TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

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Felisa Ramírez Cabrera
hace 7 años
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1 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA....4 El estudio de las funciones trigonométricas comenzó en el Capítulo 9, con los radianes la transformación de funciones trigonométricas. Este capítulo se concentra en la resolución de ecuaciones con funciones trigonométricas operando sobre la variable. Este trabajo incluirá la revisión de las funciones trigonométricas inversas e introducirá las funciones trigonométricas reciprocas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección... Ejemplo Para qué valores de θ son verdaderas las siguientes ecuaciones? a. cos(θ) = 3 b. sen( θ ) = c. cos(θ ) = 5 a. El gráfico de = cos() es una función periódica, el gráfico de = 3 es una recta horizontal. Al graficar ambas ecuaciones en el mismo grupo de ejes, se observa que se intersecan una cantidad infinita de veces. Cómo se pueden determinar todas las soluciones? = π π 3π Resolver utilizando el coseno inverso nos da una solución. cosθ = 3 cos ( cosθ ) = cos 3 Recuerda el círculo de unidad. Para qué valores de θ es 3 cos θ =? Ha dos puntos fáciles de hallar: 6 π 6 π. ( ) θ = π 6 radianes Cómo determinamos el resto? En el círculo de unidad, se vuelven a ver 6 π 6 π en cada rotación de π. Por lo tanto, no solo 6 π hace verdadera la ecuación, también lo hacen 6 π ± π, π 6 ± 4π, 6 π ± 6π, etc. De igual forma, 6 π ± π, 6 π ± 4π, 6 π ± 6π, etc. también harán verdadera la ecuación. Consolida esta información como θ = ± 6 π ± πn, para todos los enteros n. Nota: eisten otras formas de escribir la solución equivalente a esta epresión. θ 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

2 Capítulo b. Resolver utilizando el seno inverso arroja: sen( θ ) = sen( θ ) = θ = sen θ = π 4 ( ) Suele haber dos soluciones dentro del círculo de unidad, así que, en qué dos cuadrantes es el seno positivo? Ya que el valor del seno depende de, el seno es positivo en los cuadrantes I II. Por lo tanto, θ = π 4 ± πn o θ = 3π 4 ± πn. θ c. Ya que el rango de = cos() es, esta ecuación no tiene solución. Ejemplo Supón que f () = sen(), g() = cos(), h() = tan(), grafica cada una de las funciones en distintos ejes. = = = f () g() h() Compara tus gráficos con los de las siguientes funciones: = sen () = cos () = tan () Las tres primeras funciones son las funciones recíprocas del seno, el coseno la tangente. Sin embargo, en lugar de ser escritas como recíprocas f () sen() = cosecante cos() = secante tan() = cotangente ( ), reciben nuevos nombres: La abreviación de la cosecante es csc, la de la secante es sec, la de la cotangente es cot. Sus gráficos son: = csc() = cot() = sec() Ya que estas son funciones recíprocas, en todos los puntos en los que la primera función es igual a cero, la función recíproca correspondiente será indefinida. Verifica que esto sea cierto. Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

3 Al comparar estas funciones con las funciones trigonométricas inversas, es importante observar que sen sen ( lo mismo sucede con las demás funciones correspondientes). Esto se ve mu claramente al eaminar los gráficos. La presencia del eponente indica que la función es la inversa, no la recíproca. = sen () = cos () = tan () Problemas Determina todas las soluciones para cada una de las ecuaciones a continuación. Puedes usar tu calculadora, pero recuerda que solo te dará una respuesta.. cos() =. 5 tan() 5 = cos () = sen () = 3 5. sen() + = 3 sen() 6. tan () + tan() = 0 Grafica las ecuaciones a continuación en ejes separados. Etiqueta todos los puntos importantes. 7. = 3 csc() 8. = 4 + sec() 9. = cot( π) 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

4 Capítulo Respuestas. = ± π 4 ± π n para todos los enteros n. = π 4 ± π n para todos los enteros n 3. = ± π 4 n para todos los enteros n 4. = π 3 ± π n o = π 3 ± π n para todos los enteros n 5. = π ± π n para todos los enteros n 6. = ± π n o = 3π 4 ± π n para todos los enteros n Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS....3 Antes del uso generalizado de las calculadoras, se usaban tablas para buscar los valores trigonométricos de varios ángulos. Ya que sen(θ ) = sen(θ )cos(θ ), por ejemplo, no era necesario que una tabla de valores trigonométricos incluera ángulos de 0. Es posible escribir sen(0º) como sen(60º)cos(60º) conociendo solo los valores para 60. Otra práctica común antes del surgimiento de la calculadora era la demostración de identidades trigonométricas. Estas demostraciones suelen emplear pasos algebraicos e identidades demostradas previamente para mostrar que un lado de la ecuación es igual al otro. Las epresiones trigonométricas equivalentes son conocidas como identidades trigonométricas, permiten reescribir /o resolver ecuaciones trigonométricas. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemática de la Lección..3. Ejemplo Grafica la función f () = cos () tan (). Qué conclusiones puedes etraer sobre la epresión cos () tan () en función del gráfico? (Es decir, qué identidad trigonométrica puedes escribir?) Qué substitución puedes realizar en la identidad para eliminar la fracción? Al graficar la función dada arriba, podemos ver fácilmente que la función es una constante, es decir, una recta horizontal. Este gráfico es equivalente al gráfico de =. Ya que sus gráficos son equivalentes para todos los valores de, las epresiones también son equivalentes. Por lo tanto, podemos escribir: cos () tan () =. Cómo se puede reescribir la epresión dada para que no inclua una fracción? Ya que cos() = sec(), podemos escribir sec () tan () =. Esta identidad trigonométrica es escrita más comúnmente como: + tan () = sec (). 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

6 Capítulo Ejemplo Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: sen() cos() + cos() sen() = csc() Para la identidad de arriba, comenzaremos con el lado izquierdo de la ecuación, obteniendo denominadores comunes para poder sumar la fracción ver a dónde nos lleva. También es importante tener en cuenta el lado derecho de la ecuación, que es nuestro objetivo. Recuerda que csc() = sen(). sen() sen() sen() ( cos() ) + cos() cos() Esto demuestra que la identidad es verdadera. Problemas sen() cos() + cos() sen() = csc() ( ) cos() ( sen() ) = sen () (sen())( cos()) + ( cos()) (sen())( cos()) = sen ()+( cos()) (sen())( cos()) = sen ()+ cos()+cos () (sen())( cos()) = sen ()+cos ()+ cos() (sen())( cos()) = + cos() (sen())( cos()) = cos() (sen())( cos()) = ( cos()) (sen()) ( cos()) = sen() = csc(). Demuestra gráficamente que sen( + ) no es igual a sen() + sen().. Determina gráficamente a qué es igual cos( + 90º). 3. Determina gráficamente a qué es igual sen(80º ). Demuestra las siguientes identidades: sen() = cot() 5. sen () sen () cos () = tan() cot() tan()+cot() sen () +cos() = sec() 7. cos4 () sen 4 () = cos () 8. sen() + +sen() = sec () Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

7 Respuestas. Los gráficos no son iguales.. cos( + 90º) = sen 3. sen(80º ) = sen 4. sen() sen () = cot() sen() cos() sen() sen() = sen() cos() sen() sen() =? cos() sen() = cot() sen () +cos() = sec() = cos() = ( cos() ) = ( cos())(+cos()) +cos() = cos () +cos() = sen () +cos() +cos() ( +cos() ) 7. cos 4 () sen 4 () = cos () cos 4 () sen 4 () = (cos () + sen ()) (cos () sen ()) = (cos () sen ())? = cos () ( cos ()) = cos () + cos = cos () 8. sen() + +sen() = sec () +sen() ( +sen() ) ( sen() ) + sen() ( sen() ) ( +sen() ) = +sen()+ sen (+sen())( sen()) = sen () = cos () = sec () 05 CPM Educational Program. All rights reserved. Core Connections en español, Matemática Integrada III

8 Capítulo PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT. Si 7 < < 9z, cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a. 7 < 9z b. 9z < 7 c. z < d. 7 = 9z e. 7 + = 9z. Si f (t) = 5t 5, en qué valor de t cruza el gráfico de = f (t) el eje? a. 5 b. 5 c. 0 d. e Si p = p 5 + w, entonces w =? 5 5 a. 3 b. 3 c. 3 d. 3 e Para todos los números positivos j k, j k está definida como j+4k. Cuál es el valor de j 4k,08 4.5? a..036 b c d. 036 e Si un número es redondeado a 6.7, cuál de los siguientes valores podría haber sido el número original? a. 6 b c d e En un plano de coordenadas, el centro de un círculo se encuentra en (9, ). Si el círculo toca el eje en un solo punto, cuál es el radio del círculo? 7. La figura de la derecha muestra tres cuadrados con lados de longitud 6, 8, k, respectivamente. Si los puntos A, B, C se encuentran en la recta l, cuál es el valor de k? A B C l de cada 7000 alumnos universitarios de último año se especializan en matemáticas. Qué porcentaje de alumnos de último año NO se especializan en matemáticas? 6 8 k 9. Cinco barras de caramelo cuestan lo mismo que paletas. Si el costo de una paleta una barra de caramelo es $.75, cuál es el costo, en dólares, de una paleta? 0. La calificación más alta posible en el eamen del profesor Snape es 00 la más baja es 0. El promedio de las calificaciones de Harr, Ron, Hermione, Neville es 86. Si Neville tiene la calificación más baja, cuál es la calificación más baja que puede tener? Respuestas. A. E 3. D 4. A 5. C % 9. $ Guía para padres con práctica adicional 05 CPM Educational Program. All rights reserved.

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