/ rad g) sen 55π/6 rad h) tg 79π rad (Soluc: a) -/; b) -/; c) - /; d) -/; e) ; f) 0; g) -/; h) 0) 0. Ídem: a) cos 5º b) cos(-60º) c) tg 0º d) sen (-470º) e) tg 900º f) sen 9π/6 rad g) cos π rad (Soluc: a) - /; b)/; c) - ; d) -/; e) 0; f) -/; g) -). Expresar las siguientes razones en función de la de un ángulo del er cuadrante: a) sen 485º b) cos 560º c) sen 000º (Soluc: sen 45º; -cos 60º; -sen 80º). Ídem: a) sen 00º b) cos (-690º) c) tg 70º d) sen (-755º) e) sen (-0º) f) ctg (-50º) g) sen 700º h) sec (-5º) i) cos (-0º) j) cosec 440º. Expresar seno, coseno y tangente de 755º en función de un ángulo del er cuadrante. Comprobar el resultado con la calculadora. Ejercicios libro: pág. 09: y ; pág. : 4 Razones trigonométricas de adición y sustracción: 4. a) Hallar mediante las fórmulas trigonométricas correspondientes (sin calculadora, y sin utilizar decimales) el seno, coseno y tangente de 75º. b) Utilizando los resultados anteriores, calcular, de la forma más rápida posible, (sin calculadora y sin utilizar decimales) el seno y la tangente de los siguientes ángulos: i) 05º ii) 65º iii) 5º iv) 95º v) 5º (Comprobar todos los resultados con la calculadora) 5. Si sen x=/ y sen y=4/5, siendo x e y er cuadrante, calcular: a) sen (x+y) b) sen (x-y) c) cos (x+y) d) cos (x-y) (Soluc: a) 56/65; b) 6/65; c) -/65; d) 6/65) 6. Si tg a=/4, hallar tg (a+0º) y tg (45º-a) Soluc : ; Hallar el seno y el coseno de 9º y 6º en función de cos 6º Razones trigonométricas de -α, 80-α, 80+α, etc: 8. Expresar únicamente en función de las razones trigonométricas de α: a) π cos +α b) 9π cos α c) tg ( α + 5π) d) 5π sen α e) tg ( 60 α) (Soluc: a) sen α; b) sen α; c) tg α; d) -cos α; e) -tg α) 9. Simplificar las siguientes expresiones: a) tg(α+80º)+tg(α-80º)+tg(α-70º)+tg(60º-α) b) sen(α+5π)+sen(α-π)+sen(α+π)+sen(α+π) (Soluc: a) tg α - ctg α; b) - sen α)

4 0. Calcular sen (5π-x) sabiendo que cos x=0,5. Siendo tg x=/ calcular: a) π tg x b) tg( π x) c) tg ( π + x) π π. Sabiendo que tg a=/ calcular: a) cos ( π + a) b) cos ( π a) c) sen a d) sen + a (Soluc: a) / / / / ; b) ; c) ; d) ) Ejercicios libro: pág. 05: 4; pág. 07: ; pág. : 5 y 6; pág. 4 y ss.: 4, 5, 6, 7, 4 y 4 Razones trigonométricas del ángulo doble:. Calcular el seno y el coseno de 0º en función de sen 0º, y comprobar el resultado con la calculadora. 4. Hallar sen x, cos x y tg x, siendo x er cuadrante, en cada uno de los siguientes casos: a) sen x=/ b) cos x=/5 c) sen x=5/ (Soluc: a) / ; /; b) 4/5; -7/5; -4/7 c) 0/69; 9/69; 0/9) 5. Dado a er cuadrante tal que tg a =, hallar las razones trigonométricas del ángulo a. (Soluc: sen a= /; cos a=/) 5b Obtener gráficamente, utilizando la circunferencia trigonométrica, el ángulo a del ejercicio anterior. (Soluc: a=0º) 6. Expresar sen a y cos a en función de sen a y cos a respectivamente (Soluc: sen a=sen a-4sen a; cos a=4cos a-cos a) 7. Si cos α=/5 y α er cuadrante, calcular las razones trigonométricas del ángulo 90º-α (Soluc: -/5; 4 6/5) 8. Si ctg α=4/, hallar cos α (Soluc: 7/5) 9. Sabiendo que tg a =, hallar sen a y cos a, sabiendo que a<90º. De qué ángulo a se trata? (Soluc: sen a=/; cosa= /; a=0º) Ejercicios libro: pág. 4 y ss: 7 y 40 Razones trigonométricas del ángulo mitad: 40. Calcular tg π/8 (Soluc: -) Ejercicio libro: pág. 4: a Soluc : cos = 4. Dado α 4º cuadrante tal que sec α=, hallar cos α/ 4b Obtener gráficamente, utilizando la circunferencia trigonométrica, el ángulo α del ejercicio anterior. Comprobar, a continuación, mediante fórmulas trigonométricas (sin calculadora) el resultado anterior. (Soluc: α=00º)

5 ALFONSO GONZÁLEZ 4. Sea un ángulo a situado en el º cuadrante tal que tg a=-/4. Hallar las razones trigonométricas del a 0 a 0 Soluc : sen = ; cos = ángulo a/ b Comprobar con la calculadora el resultado del ejercicio anterior. (Soluc: a 4º 7' 48'') 4. Dado a er cuadrante tal que sen a=-/, hallar las razones de a/. De qué ángulo a se trata? a + a Soluc : sen = ; cos = ; a = 0º 44. Volver a hacer el ejercicio 8, pero aplicando las fórmulas del ángulo mitad (Ayuda: para ello, plantear el cambio de variable a=α/). 45. Dado a 4º cuadrante con tg a =, hallar las razones de a/ ( ) Soluc : sen a = ; cos a = ; tg a = 45b Obtener gráficamente, utilizando la circunferencia trigonométrica, el ángulo a del ejercicio anterior. Comprobar, a continuación, mediante fórmulas trigonométricas (sin calculadora) los resultados anteriores. (Soluc: a=00º) Ejercicios libro: pág. 4 y ss.:,, 4 y Dado α er cuadrante tal que cos α=-/, hallar, utilizando la fórmula correspondiente (resultados simplificados y racionalizados; no vale utilizar decimales), y por este orden: a) sen α (Soluc: /) b) cos α/ (Soluc: -/) c) sen (α-0º) (Soluc: -/) d) tg (α+60º) (Soluc: - ) e) Razonar mediante la circunferencia goniométrica (no vale con calculadora) de qué α se trata. (Soluc: 40º) 47. Ídem, dado α 4º cuadrante tal que tg α = a) cos (α+0º) (Soluc: /) b) tg (α-45º) (Soluc: + ) c) sen (α+650º) (Soluc: /) d) sen α/ (Soluc: /) e) cos α (Soluc: -/) f) Razonar (sin calculadora) de qué α se trata. (Soluc: 00º) 48. Ídem con α er cuadrante tal que sec α = - a) sen (α -60º) (Soluc: ( - )/6) b) tg (α+45º) (Soluc: -(9+4 )/7) c) cos (α -640º) (Soluc: (- 6)/6) d) cos α/ (Soluc: - )/) e) sen α (Soluc: 4 /9) f) Razonar, mediante calculadora y circunferencia trigonométrica, de qué α se trata. (Soluc: 50º ' 44'')

6 Transformación de sumas en productos: 49. Transformar en producto y calcular (comprobar con la calculadora): a) sen 75º - sen 5º b) cos 75º + cos 5º c) cos 75º - cos 5º (Soluc: a) b) 6 c) ) Identidades trigonométricas: 50. Simplificar: a) sen 4α + sen α = cos 4α + cos α (Soluc: tg α) b) sen α = - cos α (Soluc: ctgα) c) cos (45º + α) cos (45º α) = cos α (Soluc: ) d) x tg x cos sen x = (Soluc: tg x) e) α tg α sen + sen α = (Soluc: tg α) cos(a + b) + cos(a b) f) = (Soluc: ctg a) sen(a + b) + sen(a b) Ejercicio libro: pág. 44: 7 5. Demostrar las siguientes identidades: a) cos α = tg α sen α + cos α b) sen α cos α - sen α cos α = sen α c) cos α cos (α-β) + sen α sen (α-β)=cos β d) π sen α + cosα = cos α 4 e) sen α sen α cos α = = tg α sen α + sen α + cos α f) α + β α β sen sen = senα senβ Ejercicios libro: pág. 4 y ss.:, 4, 9, 6 y 47 Ecuaciones trigonométricas: 5. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas elementales: a) b) sen x = cos x = c) ctg x = d) e) sen x = cos x = 4 5 f) sen x = 0 (Sol: x=k 80º) g) cos x = (Sol: x=(k+) 80º) h) cosec x = i) sec x = j) tg x = k) cosec x = (Sol: / soluc) l) sen x + cos x = m) n) cos x = (Sol: x=0º+k0º; x=0º+k 0º) π sen x + = 4 5. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x + cos x = (Sol: x=45º+k 60º) b) sen x cos x = (Sol: 0º, 50º, º4 5 y 8º5 5 )

7 c) sen x cos x = (Sol: x=45º+k 80º) d) sen x=cos x (Sol: x=0º+k 60º; x=50º+k 60º; x=90º+k 80º) e) sen x + cos x = (Sol: x=k 60º; x=0º+k 60º) f) cos x-sen x+=0 (Sol: x=90º+k 80º) g) sen x-senx=0 (Sol: x=k 80º; x=90º+k 60º) h) cos x cos x = 0 (Sol: x=90º+k 80º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) i) sen x-cos x= (Sol: x=90º+k 80º) j) cos x-sen x=0 (Sol: x=45º+k 90º) k) cos x+senx= (Sol: x=90º+k 60º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) l) tg x tg x = 0 (Sol: x=k 80º; x=0º+k 60º; x=0º+k 60º) m) π sen + x sen x = 0 (Sol: x=45º+k 80º) 4 n) π π sen x + cos x = 6 (Sol: x=60º+k 60º; x=00º+k 60º) o) senx-cos x=0 (Sol: x=90º+k 80º; x=45º+k 80º) p) cosx-senx+=0 (Sol: x=0º+k 60º; x=50º+k 60º) q) 4sen x cos x+cos x-=0 (Sol: x=k 80º; x=45º+k 90º) r) 4sen x+senx cosx-cos x=0 s) (Sol: x=6º5,6 +k 80º; x=5º+k 80º) x cos + cos x = (Sol: x=90º+k 80º) t) x tg + = cos x (Sol: x=k 60º) u) x sen + cos x = 0 (Sol: x=90º+k 80º; x=60º+k 60º; x=00º+k 60º) v) cosx+senx= w) tgx tgx= x) cosx cosx+cos x=0 y) sen x=tg x z) x sen + cos x = α) senx cosx=6sen x β) π tg x + tg x = 4 γ) sen x cos x = (Sol: x=50º+k 60º) Ejercicios libro: pág. 7:,, 4 y 5; pág. 4 y ss.: 8 a, 54. Resolver las siguientes ecuaciones, transformando las sumas y diferencias en productos: a) senx-senx=cosx b) sen 5x + sen x = cos x + cos x c) sen x + sen x = cos x cos x d) senx-cosx=senx-cosx Ejercicio libro: pág. 7: ; pág. 44: 4 Resolución de triángulos oblicuángulos: 55. Resolver los siguientes triángulos y hallar su área (con * se indica el caso dudoso): a) a=6 m, B=45º, C=05º (Soluc: A=0º, b 8,49 m, c,59 m, S 4,60 m ) b) a=0 dam, b=7 dam, C=0º (Soluc: c 5,7 dam, B 4º 8', A 08º ') c) b=5,4 dm, A=49º 8', B=70º ' (Soluc: C 60º ', a 8,66 dm, c,58 dm, S 49,94 dm ) d) a= m, b=4 m, c=5 m (Soluc: A 5º 7' 48'', B 59º 9' '', C 67º ' 48'', S 84m ) * e) a=4, b=, B=40º ' (Soluc: A 58º ', C 80º 56', c 48,6 A º 7', C 8º, c 5,) f) a=5, b=, c=7 (Soluc: A 4º 54', B 86º 8', C 50º 8') g) a=0 mm, b=7 mm, C=60º (Soluc: 8,89 mm, A 77º, B 4º, S 0,mm ) h) a=0, b=9, c=7 (Soluc: A 76º ', B 60º 57, C 4º 50') * i) a=60 cm, b=40 cm, A=4º (Soluc: B 6º 0', c 8,4 cm, C º 0', S 6,5 cm ) * j) a=40 cm, b=60 cm, A=7º (Soluc: soluc) * k) a=50, b=60, A=4º (Soluc: B 5º 4', C 84º 6', c 74,9 B 6º 6', C º 4', c 0,9)

8 l) A=0º, B=45º, b= m (Soluc: C=05º, a m, c,9 m, S 0,68 m ) m) b= hm, c= hm, A=60º (Soluc: a= n) A=0º, b=, c= * o) a=4, b=5, B=0º p) a=79, b=4, c=64 * q) a= hm, b=57 hm, A=50º (Soluc: soluc) r) a=7, b=57, C=75º 47' s) c=,78, A=05º, B=8º 47' * t) a=40, b=60, A=º * u) a=60, b=40, A=8º v) a=8 m, B=0º, C=05º w) A=60º, B=75º, c= m x) a=4 km, B=45º, C=60º y) a=4 mm, b= mm, c=6 mm z) a= cm, c= cm, B=60º α) a=5 dam, b= dam, c=4 dam * β) b=0 dm, c=9 dm, C=45º 7 hm, B 79º, C 40º 54', S= / hm ) Ejercicios libro: pág. : ; pág. :, y ; pág. 5: (caso dudoso); pág. 7: 4; pág. : 6, 7, 8, 0,, y 4; pág. 4: Resolver el triángulo ABC sabiendo que su perímetro es 4 cm, es rectángulo en A y sen B=/5 (Soluc: a=0 cm, b=6 cm, c=8 cm) 57. Calcular el área de un triángulo de datos a=8 m, B=0º, C=45º 58. En un paralelogramo ABCD el lado AB mide 6 cm, el AD 8 cm, y el ángulo A=0º. Hallar sus diagonales. 59. Hallar los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 8 cm y dos de sus ángulos A=0º y B=45º (Soluc: a 5, cm, b 7,6 cm, c 9,9 cm) 60. TEORÍA: Demostrar, utilizando el teorema del coseno, que el triángulo de lados 9, y 5 es rectángulo. * 6. Uno de los lados de un triángulo es doble que el otro, y el ángulo comprendido vale 60º. Hallar los otros dos ángulos. (Soluc: 0º y 60º) Problemas de planteamiento: 6. Un grupo decide escalar una montaña de la que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación, que resulta ser 0º. A continuación han avanzado 00 m hacia la base de la montaña y han vuelto a medir el ángulo de elevación, siendo ahora 45º. Calcular la altura de la montaña. (Soluc: 6,60 m) 6. Rosa y Juan se encuentran a ambos lados de la orilla de un río, en los puntos A y B respectivamente. Rosa se aleja hasta un punto C distante 00 m del punto A desde la que dirige visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 0º y desde A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 0º. Cuál es la anchura del río? (Soluc: 5, m)

9 64. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 km, la BC es 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 0º. Cuánto distan A y C? (Soluc: km 77 m) 65. Se ha colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta, como muestra la figura. Cuánto miden el cable y el mástil? (Sol: cable=5 m; mástil 7, m) 7º 60 m 80 m 45º 0º 66. Un globo 0 m aerostático está sujeto al suelo mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cable con el suelo es de 7º. Hallar la altura del globo y la longitud del cable más extenso. (Sol: 7,80 m y 9, m, respectivamente) 67. Se lanza una falta desde un punto situado a 5 m y 8 m de ambos postes de una portería reglamentaria de fútbol, es decir, 7, m de longitud Bajo qué ángulo se verá la portería desde dicho punto? (Hacer un dibujo previo que explique la situación). A qué distancia se encuentra del centro de la portería? (Sol: 4º 9' 54'') Si el punto estuviera a 6 y 7 m, tendría más ángulo de tiro? La distancia, sería menor? 68. Desde la puerta de una casa, A, se ve el cine B, que está a 0 m, y el quiosco C, que está a 85 m, bajo un ángulo B ÂC = 40º Qué distancia hay entre el cine y el quiosco? (Hacer un dibujo previo que explique la situación). (Sol: 77,44 m) Ejercicios libro: pág. : 4; pág. 7: 5, 6 y 7; pág. y ss.: 9,, 5, 6, 7, 0,, 5, 6 y 40 (de planteamiento); pág. y ss.: 8, 9 y (geométricos)