Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:

Transcripción

1 MATEMÁTICAS 4º ESO EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA RESUELTO EXAMEN RESUELTO Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 740º Como el ángulo es maor que lo tratamos del siguiente modo: vueltas + 00º 00 4 El ángulo de 00º está en el 4º cuadrante es equivalente a un ángulo de para el que el seno es negativo el coseno es positivo, tal como indica la figura adjunta: Entonces: = = s ec 750 = = cos 60 cos ec( 750) cot g ( 750) b) -840º 00º cos 60 -sen 60 = = tg 60 sen ( 750) sen ( 00) sen ( 60) = = = = = = tg 750 = = cos 60 cos( 750) cos( 00) cos( 60) Como el ángulo es maor que lo tratamos del siguiente modo: vueltas 0º 0 El ángulo de -0º está en el tercer cuadrante es equivalente a un ángulo de para el que el seno el coseno son negativos, tal como indica la figura adjunta:

2 Matemáticas 4º ESO Examen resuelto de trigonometría Entonces: - cos 60 -sen 60-0º = = s ec 750 = = cos 60 cos ec( 750) cot g ( 750) = = tg 60 = = = cos 840 = cos 0 = cos 60 = tg 840 = = cos 60 sen ( 840) sen ( 0) sen ( 60) Sabiendo que cosα= que α está en el 4º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo senα es negativo El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la trigonometría: senα+ cos α= Así: senα+ cos α= senα+ sen = α= = 4 El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata: senα tg α= = = ; cotgα= = ; cosα tgα secα= = ; co secα= = cosα senα Deduce las dos igualdades siguientes utilizando la fórmula fundamental de la trigonometría a) + tg x = sec x sen x cos x sen x + cos x = + = tg x + = sec x cos x cos x cos x b) + cotg x = cos ec x sen x cos x sen x + cos x = + = + co tg x = cos ec x sen x sen x sen x

3 Examen resuelto de trigonometría Matemáticas 4º ESO 4 Demuestra que se cumple la siguiente igualdad: sen( α) tg( α ) cot g( α ) = cos sen α + α + cot g ( α) sec( α) cos ec( α) Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: sen( α) sen( α) sen( α) A= tg( α ) cot g( α ) = tg( α ) = = tg + cot g α α + cos ( α) + t g ( α) sen ( α) sen( α) sen( α) = = = sen ( α) sen ( α ) + cos ( α) sen ( α) sen ( α) Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B: B= cos sen cos sen cos sen α + α = α + α α α = sec( α) cos ec( α) = cos ( α ) sen ( α ) = sen ( α ) sen ( α ) = sen ( α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta 5 Calcula x e 0º 00 cm Tenemos dos triángulos rectángulos De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica tg0= 00 0º 00 m x x+ tg60= m Resolvemos el sistema: x+

4 Matemáticas 4º ESO Examen resuelto de trigonometría = m = x = x = m x+ x 00 = + = Calcula el valor de de este triángulo no rectángulo (las longitudes están expresadas en cm) 45º Aplicamos el teorema del coseno: = x + z x z cosa, en donde hemos denotado por x al lado de 0 cm por z al lado de cm 0 = = 4 0 = 7,4 m Entonces: = cos 45 7 Resuelve el siguiente triángulo: A = 80º ; B = 0º ; a = 6 cm Dibujamos un triángulo auxiliar para la resolución del problema C Valor de C : b C = 80 A B + = 80 ( ) = 70 Valor del lado c: Valor del lado b: Aplicamos el teorema del seno para obtenerlo: a b 6 b = = sena senb sen80 sen0 b= 6 =, cm,97 Aplicamos el teorema del coseno de forma conveniente para hallar el lado que nos interesa, la cuál es la siguiente: c = a + b a b cosc Despejamos c sustituimos datos: A a c B c = a + b a b cos C = 6 +, 6, cos70 = 4,8 cm

5 Trigonometría 4º ESO Ejercicio nº - a) Calcula x e en el triángulo: b) Halla el seno, el coseno la tangente de los ángulos α β a) x 8,54 cm = 4 cm b) 4 4 sen α = = 0,8 cos α = = 0,6 tg α = =, sen β = 0,5 cos β = 0,94 tg β = 0,75 8,54 8,54 8 Ejercicio nº - 4 Calcula sen α cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la tg α = 4/5 /5 respectivamente Ejercicio nº - De un ángulo agudo, Halla cos α tg α α, conocemos que sen α = 5 4/5 /4 respectivamente Ejercicio nº 4- Si cos α = 70 < α < 60, calcula sen α tg α sen α = - 7 tg α = - 4 Ejercicio nº 5- Calcula sen α cos α sabiendo que la tg α = 5 α º cuadrante La solución es: 6 0 cos α = sen α = 6 6 Ejercicio nº 6- Si sen α = 5 90 < α < 80, Cuánto valen cos α tg α? -/ - 5 / respectivamente

6 Ejercicio nº 7- De un ángulo α sabemos que la tg α = 4 que 80 < α < 70 Calcula sen α cos α -/5-4/5 respectivamente Ejercicio nº 8- Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 5, calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 5 con uno del primer cuadrante sen 5 = sen 45 sen 5 = cos 5 = cos 45 cos 5 = tg 5 = tg 45 tg 5 = Ejercicio nº 9- Calcula las razones trigonométricas de 40 dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica Ejercicio nº 0- Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 5 calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante Ejercicio nº - Expresa, con valores comprendidos entre 0 60, el ángulo de 0 Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante Ejercicio nº - Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60 A qué distancia de la casa cae el cable? La altura de la casa es de 7,79 m El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa

7 Ejercicio nº - Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol obtiene 5 ; retrocede 5 m mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 5 Calcula la altura del árbol la anchura de río La altura del árbol es de 7,5 m, la anchura del río, de 0, m Ejercicio nº 4- Un tronco de 6, m está apoado en una pared forma con el suelo un ángulo de 55 a) A qué altura de la pared se encuentra apoado? b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared a) El tronco se encuentra apoado en la pared a 5,08 m del suelo b) La distancia entre el extremo inferior del tronco la pared es de,5 m Ejercicio nº 5- La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40 Calcula el perímetro el área del triángulo Perímetro = 5,4 cm 64 88,47 Área = = 8,04 cm Ejercicio nº 6- Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 8 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 0 La altura de la antena es de 0,9 m Ejercicio nº 7- Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago resulta ser de 50 ; nos alejamos 45 dm volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 5 Averigua la altura de la estatua la superficie del lago La altura de la estatua es de 7,65 m La superficie del lago es de 9,78 m Ejercicio nº 8- El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40 Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 5 m de altura La sombra del árbol mide 7,86 m Ejercicio nº 9- El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68 La granja A está a 0 m de ese punto, la granja B, a 45 m A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? La distancia entre ambas granjas es de 40, m