Tema 6. Trigonometría

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1 Tema 6. Trigonometría. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo (ángulos agudos). Relaciones Trigonométricas Fundamentales. Razones trigonométricas de 0º,60º y 45º 4. Uso de la calculadora 5. Resolución de triángulos rectángulos 5..Conociendo dos lados 5. Conociendo un lado y un ángulo 5.Cálculo de la altura con Doble Medida 5.4 Estrategia de la altura para resolver triángulos oblicuángulos. 6. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. 6. Signo razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes 6.. Relación razones trigonométricas de ángulos complementarios 6.. Relación razones trigonométricas de ángulos suplementarios 6.4. Relación razones trigonométricas de ángulos difieren 80º. 6.5 Relación razones trigonométricas de ángulos suman 60º. 7. Gráficas de las funciones trigonométricas

2 . Razones Trigonométricas en triángulos (ángulos agudos) Como vimos en el tema anterior todos los triángulos rectángulos en los que uno de sus ángulos agudos son iguales se cumplen que son triángulos semejantes, y por tanto los lados proporcionales. De esta manera conociendo el valor de uno de los ángulos, α, las razones de sus lados están fijadas. Estas razones es lo que llamamos razones trigonométricas del ángulo α. Veámoslo gráficamente a a a c c α b b c b c a b a c b c a b a c b c a b a c b cos( tg( cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo hipotenusa cateto opuesto cateto contiguo Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángulo y no del triángulo. Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un triángulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que: 0<<, 0<cos(< cuando α (0,90º). A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes: sec( cos( cosec( hipotenusa cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo cateto contiguo cot g( tg( cateto opuesto

3 . Relaciones trigonométricas fundamentales Los valores de, cos( y tg( no son independientes, están relacionados entre sí como veremos en este apartado. De hecho sabiendo que α (0º,90º) conociendo el valor de una de las tres razones podemos obtener las otras dos: Relación tg ( cos( Ralación sen ( + cos ( Ralación ( α ) cos ( + tg Notación: sen Demostración: ( α ) ( ) cos ( (cos( α cat opue hip cat opue ) tg( cos( α ) cat cont cat cont hip Pitagoras ) ( cat op cat cont cat op + cat cont hip sen + cos ( + hip hip hip hip )) ) sen ( cos ( + sen ( ( α ) + cos ( cos ( cos ( + tg Ejercicio : calcular las restantes razones trigonométricas a) 45) cos (45)+sen (45) cos (45)+/ cos (45)/ cos(45) ± º ± como 45< 90 solo soluciones positivas (45) tg( 45) sen cos(45)

4 Tema 6. Trigonometría b) tg(0) 0 sen 0 cos 0 y x x y x x (+/)x x /4 x ± xcos( (cuando α (0,90º) razones trigonométricas son positivas) y cos(/. Razones trigonométricas de 0º, 45º y 60º. Las razones trigonométricas de 0º, 45º y 60º son muy importantes, ya que se usan mucho. Además se caracterizan porque se pueden calcular a partir del teorema de Pitágoras. Vamos a calcularlas a) Ángulo α45º, si dibujamos un triángulo rectángulo con α45º se caracteriza que es isósceles, pues dos tiene dos ángulos iguales de 45º: a 45º cb a b +b b a 45) 45º b cos(45) tg(45) b) Ángulo α0º y α60º, este ángulo es el que se forma al dividir un triángulo equilátero en dos: a 60º ba/ 0º c a c a -(a/) c a /4 c a 60º)cos(0) cos(60º)0) tg(60º) / tg(0)

5 4. Utilización de la calculadora En este apartado vamos a ver como se trabaja con la calculadora con la trigonometría. Veamos varias cosas:. El modo: la calculadora puede trabajar con grados y radianes. Generalmente en matemáticas se utiliza los grados, siendo utilizados en radianes en física. Recordemos que πrad80º, por tanto por ejemplo 90ºπ/ rad. Los modos son los siguientes: a. Modo DEG: Grados (degree) b. Modo RAD: radianes c. Modo GRA: grados centesimales (de 0 a 400º, no usaremos!!!). Ángulos en grados minutos y segundo: las calculadoras nos permiten pasar los ángulos expresados de forma decimal en grado a grados, minutos y segundos y al revés. a. De º º. Introduce los grados en forma decimal, pulsa la tecla shif y luego la tecla b. De º º. Introduce los grado pulsa, introduce los minutos pulsa la tecla, introduce los segundos pulsa la tecla. Pulsa igual. Cálculo de razones trigonométrica: a. sen sin b. cos cos c. tg tan 4. Calcular el ángulo conociendo el valor de la razón trigonométricas: la calculadora permite obtener el valor del ángulo conociendo el valor de la razón trigonométrica. Como veremos en el apartado 6.4 hay dos posibles ángulos y la calculadora sólo nos da uno de ellos a. Calcular el ángulo cuyo seno es, por ejemplo, 0.: Esta función se llama arcoseno (arco cuyo seno es 0.) se escribe arc0.). Con la calculadora el arco-seno es shift+sin b. Calcular el ángulo cuyo coseno es, por ejemplo, 0.: Esta función se llama arcocoseno (arco cuyo coseno es 0.) se escribe arccos(0.). Con la calculadora el arco-coseno es shift+cos c. Calcular el ángulo cuyo tangente es, por ejemplo, 0.: Esta función se llama arcotangente (arco cuyo tangente es 0.) se escribe arctg(0.). Con la calculadora el arco-tangente es shift+tan Ejercicio : a) Pasar 55,º a grados minutos y segundos 55,º55º 55. b) Pasar º a grados º,57 c) Calcular: º), cos(º), tg(º) º) 0.5,cos(º) 0.9, tg(º) 0.94 d) Calcular ángulos que cumple α )0., cos(α )0., tg(α )0. α arc0.) 7,46º 7º7 7.7 α arccos(0.) 7,54º 7º.6 α arctg(0.) 6.7º 6º4 57.8

6 5. Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es obtener a partir de los datos conocidos todos los ángulos y lados de dicho triángulo. Para resolver un triángulo utilizaremos los siguientes teoremas: a. Teorema de Pitágoras b. Suma de ángulos es 80º c. Razones trigonométricas Todo triángulo rectángulo se puede calcular si conocemos dos datos, siempre que uno de ellos sea un lado. Vamos a ver dos casos 5.. Conociendo dos lados Nos faltaría conocer un lado y dos ángulos (ya que el otro ángulo es 90º). Pasos a) El tercer lado se calcula por Pitágoras b) Calculamos los otros dos ángulo a partir de las razones trigonométricas Ejemplo: resolver el siguiente triángulo 5cm B c c 5 4cm cosĉ /5 Ĉ arcos(/5)5º7 48 B ˆ 90º Cˆ 6º 5'" C cm A 5.. Conociendo un lado y un ángulo Nos falta conocer otro ángulo y dos lados a) Obtenemos el otro ángulo restando a 90º el que nos han dado b) Obtendremos los otros dos lados a partir de las razones trigonométricas Ejemplo: resolver el siguiente triángulo a C 5cm B ˆ 90º Cˆ 58º )5/a a5/) 9,4cm tg()5/c c5/tg() 8cm B º c A

7 5.. Cálculo altura con doble medida Cuando queremos calcular la altura de una montaña, casa, etc. pero no somos capaces de acercarnos a la base (como hicimos midiendo la altura del alumno), y por tanto no podemos calcular la distancia de un punto al objeto que deseamos medir tendremos que utilizar otro método. Veamos como con dos medidas indirectas podemos obtener la altura. Donde conocemos l, α, α h tg(α )h/(l+x) tg(α )h/x α l x α es un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas. Ejemplo, cálculo de la altura de un alumno con doble medida: tg(0)h/(,+x) tg(45)h/x h xh tg(0)x/(.+x) 0º l,m x 45º. tg(0)+tg(0)xx 0 x (-tg(0)). tg(0) x Cálculo altura en triángulos no rectángulos El teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas sólo se puede utilizar en triángulos rectángulos. Si queremos resolver un triángulo no rectángulo tendremos que trazar la altura del triángulo, con lo que este se divide en dos triángulos rectángulos, donde podemos aplicar los teoremas. B h A α α M x m C

8 Triángulo tg(α )h/x Triángulo tg(α )h/(-x) Tenemos así que resolver un sistema con dos incógnitas, h y x. Ejemplo: calcular la altura que vuela un avión sabiendo que vuela entre dos personas separadas 0km y estas lo ven con ángulos de 0º y 60º cada uno. B h A 60º 0º M x 0km C Triángulo tg(60)h/x Triángulo tg(0)h/(0-x) h 0 ( + )x0 4 0 x.5km h.5 4,km400m 6. Razones trigonométricas de ángulo cualquiera. Circunferencia goniométrica. Hasta ahora habíamos definido las razones trigonométricas en triángulos rectángulos, de tal forma que los ángulos, no rectos, eran siempre menores a 90º. En este apartado vamos a extender las definiciones para cualquier ángulo dentro de la circunferencia (0º 60 ) Definición: la circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio unidad en donde los ángulos se sitúan de la siguiente forma vértice en el centro el radio horizontal es el eje OX y el vertical OY un lado del ángulo situado en lado positivo del eje OX el otro lado formando ángulo α en el sentido contrario a las agujas del reloj.

9 Ejemplo: situamos α0º en la circunferencia goniométrica: α0º P Definición de razones trigonométricas en la circunferencia (0º 60 ): coordenada vertical del punto PP y cos(coordenada horizontal del punto PP x tg( α α Veamos gráficamente los valores de, cos( y tg( P y P α P x Explicación de la tangente: tenemos que tg(p y /P x. Se cumple que el triángulo rectángulo de catetos P y y P x es semejante al que tiene de lado horizontal (radio circunferencia) y vertical la línea verde (pongamos que su tamaño es x). Al ser semejantes tg(p y /P x x/xlínea verde. Nota: observamos que la definición de tangente cuando α<90º (como el dibujo) coincide con la definición dada en triángulos, recordemos que la circunferencia goniométrica r y por tanto la hipotenusa del triángulo vale también.

10 6.. Signo razones trigonométricas en los diferentes cuadrantes En este apartado vamos a ver el signo de las razones trigonométricas según el valor del ánguloα. Para entender esta tabla simplemente hay que recordar la definición del seno y el coseno y ver la posición de P para estos valores de α. El signo de la tangente se deduce de tg(/cos( cos( tg( 0º<α<90º (cuadrante I) º<α<80º (cuadrante II) º<α<70º (cuadrante III) º<α<60º (cuadrante IV) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios Definición: dos ángulos α y α se dicen complementarios si suman 90º (α+α 90º). De esta forma llamaremos a α 90-α. Veamos las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos complementarios, para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica. 90-α α cos(90- cos(90- tg(/tg( Relación entre razones trigonométricas de ángulos suplementarios Definición: dos ángulos α y α se dicen suplementarios si suman 80º (α+α 80º). De esta forma llamaremos a α 80-α. Veamos las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos suplementarios, para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica.

11 80-α 80- α cos( -cos(80- tg( -tg( Relación entre razones trigonométricas de ángulos que difieren 80º En este apartado vamos a ver las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos que difieren 80º (α, α+80º), para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica. 80+α α -80+ cos( -cos(80+ tg( tg( Relación entre razones trigonométricas de ángulos que suman 60º En este apartado vamos a ver las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos que suman 60º (α, 60º-, para esto apoyémonos en la circunferencia goniométrica. Nota: en la calculadora los ángulos del IV cuadrante aparecen con signo negativo, es decir el giro en sentido horario de los ángulos se pueden considerar negativos. Ejemplos: 0º-40º, 00º-60º -60- α cos( cos(60-60-α tg( -tg(60-

12 Ejercicio : calcular el valor de las siguientes razones trigonométricas sin utilizar la calculadora: ) α0º α Son ángulos 0º y 60º son suplementarios, apliquemos las relaciones vistas en el apartado 6. 0º) 60º) cos(0º) -cos(60º) - tg(0º) -tg(60º) - ) α40º α80º+60º. Los ángulos 40º y 60º se diferencian en 80º, apliquemos las relaciones vistas el apartado º) -60º)- cos(40º) -cos(60º) - tg(40º) tg(60) ) α00º-60º α60º-60º. Los ángulos 00º y 60º suman 60º, apliquemos las relaciones vistas en el apartado º) -60º) cos(00º) cos(60º) tg(00º) -tg(60º) 4) α60º, sabiendo que 0º) 0,7, cos(0º) 0.98, tg(0º) 0.8, podemos relacionar este ángulo con 70º de la siguiente forma α80º70º+0º. Veamos con la circunferencia goniométrica como relacionarlos: α -cos(70º- cos(-70º- 70-α tg(/tg(70º-

13 A partir de esto podemos ver el valor de las razones trigonométricas de 60º 60º)-cos(0º) cos(60º)-0º) -0.7 tg(60º)/tg(0º) Ejercicio 4: calcular los ángulos que cumplen: a) 0.5 b) cos(-0. c) -0. d) cos(0.7 y <0 a) 0.5 αarc0.5)4.5º (calculadora). Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vale α La otra solución es α 80º-α 65.5º α b) cos(-0. α 07.5º (calculadora). Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el coseno vale -0. La otra solución es α 70º-7.5º5.5º α 90º+7.5º 70º-7.5º

14 c) -0. α -5.7º(calculadora) α 54.º. Si dibujamos el ángulo obtenemos el otro ángulo que cumple que el seno vale -0. α 54. La otra solución es α 80º+5.7º85.7º α 80º+5.7º d) cos(0.7 y <0 α 45.6º, pero el α )>0 (cuadrante I), luego no es ángulo que buscamos. Veamos a partir de la circunferencia goniométrica otro ángulo,α, que cumpla que su coseno es también 0.7 pero el seno sea negativo. Nota: Aunque 45.6º es muy próximo a 45º, a la hora de dibujarlo lo haremos más cerca de 90º a fin de que podamos distinguir el tamaño del seno y coseno que en 45º son iguales. α45.6º El ángulo α 60º-45.6º4.4º cumple que cos(α )0.7 pero ahora si α )<0. Lugo la solución es α4.4º 60º-45.6º

15 7. Gráficas de las funciones trigonométricas. En este apartado vamos a representar las funciones trigonométricas, es decir las siguientes funciones: yf(x)x) yg(x)cos(x) En las gráficas el valor de x (ángulo) se dan en radianes en vez de grados, recordemos que π rad80º. Hagamos la tabla de valores de y frente a x. x) cos(x) x y x Y 0 rad 0 0 rad 0ºπ/6 rad 0.5 0ºπ/6 rad ºπ/4 rad ºπ/4 rad ºπ/ rad ºπ/ rad ºπ/ rad 90ºπ/ rad 0 0ºπ/ rad ºπ/ rad ºπ/4rad ºπ/4rad º5π/rad º5π/rad ºπ rad 0 80ºπ rad - 0º7π/rad º7π/rad º5π/4 rad º5π/4 rad º4π/ rad º4π/ rad ºπ/ rad - 70ºπ/ rad 0 00º5π/ rad º5π/ rad 0.5 5º7π/4 rad º7π/4 rad ºπ/6 rad ºπ/6 rad ºπ rad 0 60ºπ rad

16 En las funciones se consideran que los ángulos pueden valer cualquier valor, también los mayores de 60º, así por ejemplo 400º40º, de forma que la función se repite periódicamente. Veamos las gráficas: x) cos(x) Estas gráficas son muy importantes en física ya que representan perfectamente muchos movimientos como el péndulo, el muelle, y otras oscilaciones periódicas.

17 Ejercicios finales: Relación entre las razones trigonométricas Ejercicio 5: Calcular sin hacer uso de la calculadora las demás razones trigonométricas a. 0. (cuadrante II) b. cos(-0. (cuadrante III) c. tg( (cuadrante I) Solución a. sen (+cos ( 0. +cos ( cos (0.96 cos( 0.96 la solución es cos( al ser del cuadrante II tg(/cos( tg(-0./ 0.96 b. sen (+cos ( sen (+(-0.) sen ( la solución es al ser del cuadrante III tg(/cos( tg( 0.9/0. sen ( α ) + cos ( α ) sen ( α ) + cos ( α ) sen ( α ) + cos ( α ) c. tg( cos( cos( cos( Tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas fácilmente resoluble sustituyendo en la primera ecuación cos(: (cos() +cos ( 5cos ( cos (/5 cos(/ 5 la solución es cos(/ 5 ya que es del cuadrante I / 5 Ejercicio 6: Comprueba que son ciertas las siguientes igualdades: + tg ( a. tg ( + cot g ( + tg ( + tg ( α ) + tg ( Solución: tg ( + cot g ( + tg ( + tg ( α ) tg ( cos ( b. + cos ( sen ( ( )( + ) Solución: + + ( + )

18 c. sec (x)+cosec (x)sec (x) cosec (x) Solución: Solución:sec (x)+cosec sen ( x) + cos ( x) (x) + cos ( x) sen ( x) cos ( x) sen ( x) sec ( x) cosec ( x) cos ( x) sen ( x) cos( x) x) Ejercicio 7: Simplifica las siguientes expresiones a. (x)+cos(x)) +(x)-cos(x)) sen ( x) + x) cos ( x) b. x) a) (x)+cos(x)) +(x)-cos(x)) sen (x)+cos (x)+ x) cos(x)+sen (x)+cos (x)- x) cos(x) (sen (x)+cos (x)) sen ( x) + x) cos ( x) x) ( sen ( x) + cos ( x)) x) b) x) x) x) Problemas de geometría Ejercicio 8: Calcular el perímetro de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 0cm de radio. Calcular su área Angulo del pentágono α60º/57º h 6º 0 x Lado pentágonox 6º)x/0 x0 6º)7.6cm Perímetro0 x76cm Apotemah cos(6º)x/0 x0 cos(6º)4.cm p ap área 8.4 cm

19 Ejercicio 9: En un tramo de carretera la inclinación es del 5% (sube 5m en 00m). Calcular el ángulo que forma con la horizontal la carretera. Sabemos que hemos subido 00m, Cuánto hemos andado por la carretera? 5 00 α 0.05 αarc0.05).87º 00 x.87º /x x000m Ejercicio 0: Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 4º bajo qué ángulo se ve colocándose al doble de distancia? h 4º α x x tg(4º)0.9h/x tg(h/x0.45 αarctg(0.45)4,º Ejercicio : Desde un faro F se ve un barco A con ángulo de 4º con la costa, y el barco B con º. El barco B está a km de la costa y el A a 5km. Calcular distancia entre los barcos. 5km º 4º km x y tg()/x x/tg()7.8km tg(4º)5/y y5/tg(4º)5.4km

20 Así la distancia entre los dos barcos definida por la hipotenusa de un triángulo con catetos de km y de (x-y).4km d.4.4 Ejercicio : Calcular la altura del edificio: y x 50 m 0º l 0º 0º)x/50 x50 0º)5m cos(0º)l/50 l 50 cos(0º)6.5m tg(40º)y/l y6.5m tg(40º)8.7m h casa y-x56.7m Ejercicio : Calcular la altura de la torre grande a partir del siguiente dibujo y x l 50º 0º 5m x5 0º)7.5m l5 cos(0º)m tg(50º)y/l yl tg(50º)5.5m alturay+xm

21 Ecuaciones. Ejercicio 4: Resolver las siguientes ecuaciones a. sen (x)-x)0 b. cos(x)+sen (x) c. tg (x)sec (x) Solución a. x)y y -y0, y(y-)0 y0,y. 0º + 60k Si y0 x)0 xarc0) 80º + 60k Si y x) xarc)90º + 60k b. Tenemos expresar la ecuación sólo en función del seno o del coseno, para esto utilizamos sen (x)+cos (x) sen (x)-cos (x) cos(x)+sen (x) cos(x)+-cos (x) cos(x)-cos (x)0 Llamando ycos(x) la ecuación será: y-y 0 y(y-)0 y0,y. 90º + 60k Si y0 cos(x)0 xarccos(0) 70º + 60k Si y cos(x) xarccos()0º + 60k c. tg (x)sec (x) sen ( x) sen cos ( x) cos ( x) x arcsen x arcsen ( x) x) ± 5,6º + 60k 80º 5,6º 44.74º + 60k 60º 5,6º 4,74º + 60k 80º + 5,6º 54.6º + 60k ±