Trigonometría. 1. Ángulos

Transcripción

1 Trigonometría Ángulos Hasta ahora se han considerado los ángulos como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común De esta manera, la medida de un ángulo está comprendida entre 0 y 360 grados En este capítulo, un ángulo va a ser también considerado como la medida de un giro Así, los ángulos podrán ser mayores de una vuelta (360 o ) y podrán tener dos sentidos: contrario al movimiento del reloj al que asignaremos signo positivo, o según el movimiento del reloj al que asignaremos ángulos negativos Y r O l X Representaremos los ángulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tomando como origen de ángulos el eje OX Además de los grados sexagesimales, utilizaremos como unidad para medir ángulos el radián La medida de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco dividida por el radio: longitud del arco radio l r Como el arco de circunferencia correspondiente a una vuelta mide πr, el ángulo correspondiente (360 o ) mide πr/r π radianes El ángulo llano (80 o ) mide π radianes y el ángulo recto π/ Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/80 y para pasar de radianes a grados por el inverso de este número 80/π Un radián es aproximadamente 57,958 o Algunos cálculos se simplifican utilizando el radián como medida de ángulos Por ejemplo la longitud de un arco de circunferencia es l r y el área de un sector circular es S r Ángulos inscritos en una circunferencia Se llaman así los ángulos que tienen su vértice sobre una circunferencia y sus lados son secantes de ella Los ángulos inscritos tienen las siguientes propiedades: El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos

2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Razones trigonométricas de ángulos agudos En un triángulo rectángulo, llamemos a a la hipotenusa y b y c a los catetos; A será el ángulo recto y B y C los ángulos agudos tal como se representa en la figura: B es el ángulo opuesto al cateto b y C es el ángulo opuesto al cateto c a B c C b A Entre los elementos del triángulo se cumple una relación entre los lados, el teorema de Pitágoras: a b + c y una relación entre los ángulos: B + C 90 o (B y C complementarios) Vamos a definir unas funciones que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo Estas funciones son las siguientes: sen B cos B tg B cateto opuesto hipotenusa cateto contiguo hipotenusa b a c a cateto opuesto cateto contiguo b c Para el ángulo C, estas funciones serían: sen C c a cos C b a tg C c b Las recíprocas de estas funciones se llaman cosecante, secante y cotangente: cosec B sen B sec B cos B cotg B tg B Cuando se utilizan para resolver triángulos rectángulos, las fórmulas anteriores pueden recordarse de esta manera: { seno del ángulo opuesto un cateto hipotenusa coseno del ángulo comprendido { tangente del ángulo opuesto (al un cateto otro cateto o ) cotangente del ángulo comprendido (por el o ) 3 La escuadra y el cartabón La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles Sus ángulos agudos son ambos iguales a 45 El cartabón es un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos son iguales a 30 y 60

3 4 ÁNGULOS CUALESQUIERA 3 La escuadra puede considerarse como el triángulo rectángulo que se forma cuando un cuadrado se divide en dos triángulos mediante la diagonal El cartabón es el triángulo resultante de dividir un triángulo equilátero en dos partes iguales mediante una altura Las proporciones entre las longitudes de los lados de estos triángulos aparecen reflejadas en la figura adjunta De la figura se deducen los siguientes valores para las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y seno coseno tangente Ángulos cualesquiera Y O r x y E(x, y) X Representemos el ángulo sobre una circunferencia centrada en el origen y tomemos el eje de abscisas como origen de ángulos A cada ángulo le corresponde un punto de la circunferencia de coordenadas E(x, y) (extremo del arco) Las razones trigonométricas de se definen a partir de las coordenadas de

4 4 ÁNGULOS CUALESQUIERA 4 este punto: sen ordenada de E radio y abscisa de E ; cos r radio x ordenada de E ; tg r abscisa de E Si el radio de la circunferencia es igual a, el seno es la ordenada y el coseno la abscisa del extremo del arco y x (0,) r (,0) O (,0) + + (0, ) Puesto que el seno, coseno y tangente se han definido a partir de las coordenadas de un punto, pueden ser positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto En la figura se han representado los signos de las tres funciones en cada cuadrante Los puntos de corte de la circunferencia con los ejes de coordenadas se corresponden con los ángulos de 0 o (o 360 o ), 90 o, 80 o y 70 o La abscisa y la ordenada de estos puntos cuando la circunferencia tiene radio son, respectivamente el coseno y el seno de esos ángulos Estos valores se han señalado también en la figura Conocida una de las razones trigonométricas de un ángulo, pueden calcularse las demás (salvo el signo) por medio de las siguientes relaciones: tg x sen x cos x sen x cos x y r x r y x tg x sen x + cos x sen x + cos x y r + x r x + y r r r + tg x cos x Se obtiene de la igualdad anterior dividiendo por cos x + cotg x sen x Igual que la anterior pero dividiendo por sen x La primera de las fórmulas relaciona las tres funciones de modo que conocidas dos de ellas puede calcularse la tercera Las siguientes relacionan seno con coseno, coseno con tangente y seno con cotangente

5 5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 5 5 Resolución de triángulos c h a b B a C A Un triángulo tiene tres lados a, b y c, y tres ángulos A, B y C Conocidos tres de estos elementos que no sean los ángulos, pueden calcularse los otros tres Para ello son útiles los siguientes teoremas: Teorema (Teorema del seno) En un triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: a sen A b sen B c sen C La constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo Demostración En la figura anterior, la altura h a divide el triángulo ABC en dos triángulos rectángulos De aquí que: h a b sen C c sen B b sen B c sen C También puede demostrarse el teorema del seno a partir de la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia: Figura : Seno de un ángulo inscrito y teorema del seno Sea el ángulo α inscrito en una circunferencia que abarca un arco con una cuerda c Construimos otro ángulo sobre el mismo arco en el que uno de sus lados es un diámetro de la circunferencia Este ángulo también valdrá α puesto que está inscrito con el mismo arco que el anterior Pero, dado que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, el triángulo A BC es rectángulo y sen α c R

6 5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 6 es decir, el seno de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual al cociente de la cuerda y el diámetro A partir del resultado anterior deducimos: sen A a R sen B b R sen C c R R a sen A b sen B c sen C es decir, los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos y la razón de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo c h a n m A b C Teorema (Teorema del coseno) Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman: a b + c bc cos A b a + c ac cos B c a + b ab cos C El teorema del coseno permite calcular también los ángulos cuando se conocen los lados: B cos A b + c a bc cos B a + c b ac cos C a + b c ab Demostración De la figura se deduce: a m + h (b n) + h b + n bn + h (y puesto que n + h c ) b + c bn (y como n c cos A) b + c bc cos A Área de un triángulo El área de un triángulo es igual a la mitad de la base por la altura Como base se puede tomar cualquiera de los lados de forma que: S a ha Como h a b sen C resulta: S a b sen C es decir, el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman Si se conocen los tres lados, puede calcularse el área por la fórmula de Herón: S p(p a)(p b)(p c) p semiperímetro

7 6 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 7 6 Reducción al primer cuadrante Por la simetría de la circunferencia, basta conocer las razones trigonométricas de los ángulos del primer cuadrante para poder calcular las de todos los ángulos Las fórmulas que relacionan las razones trigonométricas de cualquier ángulo con los del primer cuadrante son las siguientes: Ángulos que difieren en un número entero de vueltas 360 o + sen(360 o k + ) sen cos(360 o k + ) cos tg(360 o k + ) tg Ángulos negativos E(x, y) sen( ) sen cos( ) cos tg( ) tg Ángulos suplementarios E( x,y) 80 o sen(80 o ) sen cos(80 o ) cos tg(80 o ) tg

8 7 SUMA DE ÁNGULOS 8 Ángulos que difieren en 80 o E( x, y) 80 o + sen(80 o + ) sen cos(80 o + ) cos tg(80 o + ) tg Ángulos que suman 360 o E(x, y) 360 o sen(360 o ) sen cos(360 o ) cos tg(360 o ) tg Ángulos complementarios E(y,x) 90o sen(90 o ) cos cos(90 o ) sen tg(90 o ) cotg 7 Suma de ángulos Las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos α y β se relacionan con las razones trigonométricas de los sumandos por las siguientes fórmulas: sen(α + β) sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) cos α cos β sen α sen β tg(α + β) tg α + tg β tg α tg β

9 7 SUMA DE ÁNGULOS 9 Figura : Seno y coseno de la suma de ángulos Demostración De la figura (ver Figura ) se deduce que: sen(α + β) AE AB + BE sen α cos β + cos α sen β De la misma forma se obtiene: cos(α + β) OA OA AA cos α cos β sen α sen β La fórmula de la tangente se obtiene el seno entre el coseno: tg(α + β) sen(α + β) cos(α + β) sen α cos β cos α sen β + cos α cos β cos α cos β cos α cos β sen α sen β cos α cos β cos α cos β sen α cos β + cos α sen β cos α cos β sen α sen β tg α + tg β tg α tg β Las fórmulas para la diferencia de ángulos podemos obtenerlas sustituyendo en las fórmulas de la suma β por β: sen(α β) sen [α + ( β)] y de forma similar: sen α cos( β) + cos α sen( β) sen α cos β + cos α sen β cos(α β) cos α cos β + sen α sen β tg(α β) tg α tg β + tg α tg β

10 8 ÁNGULO DOBLE Y ÁNGULO MITAD 0 8 Ángulo doble y ángulo mitad Si en las fórmulas de la suma se hace β α resulta para el ángulo doble: sen α sen α cos α cos α cos α sen α tg α tg α tg α A partir de estas fórmulas podemos deducir otras para el ángulo mitadpuesto que: cos α + sen α cos α sen α cos α Sumado y restando estas dos ecuaciones resulta: cos α + cos α ; sen cos α α Estas fórmulas se utilizarán posteriormente en el tema de cálculo integral Haciendo el cambio α A (y por tanto α A) obtenemos las siguientes fórmulas para el ángulo mitad: sen A cos A cos A + cos A tg A cos A cos A Las raíces deberán tomarse con signo más o menos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ángulo mitad 9 Fórmulas de transformación en producto Sumando y restando las fórmulas de la suma y de la diferencia de ángulos se obtiene: } { sen(α + β) sen α cos β + cos α sen β sen(α + β) + sen(α β) sen α cos β sen(α β) sen α cos β cos α sen β sen(α + β) sen(α β) cos α sen β Y de la misma forma: cos(α + β) cos α cos β sen α sen β cos(α β) cos α cos β + cos α cos β } { cos(α + β) + cos(α β) cos α cos β cos(α + β) cos(α β) sen α sen β llamando α + β A y α β B, estas fórmulas se pueden escribir: sen A + sen B sen A + B cos A + cos B cos A + B 0 La fórmula de Herón cos A B cos A B sen A sen B cos A + B cos A cos B sen A + B sen A B sen A B Anteriormente ya vimos la fórmula de Herón que da el área de un triángulo cuando se conocen los tres lados: S p(p a)(p b)(p c); p a + b + c Ahora demostraremos esta fórmula Hemos visto que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido: S bc sen A

11 0 LA FÓRMULA DE HERÓN Por otra parte, por el teorema del coseno sabemos que: cos A b + c a bc La demostración se basa en obtener el seno de A de la segunda de estas fórmulas para sustituirlo en la primera: + cos A + b + c a bc b + c + bc a bc (b + c) a bc Como hemos llamado p al semiperímetro tenemos que b + c + a p y además: b + c a b + c + a a p a (p a) con lo que tenemos que + cos A (b + c + a)(b + c a) bc De la misma forma obtenemos para cos A: cos A b + c a bc p (p a) bc a b c + bc bc En función de semiperímetro esto se puede escribir como: cos A (a + b c)(a b + c) bc Ya podemos obtener el seno de A: con lo que: sen A ( + cos A)( cos A) (p c) (p b) bc p(p a) bc p(p a) bc a (b c) bc (p b)(p c) bc (p b)(p c) bc (b + c + a)(b + c a) bc (a + b c)(a b + c) bc 4p(p a)(p b)(p c) b c () () sen A bc p(p a)(p b)(p c) y sustituyendo en la fórmula del área: S bc sen A bc p(p a)(p b)(p c) p(p a)(p b)(p c) bc De las fórmulas y y teniendo en cuenta que: tg A cos A + cos A se obtienen las siguientes fórmulas para los ángulos de un triángulo cuando se conocen los lados: tg A p(p a) (p b)(p c) ; tg B p(p b) (p a)(p c) ; tg C p(p c) (p a)(p b) que se conocen como fórmulas de Briggs