Trigonometría. 1. Ángulos referidos a un sistema de coordenadas. Edward Parra Salazar Ángulos Medida de ángulos en radianes

Transcripción

1 Trigonometría Edward Parra Salazar En noveno año, la trigonometría que se estudia está basada principalmente en el triángulo rectángulo. A diferencia de la trigonometría estudiada en el último año de la Educación Diversificada, donde se hace un estudio más analítico y de mayor profundidad de los ángulos. 1. Ángulos referidos a un sistema de coordenadas 1.1. Ángulos Cualquier ángulo tiene un lado inicial y un lado terminal. Si tomamos, por ejemplo, el ABC, el lado inicial es BA y el lado terminal es BC, mientras que si consideramos CBA, la orientación cambia: el lado inicial es BC y el lado terminal es BA Figura 1: Ángulo 1.2. Medida de ángulos en radianes La medida de los ángulos puede realizarse con diferentes unidades. Así por ejemplo puede realizarse usando grados, radianes y gradianes. El más utilizado en la matemática superior es el radián. Definición 1.1 Un radián es la medida del ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual que el radio en una circunferencia cualquiera. Observaciones Cuando un ángulo está medido en radianes, su medida se representa solamente por un número real y no escribiremos ninguna otra unidad. Para convertir de grados a radianes se multiplica por π 180. Para convertir de radianes a grados se multiplica por 180 π. Ejemplo 1.1 Convierta las medidas de cada uno de los siguientes ángulos de grados a radianes, o viceversa. 1

2 1 ÁNGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS 2 Figura 2: Radián = 60 π 180 = 60π 180 = π 5π 1.. Ángulos en posición estándar 5π = 5π 180 π = 900 = 00 A partir de ahora, referiremos los ángulos a un sistema de coordenadas, colocando el vértice sobre el punto (0, 0). Figura : Ángulos en posición estándar Definición 1.2 Un ángulo está en posición estándar si su lado inicial coincide con el semieje x positivo. Observaciones Un ángulo en posición estándar es positivo si su orientación es en contra de las manecillas del reloj. Un ángulo en posición estándar es negativo si su orientación es a favor de las manecillas del reloj Ángulos cuadrantales Definición 1. Un ángulo en posición estándar es cuadrantal, si su lado terminal coincide con algún semieje. La medida de un ángulo cuadrantal es siempre un múltiplo de 90 o de π 2 si está en radianes.

3 1 ÁNGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS Ejemplo 1.2 Para los ángulos en posición estándar con las siguientes medidas, determine si es cuadrantal. 2π 4 no es entero, y el ángulo no es cuadrantal. Dividiendo, 2π π 2 = 2π 2 π = 4 12π Como 12π π 2 = 12π 2 π = es entero, entonces la medida de este ángulo es un múltiplo de π 2, lo que quiere decir que es un ángulo cuadrantal Ángulos coterminales Definición 1.4 Dos ángulos son coterminales si están en posición estándar y sus lados terminales coinciden. Observaciones Si α y β son coterminales, entonces α β es un múltiplo de 60 o 2π radianes Ángulos de referencia Los ángulos cuya medida no está entre 0 y π 2 relaciones más adelante. tienen un ángulo de referencia que permitirá establecer Definición 1.5 Para un ángulo α no cuadrantal en posición estándar, se define el ángulo de referencia θ como el ángulo que se forma entre el lado terminal de α y el eje x. Ejemplo 1. Para los ángulos con las siguientes medidas encuentre la medida del ángulo de referencia. La idea es primero encontrar el cuadrante al que pertenece el ángulo y luego, determinar la medida del ángulo de referencia. 8π 7. Podemos ver que el ángulo 8π está en el tercer cuadrante, lo que quiere decir que el ángulo da 7 media vuelta, y le sobra un ángulo cuya medida es θ = 8π 7 π θ = π. Observe que es un ángulo 7 agudo que se forma entre el lado terminal del ángulo y el eje x, así que está es la medida del ángulo de referencia Repaso de las razones trigonométricas Definición 1.6 Razones Trigonométricas Sea α un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. sin α = cos α = tan α = cateto opuesto a α hipotenusa cateto adyacente a α hipotenusa y se lee seno de alfa. y se lee coseno de alfa. cateto opuesto a α y se lee tangente de alfa. cateto adyacente a α

4 1 ÁNGULOS REFERIDOS A UN SISTEMA DE COORDENADAS 4 Figura 4: Triángulo rectángulo De acuerdo con la figura 4, se tiene que sin α = a c, cos α = b c tan α = a b Definición 1.7 Sea α un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. csc α = sec α = cot α = hipotenusa y se lee cosecante de alfa. cateto opuesto a α hipotenusa y se lee secante de alfa. cateto adyacente a α cateto adyacente y se lee cotangente de alfa. cateto opuesto a α De aquí podemos deducir las relaciones recíprocas siguientes: csc α = 1 sin α, sec α = 1 cos α Ejemplo 1.4 Encuentre el valor numérico de tan 0. cot α = 1 tan α Figura 5: Triángulo especial semi equilátero Utilizando el triángulo especial semi equilátero. Entonces, y racionalizando tenemos: tan 0 = tan 0 = l l = 1

5 2. La circunferencia trigonométrica 2 LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 5 Las definiciones de las razones trigonométricas trabajadas en la sección anterior, pierden su validez cuando se trabajan con ángulos que no son agudos. Para poder extender los conceptos trigonométricos se debe considerar lo siguiente: en el plano cartesiano, la circunferencia trigonométrica es la circunferencia con el centro en el origen y radio uno. Figura 6: Circunferencia Trigonométrica Sabemos que sin α = Entonces, y = sin α. De igual modo, cos α = cateto opuesto a α hipotenusa cateto adyacente a α hipotenusa = y = y, ya que la hipotenusa es el radio de la circunferencia. 1 = x 1 = x. Así que x = cos α 2.1. Seno y Coseno de ángulos en posición estándar Definición 2.1 Seno y coseno. El seno de un ángulo en posición estándar es la coordenada y de la intersección del lado terminal del ángulo con la circunferencia trigonométrica. El coseno de un ángulo en posición estándar es la coordenada x de la intersección del lado terminal del ángulo con la circunferencia trigonométrica. En la figura 7, cos x = a y sin x = b Figura 7: Seno y coseno Observaciones Si α y β son ángulos en posición estándar coterminales entonces sin α = sin β y cos α = cos β

6 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 6 Si θ es el ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar α, entonces sin α = ± sin θ y cos α = ± cos θ 2.2. Tangente, cotangente, secante y cosecante tan α = y x, cot α = x y sec α = 1 x csc α = 1 y Los signos de las razones trigonométricas dependiendo del cuadrante al que pertenece el lado terminal de un ángulo es: En el primer cuadrante todos son positivos. En el segundo es positivo solo el seno (cosecante). En el tercer cuadrante es positiva solo la tangente (cotangente). En el cuarto cuadrante es positivo solo el coseno (secante).. Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo en el que se esté bien definida..1. Identidades básicas Si tan x o cot x están bien definidas, entonces tan x = sin x cos x identidades básicas. cos x y cot x =. Estas son llamadas las sin x.2. Identidades recíprocas Para cualquier ángulo de medida x en el que se estén bien definidas las expresiones, se cumple: csc x = 1 sin x, sec x = 1 cos x cot x = 1 tan x, tan x = 1 cot x cos x = 1 sec x, sin x = 1 csc x.. Identidades de ángulos complementarios Para cualquier ángulo con medida x en el que estén bien definidas las expresiones, se cumple: ( π ) ( π ) ( π ) sin 2 x = cos x, cos 2 x = sin x, tan 2 x = cot x ( π ) ( π ) ( π ) cot 2 x = tan x, sec 2 x = csc x, csc 2 x = sec x

7 4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 7.4. Identidades con ángulos coterminales Para cualquier ángulo de medida x en radianes, en que se estén bien definidas las expresiones, se cumple: sin (x + 2kπ) = sin x, cos (x + 2kπ) = cos x, tan (x + 2kπ) = tan x k Z cot (x + 2kπ) = cot x, sec (x + 2kπ) = sec x, csc (x + 2kπ) = csc x k Z.5. Identidades pitagóricas Para cualquier valor de x en el que estén definidas las expresiones, se cumple: sin 2 x + cos 2 x = 1, 1 + cot 2 x = csc 2 x, tan 2 x + 1 = sec 2 x.6. Identidades de ángulos negativos Para cualquier valor de x en el que estén definidas las expresiones, se cumple: cos x = cos( x) sin( x) = sin x.7. Identidades de ángulos suplementarios Para cualquier valor de x en el que estén definidas las expresiones, se cumple: cos(π x) = cos x sin(π x) = sin x Ejemplo.1 Simplificar la siguiente expresión. sin 2 x cot x cos x Sabemos que cot x = cos x, la expresión es equivalente a sin x sin 2 x cos x sin x cos x = sinx cos x cos x = sin x 4. Funciones trigonométricas 4.1. El período Una función se dice periódica si existe un número real p para el cual f(x + p) = f(x) para cualquier de x en el dominio de la función. El período de una función es el menor valor positivo de p para el cual se cumple la relación anterior Función Seno A cada ángulo x, cuya medida está en radianes, le corresponde un único valor sin x, entonces podemos definir una función: f : R R, f(x) = sin x Observe que esta función es periódica de período 2π, porque cada 2π se obtienen ángulos que tienen el mismo seno.

8 4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8 Figura 8: Gráfica de la función sin x Características de la función sin x Dominio Ámbito Período Intersección Eje x Intersección Eje y Creciente R [ 1, 1] 2π (kπ, 0) (0, 0) (4k 1)π (4k + 1) (, ) Función Coseno A cada ángulo x, cuya medida está en radianes, le corresponde un único valor cos x, entonces podemos definir una función: f : R R, f(x) = cos x Figura 9: Gráfica de la función cos x Características de la función cos x Dominio Ámbito Período Intersección Eje x Intersección Eje y Creciente R [ 1, 1] 2π ( (2k+1)π 2, 0) (0, 1) ((2k 1)π, 2kπ) 4.4. Función Tangente A diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está definida para cualquier ángulo. (2k + 1)π La tangente no está definida para los ángulos medidos en radianes que tienen la forma, k Z Características de la función tan x Dominio Ámbito Período Intersección Eje x Intersección Eje y Creciente { } ] [ R (2k+1)π (2k 1)π (2k + 1)π 2 R π (kπ, 0) (0, 0), 2 2

9 5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 9 Figura 10: Gráfica de la función tan x 5. Ecuaciones trigonométricas Llamamos ecuación trigonométrica a una igualdad entre expresiones trigonométricas, donde la incógnita es un ángulo. Resolver significa encontrar todos los ángulos que hacen de esa igualdad una identidad. Se resuelven principalmente en radianes, ya que lo que buscamos es un conjunto solución de números reales. Ya que las funciones trigonométricas son periódicas, cada ecuación tiene infinitas soluciones, ya que sus ángulos coterminales también serán solución. Es por eso, que cuando resolvemos ecuaciones trigonométricas solo consideramos el intervalo [0, 2π] (i.e. solo la primera vuelta ). Para resolver ecuaciones trigonométricas: 1. Se despeja la parte trigonométrica. 2. Se encuentra el ángulo de referencia.. Se identifican los cuadrantes con base en los signos de la función trigonométrica. 4. Se determinan los ángulos de la solución. Ejemplo 5.1 Resuelva la siguiente ecuación en el intervalo [0, 2π[ 2 cos x + 1 = 0 Despejando la parte trigonométrica, tenemos deducimos entonces θ = π. cos x = 1 2 El coseno es negativo en los cuadrantes II y III, y calculamos el valor de x sumando y restando el ángulo de referencia: x 1 = π π, x 2 = π + π x = 2π, 4π Escribimos el conjunto solución: S = { 2π, 4π }

10 6. Ejercicios recomendados 6 EJERCICIOS RECOMENDADOS Convierta la medida de cada uno de los siguientes ángulos de grados a radianes, o viceversa. π 5 25π 4 2π 2 π Determine si los ángulos con las siguientes medidas son o no coterminales. 58π 7 y 9π 7 9π 2 y 7π 9 α y α 4π. Encuentre un ángulo positivo y un ángulo negativo coterminales con: 27π π Si α es un ángulo agudo y sin α = x y, calcule csc α y sec(90 α). 5. Si el lado terminal de un ángulo α en el segundo cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto ( x, 2 ), determine el coseno y seno α. 6. Si el lado terminal de un ángulo α en el cuarto cuadrante interseca la circunferencia trigonométrica en el punto ( x, 1 ) 4, determine el coseno y seno α. 7. Si el lado terminal ( de un ángulo β en posición estándar interseca la circunferencia trigonométrica ) en el punto 10 5, 15 5, determine el valor de sec β y cot β 8. Calcule los siguientes valores trigonométricos. sin 7π tan 20π sec 480 cot 7π 2 cot 0 sin 8π 9. Simplifique: tan x sin x cos x + 1 csc x cot x 1 cos x tan x cos x tan x sec x sec x(cos x + cos 2 x) 1 sin(y + 2π) csc(y 2π)

11 7 CURIOSIDADES Demuestre las siguientes identidades: 1 cos(6π + x) = sec x (cot 2 x + 1) tan x = csc c sec x sin 2 x 1 = 1 sec 2 x tan( x) = tan x 1 cos x sin 2 x = 1 cos x Resuelva las siguientes ecuaciones: 2 cos x = cos x sin x + = 0 cos x + 1 = 0 tan x 1 = 0 tan 2 x + 1 = 0 7. Curiosidades 7.1. Trigonometría Trigon triángulo Metría medida 7.2. Porque 60? Medida de triángulos Los caldeos dividieron el círculo en 60 partes iguales, ya que en su año constaba de 60 días. Este es el fundamento de los grados sexagesimales. 7.. El primer libro de Trigonometría Johannes Müller ( ), conocido como Regiomontanus pues era nativo de Königsberg (=Monterrey), escribió el libro De triangulis omnimodis libri V, que fue el primero dedicado exclusivamente a la Trigonometría.

12 REFERENCIAS El origen de la palabra seno El origen de la palabra seno(aquí hacemos alusión a la función sin x) es curioso. En una obra del matemático hindú Aryabhata(c. 510), aparentemente basada en las tablas de cuerdas de Ptolomeo, la media cuerda(igual al seno) se llama djiva(=cuerda). En las traducciones árabes esta palabra fue corrompida por transposición de vocales a la palabra arábiga djaíd, la cual significa pecho de mujer, al regresar a Europa cerca de 1150, ésta fue traducida al latín como sinus (seno) Sobre π π es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. El símbolo π para denotar esta razón fue introducido por Leonhard Euler en 177 (por ser la primera letra de περιφερεια=perímetro). Han habido intentos desde tiempos muy antiguos para calcular el valor numérico de π. Un papiro egipcio de c aec, sugiere tomar π = ( 16 9 )2 =, Arquímedes usó el método de agotamiento, aproximando π por los perímetros de polígonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos al círculo, para obtener las cotas < π < El chino Tsu Chúng-chih (c. 470) sugirió π = 11 =, , mejorado en 1900 por Ramanujan a (1 5 ) El persa Al-Kashi, astrónomo de Sadarkand c. 1425, dio el valor (en notación decimal), Computadoras modernas han calculados más de de cifras decimales Sobre radián El término radián, para Luis Santaló, Rey Pastor, y Julio Balanzat, en su libro Geometría Analítica (1974), es errado, ya que se trata de una mala traducción del término radiant, ellos más bien, utilizan el término radial, haciendo referencia aquí al hecho y dependencia que este tiene con el radio de la circunferencia. Referencias [Au] Aula. Curso de orientación escolar. Cultural S.A. Madrid, España [Ba] Baldor, A. Geometría y Trigonometría. [En] Encarta Premium. Microsoft [Ga] Galdós, L. Consultor Matemático. Cultural S.A [Go] [Sa] Gómez, L. Matemática para bachillerato: teoría, ejemplo y ejercicios. Pimas. San José- Costa Rica Sanabria, Geovany. Las Funciones trigonométricas con el método de Exhausión de Arquímedes: dos propuestas metodológicas. Tesis para optar al grado de Magíster Scienticae en Matemática. Universidad de Costa Rica [Sa] Santaló, L. Geometría Analítica. Argentina [Sw] [Va] Swokowski E. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Tercera edición. Grupo Editorial Iberoamericana. Varilly, J. Elementos de geometría plana. Editorial de la Universidad de Costa Rica, San José, Costa Rica. 1 Véase el libro Elementos de geometría plana de Joseph Varilly.