DOCUMENTO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA. Prof. Juan Gutiérrez Céspedes

Transcripción

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2 ANGULO TRIGONOMÉTRICO * ANGULO TRIGONOMETRICO Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación: : Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello las siguientes consideraciones: * SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos; destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades: 009

3 Sistema Unidad vuelta Sexagesimal Centesimal Sexagesimal 60 = 60' g = 00 m Centesimal Radial g rad 00 g rad ' = 60'' = 600'' m = 00 g s = 0000 s A partir de estas definiciones, se pueden establecer :. rad. > º > g. 80º < > 00 g < > rad. 9º < > 0 g. aºb'c'' = aº+b'+c'' ' < > 0 m x g y m z s = x g + y m + z s 8"< > 0 s * CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de conversión que consiste en lo siguiente: Convertir 0 g radianes Convertir / rad sexagesimal * FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general de conversión es la relación entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo "α ", se cumple: Por ejemplo, si queremos convertir 0 radianes: tenemos: S = 0 y R =?? 009

4 Luego: S R 0 R R 80 = 80 = = 6 \ 0 p < > rad 6 Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los cuales se requiere tener además, lo siguiente :. S C S C S 9 = = ó = C 0. S R R = S = C R R = C = * Una aplicación sería: "Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números de grados sexagesimales y centesimales, suman 9" Aquí por ejemplo, planteamos el problema así: Si: " a" S C R # grados sexag. + # grados = 9 S + C = 9 centes. como piden "R", entonces: 80R 00R 80R + = 9 = 9 R = 0 \ el ángulo mide p rad 0 009

5 PROBLEMAS NIVEL. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a "α " y "β ":. A qué es igual 0'' º0' '0'' º0'' º 0' '0''. A qué es igual: º 0' 00'' 60'' 000'' 800'' 6000'' α +β =90º α -β = 90º β - α = 90º α +β = 0º α +β = -90º. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a los ángulos mostrados: 6. A qué es igual: E = ' ' 0. Convierta a radianes: º rad rad p rad 8 α +β = 90º α -β = 90º β - α =90º α +β = 0º α +β = -90º. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a partir del gráfico mostrado: rad 9 rad 8. Convierta a radianes: 6º rad rad rad 6 rad rad 9. Convierta a radianes: 60 g 0 rad rad 0 α β α + β rad 0 rad + α β β α β+ α rad 009

6 0.Convierta a centesimales: º 0 g 80 g 90 g 60 g g NIVEL II. Convierta al sistema sexagesimal : " rad " º ' '' 6º ' 0'' º ' 0'' º ' 0'' N.A. Convierta al sistema centesimal: " rad " g 0 m g 0 m g 60 m g 0 m g 0 m. Convierta al sistema centesimal: " rad" g 0 m g 0 m g 60 m g 0 m g 0 m. Si: rad abc 8 <> ' Calcular: E = (b + a -. La suma de dos ángulos es 0 y su diferencia es 0 g. Cuánto mide el mayor? 8 0' 8 0' 8 0' 6. La suma y diferencia de dos ángulos son y g. Cuánto mide el menor? ' ' ' ' '. En un triángulo sus ángulos miden: x ; 60x g 9 y x rad Cuál es el valor de "x"? 8. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es. p rad p 9. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. Cuánto mide el ángulo en radianes? p p 6 p p rad p 0 p 0. p p 0 0.Sabiendo que: (S + C)p = nr donde "S", "C" y "R" son lo conocido para un mismo ángulo. Cuánto vale "n"? NIVEL III. Halle la medida circular de un ángulo que cumple: 009

7 S C R + + = siendo: "S", "C" y "R" lo conocido rad. La diferencia de las recíprocas que representan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a su número de radianes entre p. Cuánto mide el ángulo en el sistema sexagesimal? Se tiene un ángulo que al medirlo en grados sexagesimales dicho número excede a veces su número de radianes en 9. Si: p=, halle la medida sexagesimal del ángulo La diferencia de medidas de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo es 0. Cuánto mide el ángulo mayor en radianes? rad 6. Siendo "S" y "C" lo conocido para un mismo ángulo, tales que: S C = x + ; = x - 9 x 0 x calcular la medida radial del ángulo. 0 rad 0 N.A

8 R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS I * Definición: Son los resultados que se obtienen al dividir entre si, los lados de un triángulo rectángulo. Estos resultados carecen de unidades y su nombre dependerá de la posición que guarden los lados que se dividen respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. En el gráfico; para el ángulo agudo "α" se define: Donde para "α": "a" es cateto opuesto "c" es cateto adyacente "b" es hipotenusa Los problemas de este capítulo son de diversos tipos; y eso que estamos en la aplicación solo de las definiciones ; ya que aún falta complementar la teoría. 009

9 Pero no se preocupe, el detalle está en captar el criterío de solución aplicado en los problemas tipo. PROBLEMAS NIVEL I. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden y. Calcular el seno del menor ángulo agudo de dicho triángulo.. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden y. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.. En un triángulo rectángulo los catetos están en la proporción de a. Calcular el producto de los senos de los ángulos agudos de dicho triángulo Si: "α" es un ángulo agudo tal que: secα =,. Calcular "tgα".,,,6,,8. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.. Si: "α" es _ un ángulo agudo tal que: cosα = /. Calcular "tg α".,,, 8. Si "α" es un ángulo agudo tal que: tgα =. Calcular el valor de: E = secα tgα En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de un cateto. Calcular la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. _ Si: "α" es un ángulo agudo tal que: senα = 0,. _ Calcular _ el valor de: P = cotα - secα

10 0.Siendo "θ" un ángulo agudo tal que: cosθ = 0,96; obtener: E = cscθ + cotθ,, NIVEL II. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º); reducir: E = tga tgc ac a c a c a c. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º); simplificar: P = sec A - tg A igual al doble de la media geométrica de los catetos. Calcular la suma de las tangentes de los ángulos agudos del triángulo Sea "α" uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Si "senα" es al "cosα" como 8 es a ; calcular: E = senα - cosα Del gráfico mostrado; calcular "tgθ". b - a b - c a - c c - a. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º); se sabe que: sena = senc calcular "seca" 9. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º); se sabe que: tga = tgc. Calcular: P = senasenc 8. En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º) se sabe que: tgc = /; a - c =. Calcular el perímetro del triángulo En un triángulo isósceles ABC (AB=AC) se sabe que cosa = 0,6. Calcular "tgb". En un triángulo rectángulo ABC (^B=90º); se sabe que la hipotenusa es 9 009

11 0.En el gráfico; calcular "tgθ".. Del gráfico, calcular "tgθ" / / NIVEL III. Del gráfico, calcular: P = cotα - tgβ _. Si: BCDE es un cuadrado; calcular: L = ctgα - tgθ - -. Del gráfico, obtener "cotα" si: AD es bisectriz.. En un triángulo rectángulo los lados miden a + b; a - b y a + b. Calcular la secante del mayor ángulo agudo del triángulo. _ _ 6 N.A

12 R.T. DE ÁNGULOS AGUDOS II * TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos en los cuales se puede precisar o aproximar la relación existente entre sus lados, conociendo para ello sus ángulos agudos, destacan: a a 60 a 0 a a a a a a sen cos tg ctg sec csc 0º / / / / º º º 60º / / / / / / / / / / / / / / / / / / * PROPIEDADES: A. R.T. Recíprocas B. R.T. de Ángulos Complementarios Se cumple que: senx cscx = si: x + y = 90 cosx secx = se cumple: senx = cosy tgx ctgx = tgx = ctgy secx = cscy Note que el ángulo agudo debe ser el mismo Note la relaciòn entre las R.T. y que los ángulos deben ser complementarios 009

13 Ej.: sen0. csc0 = Ej.: sen0 = cos0 tg0. ctg0 = tg0 = ctg80 PROBLEMAS NIVEL I. Halle el valor de: E = sen0 + sec +. Hallar: P = tg _ 60º + tg0º + tgº. Hallar "x" en: _ xtgº + tg60º = xsen0º + cos 60º. Hallar "x" si: cos(x + 0º) sec(x - 0º) = 0º 0º 0º 0º 0º 8. Hallar "x" si: senx = cos0º 0º º 0º º º 9. Hallar "x" si: tgx = ctgº 0º º º º º - 0.Hallar: E = tg0º. tg80º - N.A. F.D.. Hallar "x" en: xsec 60º + xcsc 60º=sec 0º csc 0º NIVEL II En los siguientes gràficos, calcular "tgθ". 6 N.A.. Halle "x" si: senx csc0º = 0º 0º 0º 0º 0º 6. Halle "x" si: tgx ctgº = 8º 6º º º º 6 00

14 . Si el triángulo ABC es equilátero B D N.A.. A C 6. CD = AD CD = AD Hallar "x" si: senx tg0º - cosx ctg80º = 0 0º 0º 0º 0 0º 009

15 8. Hallar "x" si: sen(0º + x) sec(0º + x) = 0º 0º 0º 0º 0º. Del gráfico calcular "tgφ" si el área del triàngulo PMC es igual a la del triángulo ABC 9. Hallar "x" si: tg0º tg0º tg0º... tg80º = tgx º 0º º 0º º 0.Siendo: 89 senk k= = n Hallar: 89 E = cosk k=. Hallar "tgα" n n n- n- n - NIVEL III. Del gráfico; calcular "tgθ" si ABCD es un cuadrado. 9 9 N.A.. Hallar "x" si: sen(0º - x) tg(0º + y) = cosx ctg(80º - y) 0º 0º 0º 0º 0º. Calcular: E = sen º + sen º + sen º sen 89º,,, 6 009

16 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEFINICIÓN Son aquellas relaciones que se establecen entre las funciones trigonométricas de una variable. Estas relaciones de igualdad se verifican para todo valor admisible de la variable presente y se clasifican de la siguiente manera: I. I.T. Recíprocas senx cscx = cosx secx = cscx = senx tgx ctgx = ctgx = tgx secx = cosx II. I.T. por División senx tgx = cosx cosx ctgx = senx III. I.T. Pitagóricas sen x + cos x = sec x - tg x = sen x = - cos x sec x = + tg x cos x = - sen x tg x = sec x - csc x - ctg x = csc x = + ctg x ctg x = csc x - 009

17 PROBLEMAS NIVEL I Simplificar:. J = tg x cosx(secx) - cscx senx cosx csc x. E = senx( + senx) + cosx( + cosx) - senx cosx senx - cosx senx + cosx senx 9. E = (secx - cosx) ctgx secx cscx tgx ctgx senx 0.A=(cscx-senx) (secx-cosx) (tgx+ctgx) senx cosx secx cscx senx cosx NIVEL II. Si: tgx + ctgx = ; calcular: E = senx cosx. S = tg x(ctgx + ) - tgx tgx tg x ctg x. A = ( - senx) ( + senx) secx senx senx cosx cosx. Si: senx ctgx + cosx tgx = n; hallar: E = senx + cosx 6. L = ( + cosx) ( - cosx) ctgx cscx tgx senx cosx cosx 6. I = (senx + cosx) + (senx - cosx) senx cosx senx cosx. A = (tgx + ctgx) senx cos x senx cosx cos x sen x 8. N = sen x - cos x + cos x n_ n - n n n. Si: cos x + cosx = ; hallar: E = ctgx - senx 0 -. Si: senx + cosx = n; hallar: E = senx cosx n + n - senx sen x sen x cos x n + n - n

18 . Si: tgx + ctgx = ; calcular: E = tg x + ctg x 9 6. Si: tgx + ctgx = ; calcular: E = tg x + ctg x 9 8. Si: tg x + ctg x = ; calcular: E = tgx + c tgx tgx - ctgx m + n = m + n = m - n = m + n = m - n = NIVEL III. Reducir: tg x + c tg x - P = tgx + c tgx - tg x + c tg x + - tgx + c tgx + secx secx cscx. Siendo: secx + tgx = ; calcular: P = secx - tgx 0, 0, 0, 9 8. Si: senx = a ^ cosx = b; eliminar "x" N.A.. Si: asenx + bcosx = b; hallar: P = cscx + ctgx a b a + b a - b a b b a a + b = a + b = a - b = a - b = 0 a + b = 9. Eliminar "x" si: tgx = a, ctgx = b a + b = ab = a - b = ab = a - b = 0. Eliminar "x" si: tgx + ctgx = m; tgx - ctgx = n. Reducir: P = (sec x + tg x) (sec x + tg x) (sec 8 x + tg 8 x) + tg 0 x secx sec x sec x sec 8 x sec 6 x. Si: tgx + ctgx = ; calcular: P = tg x + ctg x F.D

19 F.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS FORMULAS. sen(x ± y) = senx cosy ± seny cosx. cos(x ± y) = cosx cosy m senx seny tgx tgy. tg(x y) = m tgx tgy PROPIEDADES. Si: E = asenx ± bcosx es decir: E máx E mín = = - b a + b a b asenx bcosx a b a + Por ejemplo: E = senx + cosx - + senx + cosx + - senx + cosx. tgx + tgy + tgx tgy tg(x + y) = tg(x + y) Por ejemplo: tgº + tgº + tgº tgº tg6º = tgx + tgx + tgx tgx tgx = Los problemas son de diferente tipo y nivel; motivo por el cual se le recomienda seguir en orden la resolución de los ejercicios

20 PROBLEMAS NIVEL I. Reducir: sen(x + y) + sen(x - y) P = cos xcos y tgx tgy tgx tgy ctgx. Reducir: sen(x + y) - sen(x - y) Q = sen xsen y tgx tgy ctgx ctgy ctgx. Reducir: cos(x + y) + cos(x - y) R = senx cos y ctgy ctgy ctgx ctgx ctgx tgy tgx tgy tgx tgy ctgx ctgy tgx tgy. Reducir: tg0º - tg0º V = tg0º 8. Reducir: W = tgx - tgy - tgx tgy tg(x - y) tgx tgy tg(x-y) tgx - tgy tgx + tgy 9. Si: sen x + cosx = ; calcular: E = sen(x + º). Reducir: cos(x - y) - cos(x + y) S = senx cos y 6 6 tgx ctgx ctgy tgy ctgy. Reducir: 0.Si: tg(x + y) = tgx = calcular: "tgy" sen(º + x) + sen(º -x) T = cosx tgx _ tgx ctgx 6. Reducir: NIVEL II - Ø tg(x - y) ø U = Œ œ - º tgx - tgy ß. Si: sen(x + y) = sen(x - y); calcular: A = tgx ctgy 9 009

21 6 N.A.. Si: cos(x - y) = cos(x + y); calcular: B = tgx tgy 0, 0, 0, 0, 0,6. Del gráfico, calcular "tgθ" si: AB = BC C. Si: senx + cosx = ksen(x + θ); hallar: "k y θ" y 0º y º y º 0 y º 0 y º. Si: _ cosx - senx = kcos(x + θ); hallar: "k y θ" y 0º y 60º y º y 0º y 60º 9 9 A 8. Señale el valor máximo de: E = senx + (cosx - ) D 8 9 E B. Si: senx + cosx = kcos(x - θ) hallar: "k y θ" _ y 0º _ y º _ y º y 0º y 60º 6. Del gráfico, calcular: "tgθ" 6 9. Señale el valor mínimo de: E = senx + cosx _ _ Señale la variación de: E = (senx + ) + (cosx - ) [-;] [-6;6] [-6;] [-;6] N.A. NIVEL III. Señale el valor de: E = tgº + tgº + tgº tgº tgº 0 0, 0, 0,6 0,

22 . Señale el valor de: E = tg0º + tgº + tg0º tgº. Del gráfico, calcular el máximo valor de: "tgθ" F.D.. Señale el valor de: E = ( + tgx) ( + tgy); si: x + y = º 6. Reducir: E = (ctgθ + tgx) (ctgθ + tgy); si: x + y = θ a a+ b a (a + a ctgθ ctg θ cscθ csc θ a (a+ b b (a + a N.A. 009

23 F.T. DEL ÁNGULO DOBLE FÓRMULAS: (x fi x).. (senx + cosx) = + senx (senx - cosx) = - senx - cosx = sen x + cosx = cos x. PROPIEDADES.. Ahora, complete las siguientes expresiones: senx cosx =... cos x - sen x =... senx cosx =... - cos6x =... x x sen cos =... + cosx =... También: ctgx + tgx =... ctg0º - tg0º =... ctg0º + tg0º =... ctgº - tgº

24 PROBLEMAS NIVEL I. Reducir: E = senx cosx cosx senx senx sen8x sen6x senx. Reducir: E = (tgx + ctgx) senx. Reducir: E = (senx secx) + (senx cscx) 8. Reducir: E = senx cosx cosx cosx sen8x 8 senx 8 cos8x sen6x 8 sen8x. Reducir: E = cosx cosx cosx cos8x sen8x senx sen6x 8senx sen8x 6senx 6. Reducir: sen6x senx sen6x 6senx E = senx cos x - sen x cosx senx senx senx senx senx. Reducir: E = cos x - sen x cos x cosx cosx cosx cosx 8. Reducir: E = (ctgx - tgx)senx cosx cosx cosx cosx cosx 9. Reducir: E = tgx( - tg x) - tgx tgx ctgx tgx ctgx 0.Reducir: E = tgx( - tg x) ( - tg x) tgx tgx 8tgx tgx NIVEL II tgx. Si: senx + cosx = n; hallar: "senx" 009

25 n n n - n - n +. Si: sen x + cos x = n; hallar: "senx" (+ n) (n - ) (-n) - n n-. Si: tgx + ctgx = n; hallar: "senx" n. Reducir: E = n - - cosx + cosx n n - n - 8. Reducir: E = (secx - ) csc x senx cosx secx cscx 9. Reducir: E = ctgx - tgx - tgx ctgx ctgx ctgx tgx N.A. 0.Reducir: c tgx - tgx E = csc x + c tg x tgx ctgx NIVEL III. Del gráfico, calcular "tgθ" C tgx ctgx tgx ctgx. Reducir: E = cscx - ctgx tgx ctgx secx cscx A D B 6. Reducir: E = cscx + ctgx tgx ctgx -tgx -ctgx secx. Reducir: - cosx + senx E = + cosx + senx tgx ctgx tg x ctg x 6 6. Calcular: E=cos x + cos (60º + x) + cos (60º - x),, 009

26 . Si: cosx + cos x + cos x = ; calcular: E = tgx + tg x + tg x. Sabiendo que: tg x + tgx = ; calcular: "tgx" - -. Siendo: senα + cosα = senβ senθ + cosθ = cosβ calcular: J = senα + senθ - cosβ -cosβ - cosβ 009

27 TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS CASO l: De suma ó diferencia a producto Objetivo Escribir sumatorias de senos ó cosenos en forma de producto; para agilizar su simplificación. En general se pueden transformar cualquier tipo de expresiones; más las fórmulas que vamos a detallar, solo operan senos y cosenos. Fórmulas: x + y x y. senx + seny = sen( )cos( ) x y x + y. senx seny = sen( )cos( ) x + y x y. cosx + cosy = cos( )cos( ) y x y + x. cosx cosy = sen( )cos( sen ) Por ejemplo: a. x + x x - x senx + senx = sen( )cos( ) = senxcosx b. senx - senx = c. cosx + cosx = d. cosx - cosx = e. cos9x - cosx = 009 6

28 Propiedades: sen x sen y = sen(x + y)sen(x y) cos x cos y = sen(x + y)sen(x y) Por ejemplo: a. sen x - sen x = sen(x + x) sen(x - x) = senx senx b. cos x - cos x = PROBLEMAS NIVEL I Reducir cada una de las siguientes expresiones:. C = senº + senº senº cos8º sen8º cosº sen6º cosº. L = sen0º0' + senº0' sen6º0' cosº0' sen6º' cosº' sen6º' cosº'. A = senº - senº senº cosº senº cos6º sen6º cos6º. U = cosx + cosx cosx cosx cosx cosx cosx cosx. D = cosx - cosx senx senx senx senx sen6x senx 6. I = cos0º + sen0º sen0º cos0º senº cos0º sen0º cosº. A = sen0º + cos0º cos0 o cos senx + senx 8. C = senx o o sen0 senx cosx cosx cosx + cosx 9. L = cosx 009

29 cosx senx cosx sen6x + senx 0. L = cos6x + cosx tgx tgx ctgx NIVEL ll. Reducir: senx + senx J = cosx + cosx tg6x tgx tgx. Reducir: senx + senx + senx A = cosx + cosx + cosx tgx tgx tgx. Reducir: cosx + cosx + cosx C = cosx + cosx cosx cosx. Reducir: senx + senx A = senx cosx cos x cos x. Reducir: sen( α β) + senβ S = cos( α β) + cosβ tgα tgβ ctgβ 6. Reducir: sen x sen x F = senx senx senx cosx. Reducir: sen x sen - x R = sen x - sen x cosx cosx cosx 8. Reducir: O = cos x - sen x sen9x senx cos9x cosx -cos9x cosx 9. Reducir: M = sen x - cos x cosx cosx -cosx cosx senx senx 0.Si: senx + senx = m; cosx + cosx = n. Halle: ''tgx'' mn NIVEL III m n. Escriba _ en _ forma de producto: P = + senº0' cosº0' senº0' cosº0' senº0' cosº0'. En un ABC; reducir: sen A - sen B Q = sena - senb n m 009 8

30 tgc tgc - tgc. En un ABC; pase a producto: R = sena + senb + senc sena senb senc sena senb senc cosa cosb cosc. En un ABC; pase a producto: S = + cosa + cosb + cosc cosa cosb cosc -cosa cosb cosc -sena senb senc. Calcular: p p p T = cos + cos + cos

31 009 0