Trigonometría. 1. Ángulos:

Transcripción

1 Trigonometría. Ángulos: - Ángulos en posición estándar: se ubican en un sistema de coordenadas XY. El vértice será el origen (0,0) y el lado inicial coincide con el eje X positivo. - Ángulos positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a la manecillas del reloj. - Ángulos negativos: el lado terminal gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

2 - Ángulos cuadrantales: si el lado terminal del ángulo coincide con un eje coordenado, el ángulo se llama Ángulo Cuadrantal. - Ángulos de referencia: para un ángulo en posición estándar, el ángulo de referencia α es el ángulo formado por el lado terminal de y el eje X. El ángulo de referencia siempre es agudo y positivo.

3 - Ángulos Coterminales: son los ángulos en posición estándar que tiene el mismo lado terminal, es decir, tienen el mismo ángulo de referencia. Por ejemplo: 0 y -0 son coterminales. Cómo determinar si dos ángulos son coterminales? Sean α β los dos ángulos:. Calculo el valor absoluto de cada uno: α β.. Determino cuál de los valores absolutos es mayor, supongamos que β α.. Divido el mayor entre el menor de los valores absolutos, en este caso: β α.. Si el resultado del punto es entero entonces los ángulos, α β son coterminales, de lo contrario no. - Ángulos de elevación y de depresión:

4 - Medida en radianes: un ángulo central de un círculo mide radián cuando subtiende un arco de longitud igual al radio. Notas: α Una rotación completa (60 ) equivale a radianes. Media rotación (80 ) equivale a radianes. Un cuarto de rotación (90 ) equivale a radianes. Para determinar si dos ángulos dados en radianes son coterminales sigo el mismo procedimiento como si estuvieran dados en grados. Fórmulas de conversión: - De grados a radianes multiplica el ángulo por 80 - De radianes a grados multiplica el ángulo por 80

5 . Trigonometría del triángulo rectángulo: sen seno cos coseno tan tangente csc cosecante sec secante cot cotangente Las razones trigonométricas dependen del ángulo: senα cateto opuesto hipotenusa cosα cateto adyacente hipotenusa tanα cateto opuesto cateto adyacente cscα hipotenusa cateto opuesto secα hipotenusa cateto adyacente cotα cateto adyacente cateto opuesto b sen α a a csc α b c cos α a b tan α c a sec α c cot α c b * Análogamente para β.

6 Note que: csc α senα sec α cos α tan α cot α - Triángulos especiales: 6 Note que 0 equivale a 6, 60 equivale a y 5 equivale a. Ángulo sen cos tan csc sec cot 6. Funciones trigonométricas: Sea un ángulo en posición estándar y sea P(x,y) un punto en el lado terminal de.

7 La distancia r es la distancia entre (0,0) y el punto P. r + x y (Pitágoras) El ángulo α dentro del triángulo es el ángulo de referencia para el ángulo. El valor de cualquier función trigonométrica para es igual (en valor absoluto) al valor de esa función para el ángulo de referencia α, es decir: sen senα Lo mismo para las otras funciones trigonométricas. Las seis funciones para se definen así: (se obtienen del triángulo con el ángulo de referencia): sen cos tan y r x r y x csc sec cot r y r x x y - Signo de las funciones trigonométricas:

8 Cuadrante I II III IV Funciones Positivas Todas seno y cosecante tangente y cotangente coseno y secante Indica el cuadrante en que las funciones trigonométricas son positivas, por ejemplo el seno y la cosecante son positivas en el I y II cuadrante en los demás son negativas. - Proceso para encontrar el valor de una función trigonométrica de un ángulo :. Ubicar el cuadrante donde queda el lado terminal de.. Encontrar el ángulo de referencia α.. Formar un triángulo rectángulo con el eje X que contenga a α.. Determinar la función trigonométrica para α. 5. Determinar el signo resultante de la función trigonométrica según el cuadrante donde quedó el lado terminal. Ejemplos:. Hallar el valor de tan Se ubica 00 en el sistema de coordenadas.

9 - Se dibuja el triángulo con el ángulo de referencia, que en este caso es de En el triángulo de se determina el valor de la tangente. tan 60 - Luego se asigna el signo respectivo según el cuadrante. tan Hallar el valor de cos. - Se ubica 9 en el sistema de coordenadas.

10 - Se dibuja el ángulo de referencia. 9 - En el triángulo se determina el valor del coseno. cos - Luego se asigna el signo respectivo según el cuadrante. 9 cos

11 - Valores en los ángulo cuadrantales: Para hallar los valores de las Funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales es útil el Círculo Trigonométrico, un círculo con centro en (0,0) y radio. En el Círculo Trigonométrico, se puede construir con el ángulo de referencia para cualquier ángulo, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa siempre será, así se obtiene que: sin cos tan csc sec cot y x y x y x x y Note que para cualquier punto P en el Círculo Trigonométrico, P(x,y) equivale a P( cos, sen ). Para determinar el valor de las funciones seno y coseno es un ángulo cuadrantal se procede así:

12 . Se ubica el eje que corresponde al lado final del ángulo.. Identifica el punto que corresponde al Círculo Trigonométrico.. En ese punto, el valor de coseno corresponde al valor de la X y el valor del seno corresponde al valor de la Y. Ángulo Punto en el Círculo sen cos tan csc sec cot Trigonométrico 0 (,0) 0 Indefinida Indefinida 0 (0,) 0 0 Indefinida Indefinida (-,0) 0 - Indefinida Indefinida - 0 (0,-) Indefinida Indefinida (,0) 0 Indefinida Indefinida 0. Identidades Trigonométricas:. Identidades Recíprocas: cos cot tan sen csc sen sec cos. Identidades Pitagóricas: a. sen + cos sen cos cos sen b. Se divide sen + cos por cos : sen cos + cos cos cos tan + sec tan sec sec tan

13 c. Se divide sen + cos por sen : sen cos + sen sen sen + cot csc csc cot cot csc. Identidades de Ángulos Complementarios: sen cos cos sen tan cot cot tan csc sec sec csc * Nota: recuerde que 90 por lo que las identidades anteriores funcionan igual si en lugar de estuviera 90.. Identidades del Ángulo Negativo: sen csc ( ) sen ( ) csc 5. Identidades Periódicas: ( ± ) sen ( ± ) csc sen csc Notas: ( ) cos ( ) sec cos sec ( ± ) cos ( ± ) sec cos sec tan cot ( ) tan ( ) cot ( ± ) tan ( ± ) cot tan cot - Para comprobar una identidad trigonométrica puede salir de cualquier lado de la igual (izquierdo o derecho) según conveniencia y facilidad. - Primero se utilizan las identidades recíprocas para expresar todo en términos de sen y cos. - Para efectuar operaciones con fracciones primero se saca el común denominador y luego se simplifica.

14 Ejemplos: tan. Compruebe la identidad sec cos sec En este caso empezaremos por el lado izquierdo. sec sen tan cos sec cos cos sen cos cos cos sen cos cos sen cos cos cos cos. Simplificar + senx cos x +. cos x + senx + senx cos x + cos x + senx ( + senx) + cos cos x( + senx) + senx + sen x + cos cos x( + senx) + senx + cos x( + senx) + senx cos x( + senx) ( + senx) cos x( + senx) cos x sec x x x 5. Ecuaciones Trigonométricas: Las soluciones de una ecuación trigonométrica se buscan en el intervalo [ [, 0. Proceso a seguir:

15 - Igualar a cero y factorizar. - Despejar cada función trigonométrica. - Encontrar el ángulo de referencia utilizando la función inversa (en la calculadora). - Ubicarse en los cuadrantes según el signo resultante de cada función. - Dibujar el triángulo rectángulo con el ángulo de referencia. - Determinar los ángulos solución en posición estándar. *Los ángulos solución siempre se van a dar en radianes. Ejemplos:. Resolver la ecuación sen + cos 0 - Igualar a cero y factorizar: - Despejar cada función trigonométrica: cos (sen + ) 0 cos 0 () sen + 0 sen () Note que si una función trigonométrica, seno o coseno, esta igualada a soluciones van a ser ángulos cuadrantales. - Buscamos los cuadrantes donde cos da cero: 0,, las

16 - Despejamos en sen, para saber cual es el ángulo de referencia de sen : sen sen 6 - Note que sen 0 por lo que el lado terminal de estará en el III o IV cuadrante. - Colocamos los ángulos de referencia en el sistema de coordenadas y dibujamos el triángulo rectángulo: - Finalmente: S 7,,, 6 6. Resolver la ecuación ( tan + )( cos ) 0. - Note que ya esta factorizada e igualada a cero.

17 - Igualo cada factor a cero y despejo cada función trigonométrica: 0 tan + tan Se ubica en los cuadrantes II y IV. Ángulo de referencia: ( ) tan cos cos Se ubica en los cuadrantes II y III. cos cos Ángulo de referencia: 6 cos , 6, 7, S

18 6. Ley de senos y cosenos: Ley de senos: Se utiliza en cualquier tipo de triángulo. a senα b senβ c senδ Ley de cosenos: Se utiliza para cualquier tipo de triángulo. a b c b a a + c + c + b bc cosα ac cos β ab cos δ 7. Gráficas de las funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, se su comportamiento se repiten cada cierto intervalo. f ( x) senx

19 Características: - Dominio: R - Rango: [, ] senx - Intersecciones con el eje X:...,(,0), ( 0,0),(,0),... en general: {( k,0) / k Z} - Intersección con el eje Y: ( 0,0) - Período: f ( x) cos x Características: - Dominio: R, cos x - Rango: [ ]

20 ..., ( k + ),0 / k Z,0 - Intersecciones con el eje X:,0,( 0,0),,0,... - Intersección con el eje Y: ( ) - Período: f ( x) tan x en general: Características: - Dominio: - Rango: R R...,,0,,... en general: ( k ) R, k Z - Intersecciones con el eje X:...,(,0), ( 0,0),(,0),... {( k,0)/ k Z} - Intersección con el eje Y: ( 0,0) - Período: en general: