TEMA2: TRIGONOMETRÍA I

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1 TEMA: Trigonometría (del griego trigonon, triángulo y métron, medida). MEDIDA DE ÁNGULOS Para medir los ángulos y los ar de circunferencia se usan fundamentalmente dos sistemas de medida:. Sistema Sexagesimal: Se toma como unidad fundamental el ángulo recto. Un ángulo recto se divide en 90 partes llamadas grados sexagesimales ( º ). Un grado sexagesimal tiene 60 minutos( ) y cada minuto tiene 60 segundos ( ). ángulo recto 90º º Sistema Circular o Internacional: En el sistema circular la unidad de medida es el radián y no tiene subunidades. Su abreviatura es rad. Se dice que un ángulo mide un radián cuando la longitud del arco que abarca es igual al radio. Si a un ángulo de radián corresponde un arco de longitud r, a radianes corresponde un arco de longitud r, por tanto, como la longitud de toda la circunferencia de radio r es πr, este arco corresponderá a un ángulo de π radianes. Una circunferencia, cuya medida en grados es 360º, tiene un total de π radianes: Cuántos ar de longitud r podemos colocar sobre una circunferencia de radio r? La longitud r cabe π veces. 360º π rad 80º π rad π 90º rad º) En una circunferencia de 4 m de radio, un arco mide 6 m. Halla el ángulo central correspondiente expresado en radianes y en grados sexagesimales. º) Completa la tabla en tu cuaderno: Ángulo en grados 0º 45º 60º 90º 35º 00º 5º 40º Ángulo en π radianes 6 4π 9 5π 6 3π /8 IBR IES LA NÍA

2 . RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Considerando el triángulo rectángulo OAB, se definen las razones trigonométricas o (), coo () y tangente (tg) del ángulo de la forma: tg AB OB OA OB AB OB cateto opuesto a hipotenusa cateto contiguo a hipotenusa cateto opuesto a cateto contiguo a Además de las tres razones trigonométricas principales, existen otras tres razones relacionadas con las anteriores: secante, ecante y cotangente, definidas como sec, ec, ctg tg Las teclas sin, y tan de la calculadora científica permiten calcular las razones trigonométricas principales. Usa el modo DEG o D para trabajar con grados sexagesimales y RAD o R para trabajar en radianes. También podemos usar la calculadora para el resultado contrario, es decir, conocido el valor del o, coo o tangente de un ángulo, podemos averiguar el valor del ángulo utilizando la función inversa de la tecla correspondiente. 3º) Calcula en el sistema sexagesimal, con la ayuda de la calculadora, un ángulo agudo en cada uno de los siguientes casos: a) Â 0 34 b) Bˆ 0 76 c) tgĉ 34 d) ec Dˆ 3 45 e) sec Ê 4 f) ctg Fˆ 5 4º) Calcula las razones trigonométricas del ángulo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 8 cm. 5º) Utiliza la calculadora para hallar x en cada una de las figuras siguientes: 6º) Ayúdate de los siguientes triángulos para calcular los valores exactos del o, coo y tangente de los ángulos de 30º, 45º y 60º. /8 IBR IES LA NÍA

3 3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observa el triángulo ABC de la figura: ) Como a>b y a>c 0 < < y 0 < < b ) a b tg c c a, es decir tg b c 3) + + a a teorema de Pitágoras se cumplirá que: b + c a, luego: b + a c, pero por el b c b + c a + + +, esta igualdad es la a a a a relación fundamental de la trigonometría. 4) Si en la relación anterior dividimos todo por : + + ctg ec 5) Si en la relación anterior dividimos todo por : + + tg sec Ejercicio: 7º) Halla las restantes razones trigonométricas del ángulo en los casos siguientes: 4 ) 5 ) sec 3) tg 4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo rectángulo consiste en determinar todos sus elementos: los tres ángulos Â, Bˆ y Ĉ y los tres lados a, b y c. Para ello debemos recordar: La suma de los tres ángulos de un triángulo es 80º. Si el triángulo es rectángulo y  90º, se cumplirá que: Bˆ +Ĉ 90º. El teorema de Pitágoras. Las definiciones de las razones trigonométricas. Una de las aplicaciones más importantes de la trigonometría es la determinación de alturas y distancias. 3/8 IBR IES LA NÍA

4 8º) Resuelve el triángulo ABC en cada uno de los siguientes casos: a) a5, b b) a3, Bˆ 50º c) c, b7 d) b5, Ĉ 30º e) c6, Ĉ 5º 9º) Calcula la altura de un edificio si el ángulo de elevación de su punto más alto, observado desde un punto del suelo situado a 0 metros de su base, es de 50º. 0º) Resuelve un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 m y que su ángulo agudo adyacente es de 6º. º) Apoyamos el extremo superior de una escalera de 4 metros en una pared vertical. El ángulo que forma la escalera con el suelo es de 70º. A qué distancia de la pared está la base de la escalera? Qué altura podemos alcanzar sobre la pared? º) Al ir por una carretera nos encontramos la siguiente señal de tráfico: Significa que por cada 00 m. recorridos, el desnivel aumenta m. Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? Si avanzamos 538 m. cuántos metros habremos subido en vertical? 3º) En un círculo de radio 50 cm. trazamos una cuerda que une los extremos de un arco de 0º. Calcula la distancia del centro a la cuerda. [5] 4º) La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles mide cm. y el ángulo desigual es de 30º. Halla los otros lados, el perímetro y el área. 5º) La altura de un edificio es 8m. Desde una ventana del edificio una persona, A, tensa una cuerda con otra, B, que está en la calle a una cierta distancia del edificio. Si B ve la azotea del edificio bajo un ángulo de 60º, y la cuerda mide 4 m, calcula a qué altura está A. 6º) Halla el área de un pentágono regular de lado 5 cm. 7º) Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm. de radio 8º) Desde la orilla de un río vemos la punta más alta de un árbol, situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 45º. Si retrocedemos 0 m, vemos el árbol bajo un ángulo de 30º. Calcula la altura del árbol. 9º) Desde un punto de la horizontal en el suelo, medimos el ángulo de elevación de la cumbre de una montaña: 53º. Caminando 33 m hacia la montaña, el ángulo de elevación se incrementa en º. Halla la altura de la montaña. 0º) ABC es un triángulo rectángulo en A. El segmento CD divide el ángulo C en dos ángulos de 0º y 8º respectivamente. Si DB 9m halla la longitud de AC. º) Desde lo alto de un acantilado de 350 m de altura se observa un barco con un ángulo de depresión de º (ángulo que forma la visual desde el acantilado hasta el barco, con la horizontal). Transcurridos 5 min, el mismo barco se observa bajo un ángulo de 9º. Calcula la velocidad del barco. 4/8 IBR IES LA NÍA

5 5. ÁNGULOS ORIENTADOS A partir de ahora consideraremos los ángulos como giros, y no como regiones del plano limitadas por dos semirrectas. Así, un ángulo puede dar lugar a cuatro ángulos distintos según el lado que se tome como origen y el tido del giro: Para repretar un ángulo orientado utilizaremos un sistema de coordenadas cartesianas, haciendo coincidir el lado origen con el semieje OX. La posición del lado extremo nos dirá a qué cuadrante pertenece el ángulo. Por ejemplo, el ángulo de 50º pertenece al segundo cuadrante. Al considerar los ángulos como giros, tiene tido hablar de ángulos mayores de 360º. Consideremos, por ejemplo, un ángulo 390º. Para girar 390º hemos de girar una vuelta completa (360º) y 30º más. Por tanto, la posición final y la repretación de un ángulo de 390º coincide con la del ángulo de 30º, aunque el giro es otro diferente. Decimos que 30º es el resultado de reducir al primer giro el ángulo de 390º. En general, para reducir un ángulo al primer giro, dividiremos entre 360º para saber cuántas vueltas completas contiene. El resto de la división nos da el ángulo equivalente del primer giro. º)Los ángulos positivos del primer cuadrante verifican la desigualdad 0 º < < 90º. Qué desigualdad verifican los ángulos positivos de los restantes cuadrantes? 3º)Indica a qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos: a) 85º e) 300º b) -05º f) -50º c) 60º d) 40º g) 350º h) -300º i) 385º j) 80º k) -740º 5/8 IBR IES LA NÍA

6 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA En un sistema de ejes cartesianos se considera una circunferencia con centro situado en el origen de coordenadas y de radio r. Dibujamos el ángulo, agudo, que corta a dicha circunferencia en el punto P(x,y). Sabemos que las razones trigonométricas del ángulo son: y, r x, r tg y x Pues bien, si es un ángulo cualquiera, de forma similar se definen las razones trigonométricas de : y, r x, r tg y x Con esta definición las razones trigonométricas pueden tener tanto signo positivo como negativo: er C ºC 3 er C 4ºC o + + coo + + tangente + + El valor de las razones trigonométrica de un ángulo no dependen del radio de la circunferencia. En particular si tomamos una circunferencia de radio (circunferencia goniométrica), el o y el coo coinciden con la ordenada y y con la abscisa x del punto P, respectivamente. Esto nos permite tener un segmento repretativo de valor del o y del coo de un ángulo cualquiera, y acotar su valor entre - y : 6/8 IBR IES LA NÍA

7 4º) Utiliza la circunferencia goniométrica para obtener los valores del o, coo y tangente de los ángulos que limitan los cuatro cuadrantes. 5º) Los puntos P(-,3), Q(-5,-) y R(3,-4) determinan los ángulos, β y δ con el eje OX, respectivamente. Calcula sus razones trigonométricas. 6º) Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante si. 7º) Sin utilizar la calculadora, obtén las restantes razones trigonométricas de en los siguientes casos: c. ctg 4, 4ºC a., ºC 3 d. ec, 5, 3 er C b. tg, 3 er e. C sec, 4ºC 7. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS a) Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios cuando suman 90º o π rad. Así, si es un ángulo cualquiera, su complementario es 90 º. Como se observa en la figura x' y' y x, luego (90º ) (90º ) b) Ángulos suplemetarios: Dos ángulos son suplementarios cuando suman 80º o π rad. Así, si es un ángulo cualquiera, su suplementario es 80 º. Podemos observar que ( 80º ) (80º ) c) Ángulos que difieren en 80º En la figura siguiente aparecen dos ángulos de medida y 80 º+ : Se observa en este caso que el o y coo de y ( 80º + ) 80 º+ son opuestos: (80º + ) 7/8 IBR IES LA NÍA

8 d) Ángulos opuestos Podemos considerar opuesto de tanto al ángulo como al ángulo. 360 º, De la figura se deduce que: ( 360º ) ( ) (360º ) ( ) 8º) Calcula, usando un ángulo del primer cuadrante, las razones trigonométricas de los ángulos siguientes: 35º, 0º, 40º, 300º, 35º, -30º, -45º, 945º, -5º. 9º) Si tg y 0<<90º, halla las razones trigonométricas de 360º, 80º y 80º+. 30º) Utilizando como único dato que 73º0 9563, obtén razonadamente las RT de 07º, 53º, -73º y 77º. 3º) Calcula todos los ángulos del primer giro que cumplan: a. x b. x c. tgx 3º) Qué otro ángulo cumple la igualdad? a. x 48º b. x - 6º c. tg x tg 70º d. sec x sec 84º e. ctg x -ctg 307º 33º)Justifica las siguientes identidades: + tg a) + sec b) tg + ctg sec ec c) sec + ec sec ec d) ctg 3 + e) ctg º) Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) x x b) 4 x ecx c) x x x d. sec x e. ctgx 3 f. x g. x 0 f) ctg + ctg g) + tg tg ec h) + ctg i) sec tg ec d) 3tg x + tgx e) tgx + ctgx f) tg x + ec x 3 g) ctg x ecx sec ec 8/8 IBR IES LA NÍA