TRIGONOMETRÍA. Los griegos y los hindúes la consideraron como una básica herramienta de la Astronomía.

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico, proveniente del griego, es medida del triángulo". Estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas Los griegos y los hindúes la consideraron como una básica herramienta de la Astronomía.

2 Las funciones trigonométricas intervienen en el estudio de todo fenómeno periódico, es decir de fenómenos que se repiten regularmente. Por ejemplo: la respiración, el movimiento de los planetas, el sonido, el movimiento de un péndulo, el de un resorte del que se ha suspendido un peso, la corriente alterna, movimiento de una rueda y los latidos del corazón, etc. Taller Vertical N 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano.- FAU- UNLP

3 Ángulos orientados o en posición normal en un sistema cartesiano: o Su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el eje positivo de las x La semirrecta parte desde una posición inicial y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal Se puede realizar más de un giro completo.

4 Se considera al plano cartesiano dividido en cuatro sectores, llamados cuadrantes. SENTIDO POSITIVO (antihorario) SENTIDO NEGATIVO (horario)

5 SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS Sistema Circular o Radial: La unidad es el radián. En una circunferencia completa hay π radianes. Un ángulo central de 1 radián es el que determina un arco que tiene una longitud igual al radio. s = r entonces s/r = 1

6 Sistema Sexagesimal: La unidad angular es el grado sexagesimal que es la noventa-ava parte del ángulo recto 1 ángulo recto = 90 (grados sexagesimales) 1 grado sexagesimal = 60 (minutos sexagesimales) 1 minuto sexagesimal = 60 (segundos sexagesimales)

7 Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla: Ángulo Sistema sexagesimal Sistema circular 1 giro 360º llano 180º recto 90º /

8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS sen cateto opuesto hipotenusa ordenada de OP P y r 0 cos cateto adyacente hipotenusa abscisa de OP P x r 0 tg cateto opuesto cateto adyacente y x 0 0 Con x 0 0

9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS DE LAS ANTERIORES Definimos las razones trigonométricas recíprocas de las anteriores, llamadas cosecante, secante y cotangente:

10 Las fórmulas anteriores son válidas cuando no se anulen los denominadores. Estas razones dependen sólo del ángulo y no de las medidas de los lados del triángulo construído.

11 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA CENTRO: En el origen de coordenadas RADIO: Unitario

12 Signos de las razones trigonométricas Pueden ser positivas o negativas, dependiendo del cuadrante en que se halle la razón trigonométrica

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14 Ejemplos: 1 Qué signo tendrá la tang 80? Si 80 IV Cuadrante Seno es negativo y el Coseno es positivo Tang 80 ES NEGATIVAa Si sec es negativa y la cotang es positiva, a qué cuadrante pertenece? sec es negativa II ó III c. cotang es positiva III y IV c. III cuadrante

15 3 Si 9/ < < 5 qué se puede asegurar respecto del signo de sen, cos y tg? Si 9/ < < 5 90 < < 180 II c. sen es positivo, cos es negativo y tg es negativo

16 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA Ó RELACIÓN PITAGÓRICA PARA UN ÁNGULO CUALQUIERA, PUEDE APLICARSE EL TEOREMA DE PITÁGORAS: (cat. op.) + (cat. ady.) = (hipotenusa) Dividimos ambos miembros por (hipotenusa) : (cat.op.) (hip.) (cat.ady.) (hip.) (hip.) (hip.)

17 (cat.op.) (hip.) (cat.ady.) 1 (sen ) + (cos ) = 1 (hip.) sen + cos = 1 IDENTIDAD PITAGÓRICA Permite calcular el valor de todas las funciones trigonométricas, conocida una de ellas

18 sen + cos = 1 cos 1 sen sen 1 cos

19 Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas ; de un ángulo α Si: sen = -3/5 y < 3/ Si sen + cos = 1 cos 1 sen cos tan g sen cos Si III C. cos = - 4/5 1 cos ec sen sec 1 cos 1 cot ag tg

20 ALGUNOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Función seno coseno tangente 0 No existe 0 No existe Taller Vertical N 1 de Matemática- Díaz-Fileni-Toscano.FAU.UNLP

21 VALORES PARA EL ÁNGULO DE 45 Ó /4 Por el teorema de Pitágoras: x + y = 1 x = y por triángulo isósceles Ángulo seno coseno tang Taller Vertical N 1 de Matemática-Díaz-Fileni-Toscano. FAU- UNLP 45 1

22 VALORES PARA EL ÁNGULO DE 30 y 60 ó /6 y / / M POM es rectángulo POP es equilátero PM = 1/ sen 30 = 1/ Por el teorema de Pitágoras: PM + OM = OP (1/) + x = 1 x x x 1-1/4 3/4 3 cos30 3

23 seno coseno tangente / 3 3 1/ 3 3

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25 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en hallar: sus lados, ángulos y área Necesitamos contar con dos datos, por ej. dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto Para hallar uno de los lados conociendo los otros dos, aplicamos el TEOREMA DE PITÁGORAS Si Relacionamos lados con ángulos, recurriremos a las: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO- COSENO- TANGENTE Recordar: + = 90

26 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Necesitamos contar con tres datos, uno de los cuales debe ser un lado Se utilizan: TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL COSENO LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DEL TRIÁNGULO ES IGUAL A 180

27 TEOREMA DEL SENO EN TODO TRIÁNGULO CADA LADO ES PROPORCIONAL AL SENO DEL ÁNGULO OPUESTO

28 TEOREMA DEL COSENO EL CUADRADO DE UN LADO DE UN TRIÁNGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS OTROS DOS LADOS, MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE DICHOS LADOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO COMPRENDIDO

29 TEOREMA DEL COSENO

30 DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS Los tres lados T. COSENO Los tres ángulos Un lado y los ángulos adyacentes T. SENO Dos lados y un ángulo Dos lados y el ángulo comprendido Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos T. COSENO T. SENO Un lado y dos ángulos Un lado y dos ángulos