Funciones Trigonométricas Directas.

Transcripción

1 2.2. Funciones Trascendentes Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones eponenciales. Funciones Trascendentes No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se clasifican en: las trigonométricas y sus inversas, relacionadas con el triángulo rectángulo; y las logarítmicas y eponenciales, más asociadas a una variación en progresión geométrica (crecimiento poblacional, por ejemplo). Definición: Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene epresiones trigonométricas, eponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes Algebraicas Funciones Logarítmicas Trascendentes Trigonométricas Eponenciales Funciones Trigonométricas Directas. Función trigonométrica Directas: Las funciones trigonométricas son el resultado del cociente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre cateto). Esto hace necesario, para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos números que anulen el denominador.

2 Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante La función seno es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su seno La función coseno es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su coseno. La función tangente es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su tangente. La función cotangente es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su cotangente. La función secante es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su secante. La función cosecante es la asociación entre un ángulo dado y el valor de su cosecante. f () = sen f() = cos f() = tg f() = cotg f() = sec f() = cosec La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente. También, tenemos que: senα cosα tanα = cot gα = cos α ; sen α Dominio de las Funciones Trigonométricas Directas Función Dominio Contradominio. f() = sen Todo eje real - < < El denominador es la hipotenusa, la cual siempre es diferente de cero, no así los catetos del triángulo f() = cos Todo eje real. - < < La misma razón que el primer caso. f() = tg π 3π 5π Se restringe el dominio de manera que el ± ; ± ; ± ; denominador debe ser cos 0. f() = cotg 0; ± π ; ± 2π; ± 3π;. Se restringe el dominio de manera que el denominador debe ser sen 0. f() = sec π 3π 5π Se restringe el dominio de manera que el ± ; ± ; ± ; denominador cos 0. f() = cosec 0; ± π ; ± 2π; ± 3π;.. Se restringe el dominio de manera que el denominador sen 0.

3 Gráficas de las Funciones Trigonométricas Directas Gráfica de y = sen Gráfica de y = cos Gráfica de y = tg

4 Gráfica de y = cotg PERÍODO: π DOMINIO: Todos los números reales, con ecepción de los de la forma kπ, siendo k un entero. RANGO: R Función impar (simétrica con respecto al origen). Función decreciente entre las asíntotas. Discontinua para kπ, siendo k entero.

5 Gráfica de y = sec PERÍODO: 2π DOMINIO: Todos los números reales, con ecepción de los de la forma π/2 + kπ, siendo k un entero. RANGO: (-, -1] U [1, ) Función par (simétrica con respecto al eje y). Discontinua en π/2 + kπ, siendo k entero. Gráfica de y = cosec

6 PERÍODO: 2π DOMINIO: Todos los números reales, con ecepción de los de la forma kπ, siendo k un entero. RANGO: (-, -1] U [1, ) Función impar (simétrica con respecto al origen). Discontinua para kπ, siendo k entero. Función Eponencial. Definición: Función eponencial: sea a un número real positivo y distinto de 1. Definimos la función eponencial de base a como aquella que tiene la forma: en donde es cualquier número real. f ( ) = a Los términos eponenciales son en sí aquellas potencias cuya base es un número fijo y el eponente es una variable. En la siguiente tabla se presentan algunos ejemplos de funciones eponenciales. Función Título f() = 10 Función eponencial de base 10 f() = 2 Función eponencial de base 2 Gráficas Eponenciales Típicas 1 Es útil comparar las gráficas de y = 2, y = = 2, trazando ambas 2 en el mismo sistema coordenado (figura 34.a). La gráfica de:

7 ( ) a > 1 f = a (Figura 34.b) se parece mucho a la gráfica de y = 2 y la gráfica de: ( ) a 0 < 1 f = < a (Figura 34.b) 1 se perece mucho a la gráfica de y =. Nótese en ambos casos que el eje 2 es una asíntota horizontal que nunca toca las gráficas. 1 y = = 2 2 y y = 2 Tipo básico 1 y Tipo básico 2 y = a 0< a< 1 1 y = a a > Dominio = R Contradominio = (0, ) a b OBSERVACIONES:

8 a b Note que cuando la base a es mayor que 1, la función eponencial (figura a) no está acotada superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable. Además, ésta función tiene al cero como etremo inferior. Esto es, grandes pero negativos. tiende a cero (0), cuando toma valores Igualmente, cuando la base 0 < a < 1, la función eponencial (figura b) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar valores grandes, pero negativos y valores grandes positivos. tiende a cero, cuando la variable toma El hecho de ser la función eponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función eponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se eigen para garantizar la eistencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próima sección. Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = , la función eponencial, se llama: función eponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Ep() =. Se llaman funciones eponenciales a las

9 funciones de la forma f() = a o y = a, donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el eponente la variable. Dominio y Contradominio de la Función Eponencial. Función eponencial de base a f ( ) = a Dominio Todo número real - < < Contradominio 0< y < EJERCICIOS: Calcule el dominio y contradominio de las siguientes funciones. Realizar la gráfica de las funciones. 1) f() = (1/3) 2) f() = 5 RESUMEN: La función eponencial De finición.-sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real

10 le asigna la potencia a base a. Funciones eponenciales se denomina función eponencial de Df: - << Cf: 0<y< Función eponencial:,, Donde. Esta función es creciente en todo su dominio si y decreciente si. f() = a (0<a<1) f() = a (a>1) La imagen de es. Propiedades: a > 0 para todo є R. La función eponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras que la de base a<1 es estrictamente decreciente. La función eponencial de base mayor que 1 no está acotada superiormente aunque si lo está inferiormente en R. Si 0 < a < 1 la función eponencial de base a no está acotada superiormente aunque si lo esta inferiormente en R. Si 0 < a < b entonces: a < b si > 0 y b < a si < 0. Cualquiera que sea el número real positivo y eiste un único número real tal que a = y. El número se llama logaritmo en base a de y y se representa