MATEMÁTICA 6º AÑO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 MATEMÁTICA 6º AÑO PROFESORAS: RUHL, CLAUDIA --- SCARLATO MARÍA DEL CARMEN CURSOS: 6º1º 6º6º 6º8º FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA En primer lugar tendremos en cuenta determinada nomenclatura específica y ubicación en la circunferencia trigonométrica del radio, arco, cuadrantes, etc. Se llama circunferencia trigonométrica a la circunferencia de radio 1 y centro (0,0) Tomemos una circunferencia trigonométrica de centro 0 y radio r C (o,r).al considerar un sistema de ejes cartesianos con centro en 0 la circunferencia queda dividida en 4 partes iguales llamadas cuadrantes, que se enumeran como indica la siguiente figura Y II Cuadrante P = (x;y) I Cuadrante III Cuadrante IV Cuadrante El ángulo puede estar medido según el sistema que utilicemos. Sistema de Medición Sexagesimal La unidad con las que hasta ahora medimos los ángulos son los grados, minutos y segundos. Este sistema de medición se llama sistema sexagesimal. Se basa en dividir al ángulo de un giro en 360 partes iguales y cada una de esas partes es la unidad que corresponde a 1º Sistema Circular La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. Si el ángulo es 360º (una vuelta completa) y su longitud es L = r (r es el radio), tendremos = longitud del arco 360º = r 360º = 2 radio r Como esta relación es proporcional, si 360º equivalen a 2 radianes encontraremos cuánto vale 1 radián 360º = 2 rad º 1 rad 360º. 1 rad = º º = 57º rad = 57º rad 1 rad

2 EQUIVALENCIA ENTRE LOS ÁNGULOS EN RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES -2- Utilizá la proporción de la página anterior para realizar los siguientes ejercicios Ejercicio Nº1: Se considera para π = 3, Expresar en el sistema circular un ángulo de: a) 80 = Respuesta: (4/9).π rad b) 120 = Respuesta: (2/3).π rad c) 161 = Respuesta: 2,81 rad d) 540 = Respuesta: 3.π rad e) = Respuesta: 0,62 rad f) " = Respuesta: 0,74 rad g) " = Respuesta: 0,75 rad Ejercicio Nº 2: Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de: a) (1/12).π rad = Respuesta: 15 b) (1/8).π rad = Respuesta: c) (1/5).π rad = Respuesta: 36 d) 1 rad = Respuesta: ,43" e) (3/5).π rad = Respuesta: 108 f) (2/3).π rad = Respuesta: 120 Angulos y Arcos Orientados Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las rotaciones del semieje centro o; surgen dos posibilidades: con SENTIDO POSITIVO(contrario al de las agujas del reloj); llamado también sentido antihorario SENTIDO NEGATIVO (opuesto al anterior); llamado sentido horario Obsérvese que en ambos casos coinciden el lado inicial y terminal del ángulo de amplitud + 30 con el de 330.

3 -4- Circunferencia Trigonométrica es aquella cuyo centro coincide con el origen de coordenadas cartesianas y cuyo Radio (r=1) es la unidad. Como vemos sen Recordando el teorema de Pitágoras lo aplicamos para el triángulo OPQ OP 2 = PQ 2 + OQ = y 2 + x 2 Según lo expresado anteriormete 1 = sen 2 + cos 2

4 Ejercicio Nº3: Marcar en cada circunferencia el ángulo indicado teniendo en cuenta las equivalencias de la página anterior -3- y su sentido. = 75º = º = /3 = /6 = -4/3 =-5/6 = - 80º = - = - = - = 2/3 =5/3 = º -5-

5 Según la representación anterior y para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes. Los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero. Con tres colores distintos marcaremos para cada ángulo el seno, coseno y la tangente son sus correspondientes signos. -5- Ejercicio Nº4: Ubica en cada circunferencia trigonométrica el ángulo indicado, marca el seno, coseno y la tangente con sus correspondientes signos. A)

6 - 6- B) D) = 7/6 Ejercicio Nº5: Ubica en cada circunferencia trigonométrica el ángulo indicado, marca el seno, coseno y la tangente con sus correspondientes signos º

7 ACTIVIDADNº1 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN SENO, y = sen x. -7- Deberás realizar en tu carpeta, utilizando la hoja en forma horizontal, una circunferencia trigonométrica y la prolongación del eje x y del eje y como indica el siguiente esquema. Marca en dicha circunferencia los ángulos 30º= 60º = 210º = 1 x -1 Recuerda que éste es solo un esquema y que en tu carpeta todas las unidades tiene que ser iguales. Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos, para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde al seno sobre el eje x. Realizaremos ente todos el estudio de ésta función. ACTIVIDAD Nº 2 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN COSENO, y = cos x Vuelve a realizar la misma circunferencia trigonométrica que en la actividad nº 1 y marca los mismos ángulos. Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos, para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde al coseno sobre el eje x. Realizaremos entre todos el estudio de ésta función. ACTIVIDAD Nº 3 : GRAFICAREMOS LA FUNCIÓN TANGENTE, y = tg x. Vuelve a realizar la misma circunferencia trigonométrica que en la actividad Nº 1 y marca los mismos ángulos. Una vez que marcaste todos los ángulos pedidos sobre la circunferencia trigonométrica, transportaremos, para cada ángulo, la medida del segmento que corresponde a la tangente sobre el eje x. Realizaremos entre todos el estudio de ésta función. Ejercicio Nº6: Utiliza en tu computadora el programa graphmatica conclusiones y realiza las siguientes gráficas. Extrae 1) y = sen x 2) y = sen x 3) y = sen x 4) y = sen x 5) y = sen x y = 2 sen y =3 sen x y = 4 sen x y = -2 sen x y = - 3 sen x 6) y = sen x 7) y = sen x 8) y = sen x 9) y = sen x y =sen (2 x ) y = sen (3x) y = sen (1/2x) y = sen (1/3x) 10) y = cos x 11) y = cos x 12) y = cos x 13) y = con x y = 2 cos y = 3 cos x y = -2 cos x y = -3 cos x 14) y = cos x 15) y = cos x 16) y = cos x 17) y = cos x y = cos(2 x ) y = cos (3x) y = cos (1/2x) y = cos (1/3x)

8 Recordemos que las funciones trigonométricas son seis, las tres que estamos nombrando y la inversa de cada una de ellas. -8- seno = cat, opuesto cosecante = hipotenusa hipotenusa cat. opuesto coseno = cat, adyacente secante = hipotenusa hipotenusa cat. adyacente tangente = cat, opuesto cotangente = cat. adyacente cat. adyacente cat. opuesto sen cos tg INVERSA cosec sec cotg ACTIVIDAD Nº4: Hallaremos el valor del seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante de un ángulo de 30º. Utilizando la calculadora hallamos que sen 30º = ½ A partir de allí y según la relación pitagórica de la página 4 tenemos que sen 2 + cos 2 = 1 reemplazamos sen 2 30º + cos 2 30º = 1 (1/2) 2 + cos 2 30º = 1 (a partir de aquí despeja cos 30º) tuviste que haber llegado a que cos 30 = 3 /2 Para calcular la tg 30º nos valemos de la relación en que tg 30º = sen 30º tg 30º = ½. cos 30º 3 /2 Realiza esta división recordando como se racionaliza el denominador. Habrás llegado al siguiente resultado tg 30º = 1 o tg 30º = Utilizando la tabla de las inversas de cada una de las funciones anteriores calcula con los datos de la actividad Nº4 la cosecante, la secante y la cotangente. Cosecante: Secante: Cotangente: De esta manera se podrían calcular todos los valores para las seis funciones trigonométricas de los ángulos particulares y obtendríamos la siguiente tabla

9 --- Ejercicio Nº7: Sabiendo que cosec 60º = hallar las restantes funciones trigonométricas Ejercicio Nº8: Sabiendo que el sen 150º = 1/2 hallar las restantes funciones trigonométricas teniendo en cuenta los signos de las mismas. Para ayudarte ubica el ángulo en una circunferencia trigonométrica Ejercicio Nº9: Sabiendo que el cos 5/4 = - 2 hallar las restantes funciones trigonométricas teniendo en 2 cuenta los signos de las mismas. Para ayudarte ubica el ángulo en una circunferencia trigonométrica IDENTIDADES FUNDAMENTALES cos² α + sen² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α tg a = sen / cos Teniendo un solo dato y utilizando las siguientes identidades podremos calcular todos los valores de las restantes funciones trigonométricas. EJEMPLO: Sa b iendo q ue s e n α = 3 /5, y q u e 9 0 º < α < C a l c ul a r l a s r es t a n te s r a z o n es t r i g o no m étricas d e l á n gu l o α. P r i m e r o te n d re m os e n cuenta qu e es t am o s en e l 2 º c u ad r a n te p o r l o ta n t o l os s i g n os d e l a s fu n c iones t r i g o no m étricas s e rá n : s e n + ; cos - y l a tg - sen = 3/5 Utilizando la relación pitagórica calcularemos el coseno c o s ² α + s e n ² α = 1 c o s ² α + ( 3 / 5 ) 2 = 1 c o s ² α = 1 9 /2 5 c o s α = 1 6 /2 5 cos = - 4 / 5 s e c = 1 s e c = 1 s e c = - 5 / 4 c o s - 4/5 c o s e c = 1 c o s e c = 1 c o s ec = 5 / 3 s e n 3/5 t g = s e n t g = 3/5 t g = - 3 / 4 cos - 4 /5 c o t g 1-3 /4 ) c o t g = - 4 / 3-9 -

10 - 10- Ejercicio Nº 10: Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. Ejercicio Nº 11: Sabiendo que cos = 4/3, y que 270º < α <360º. Calcular las restantes razones trigonométri cas del ángulo α. Ejercicio Nº 12: Sabiendo que cotg = 1/3, y que 180º < α <270º. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α. Utilizando la tabla de Identidades Fundamentales de la página 9 verificaremos distintas igualdades. Para ello analizaremos los siguientes ejemplos. Ejemplo A Reemplazando tg sen + cos = sec cos sen sumamos el 1º término sen 2 + cos 2 = sec cos. sen 1 = sec 1 1 = sec cos. sen cos. sen Ejemplo NºB 1 = sen 2 a. cos 2 a + cos 4 a sec 2 a Extraemes factor común 1 = cos 2 a (sen 2 a + cos 2 a) sec 2 a 1 = cos 2 a. 1 1 = cos 2 a. 1 cos 2 a = cos 2 a sec 2 a (1/cos 2 a) Ejercicio Nº 13: Comprobar las siguientes identid ades 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 5) 5) 6)

11 -11-7) 8) 9) 10) 11) 12) 1 + tg 2 = sec 2 13) 1 + sec = cos sec cos ) 2 sen 2-1 = sen 4 - cos 4 15) sen α - tg α.cos α = 0 16) sec ² α.(cosec ² α - 1) = cosec ² α 17) tg α.tg β.(cotg α + cotg β) = (sen α.cos β + sen β.cos α)/cos α.cos β 18) sen ² α - sen ² α.cos ² β = sen ² β - sen ² β.cos ² α 19) (1 + tg α).(1 - tg α) = 2 - sec ² α

12 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS -12- Hasta el año pasado aplicábamos pitágo ras y trigonometría solo cuando teíamos triángulos rectángulos. Ahora utilizaremos los teoremas del seno y del coseno para poder trabajar con cualquier tipo de triángulos y calcular sus lados y sus ángulos TEOREMA DEL SENO Este teorema establece que l a medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos A b c C a B sen A = sen B = sen C a b c TEOREMA DEL COSENO En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. a 2 = b 2 + c 2-2 b c. cos A b 2 = a 2 + c 2-2 a c. cos B c 2 = a 2 + b 2-2 a b. cos C Aquí tienes algunos ejemplos para luego poder guiarte.

13 -13- EJEMPLOS e l e m e n t o s. A) D e u n t r i á n g u l o s a b e m o s q u e : a = 6 m, B = 4 5 y C = C a l c u l a l o s r e s t a n t e s C o m o s a b e m o s q u e l a s u m a d e l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n t r i á n g u l o e s º y a q u í d e l o s t r e s á n g u l o s t e n e m o s d o s d e e l l o s, c a l c u l a m o s e l t e r c e r o Veremos si nos sirve el teorema del seno para poder calcular lo que nos pide sen A = sen B = sen C Utilizamos l 1º y la 2º igualdad pues de los cuatro datos poseemos tres a b c sen A = sen B sen 30º = sen 45º Despejamos convenientemente y calculamos b a b 6 m b b = sen 45º. 6 b= 2 / 2.6 b = 6. 2 sen 30º 1 / 2 Ahora puedes utilizar la 1º y la 3º igualdad o la 2º y la 3º igualdad para calcular el lado c. Calcula el lado c

14 - 14- B) D e u n t r i á n g u l o s a b e m o s q u e : a = 1 0 m, b = 7 m y C = 3 0. C a l c u l a l o s r e s t a n t e s e l e m e n t o s. Como tenemos solo un ángulo no podemos hallar, como en el caso anterior algún otro ángulo. Probaremos con el teorema del seno para ver si nos sirve para calcular lo pedido. sen A = sen B = sen C a b c Como vemos cualquier igualdad que tomemos siempre tenemos dos incógnitas. Por lo tanto deberemos probar con el teorema del coseno a 2 = b 2 + c 2-2 b c. cos A b 2 = a 2 + c 2-2 a c. cos B c 2 = a 2 + b 2-2 a b. cos C Vemos que con los datos podemos utilizar la tercer igualdad. Reemplazamos por los datos y calculamos c 2 = a 2 + b 2-2 a b. cos C c 2 = (10 m) 2 + (7 m ) m. 7m. cos 30º Calcula y despeja c EJERCICIO Nº 14: Calcular todos los lados y todos los ángulos de los siguientes triángulos usando el teorema del seno o del coseno A) B) Datos: a= 4cn b= 5 cn B = 30º Dato: c = 700 m a = 1200 m B = 108º C). Resolver los siguientes triángulos. Dibuja los triángulos, nombra sus ángulos y sus lados, añade los datos y resuelve

15 1) a = 1792 m b = 4231 m c = 3164 m Solución: A = 22,75º B = 114,3º C = 42,95º 2) a = 12 m b = 8 m A = 150º Solución: c = 4,27 m B = 19,46º C = 10,53º 3) a = 72 m b = 57 m C = 75,78º Solución: c = 80,12 m A = 60,6º B = 43,62º D) 2. Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 m, desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Halla la distancia entre A y B? E) Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros puntos accesibles C y D, separados por la longitud de 73,2 m. Suponiendo que los ángulos ACD = 80,2º; BCD = 43,5º BDC = 32º y ADC = 23,23º determinar la distancia AB. F) G) H) I) J) Un poste está inclinado 11º con respecto a la vertical 11º y proyecta una sombra de 25m de largo sobre el piso, cuando el ángulo de elevación del sol es de 20º, Cuál es la longitud del poste?. 20º 25m K) Dos rutas se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42º. Hay un edificio situado en R que está a 368 m de P, mientras que otro edificio situado en S está a 426 m de P. A qué distancia están los edificios ente sí? L) A 2m D B 55º C 4m El ángulo C MIDE 55º. Cuánto mide cada una de las diagonales del trapecio ABCD?