Longitud, áreas y volúmenes. Trigonometría. Circunferencia de radio R Círculo de radio R. 1 Triángulo de base B y altura H A = (BH ) 2

Transcripción

1 Longitud, áreas y volúmenes Circunferencia de radio R Círculo de radio R A πr L πr Triángulo de base B y altura H A (BH ) Cuadrado de lado L A L Rectángulo de base B y altura H Superficie esférica A 4πR A BH Prisma recto de lados a,b,c V abc Cilindro de radio R y altura H V πr H Cono de radio R y altura H V π R 3 H Esfera V 4 π R 3 3 Trigonometría Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º. Considerando un triángulo rectángulo de catetos a y b, el lado c es la hipotenusa. El lado a del triángulo es le cateto opuesto al ángulo ϕ y el lado b, es el cateto contiguo a dicho ángulo. Las tres funciones trigonométricas que se definen para el ángulo ϕ son el seno (senϕ), el coseno (cosϕ) y la tangente (tgϕ), de la siguiente manera cateto opuesto a ϕ a senϕ hipotenusa c cateto contiguo a ϕ b cos ϕ hipotenusa c cateto opuesto a ϕ a tgϕ cateto contiguo a ϕ b a b c ϕ Por aplicación del teorema de Pitágoras se verifica a + b c, de donde se verifica la relación entre las funciones anteriores sen ϕ + cos ϕ Las funciones inversas de las anteriores son

2 csc senϕ, denominada cosecante sec, denominada secante cosϕ ctgϕ denominada cotangente tgϕ Valores del seno y coseno de los principales ángulos del primer cuadrante sen 0 3 cos 3 0 sen + cos sen tg cos + tg cos cos c tg sen c tg sen + sen( + β ) sen cos β + cos sen β sen( β ) sen cos β cos sen β cos( + β ) cos cos β sen sen β cos( β ) cos cos β + sen sen β sen sen cos cos cos sen tg tg tg π sen + cos π cos + sen π sen cos π cos sen sen cos ( π ) sen sen( π + ) sen ( π ) cos cos( π + ) cos

3 Cálculo diferencial En varias ramas de la Ciencia es necesario el uso de algunas de las herramientas del cálculo, inventado por Newton, para describir los fenómenos físicos; tal es el caso del cálculo integral y el cálculo diferencial. En primer lugar es necesario especificar una función que describa cómo se relaciona una variable con otra, es decir la función y(;. la variable se denomina independiente y la variable y, variable dependiente. Decimos que y es función de, que se epresa y(, cuando la primera variable adquiere valores que dependen de los valores de la segunda. En muchas demostraciones físicas, aparece el concepto de derivada de una función. Si queremos saber cómo varía una función y( en un determinado intervalo de la variable y haremos. Hemos considerado una pequeña variación de y, que se produce cuando consideramos una pequeña variación de la variable. Representado gráficamente los valores que adquiere y para los distintos valores de, tenemos y y Pero si es etremadamente pequeño, estaremos analizando dicha variación en el límite en y que el incremento de,, se hace casi cero; en este caso escribiremos lim 0 Ese valor límite es lo que se conoce como derivada de y respecto a ; gráficamente se observa que en un entorno muy pequeño de un punto de coordenadas P(,y), si se considera una pequeña variación de,, se produce una pequeña variación de la variable y y. Por tanto la derivada de y respecto a representa la tangente a la curva en el punto P de coordenadas (,y). En física, como trataremos con funciones continuas, escribiremos la derivada de la función y dy respecto a como.

4 dy y y( + y( Desarrollando la epresión anterior tenemos lim lim 0 0 Por ejemplo, en el estudio del movimiento de un punto encontramos que la posición, la velocidad y la aceleración son función del tiempo, pues estas funciones (r, v, a) toman distintos valores a medida que va transcurriendo el tiempo t. Así, la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo pues es una medida de cómo varía la posición al variar el tiempo ds v, o la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo dt dv a. dt Propiedades de las derivadas. Derivada de la suma de dos funciones. Si una función f ( es la suma de dos funciones g ( +, entonces la derivada de f ( es la suma de las derivadas [ + ] df ( d d d +. Derivada del producto de dos funciones. Si una función f ( es el producto de dos funciones, entonces la derivada de f ( es [ ] df ( d d d + 3. Derivada del cociente de dos funciones. Si una función f ( es el cociente de dos funciones, entonces la derivada de f ( es d df ( d d [ ] 4. Derivada segunda. La segunda derivada de y con respecto a se define como la derivada dy de la función (derivada de la derivada), que se epresa d y d dy 5. Regla de la cadena del cálculo diferencial. Si la función y depende de la variable z, yf(z), y a su vez z depende de de la forma z, y depende implícitamente de, por lo que la derivada de la función y respecto a es z) z) dz dz

5 Derivadas Función Derivada y ( m a m y'( am ( [ f ( ] m y'( m[ f ( ] f '( y ) m y ( f ( y'( f '( + f ( g'( + f ( h'( y ( f ( y'( f '( ( f ( g'( [ ] m n n m ( y'( [ f ( ] n f '( y m n f '( y ( ln f ( y'( f ( y ( log f ( y'( ln0 f '( f ( y( sen y'( cos y ( sen f ( y'( f '( cos f ( y( cos y'( sen y ( cos f ( y'( f '( sen f ( y( tg y'( + tg cos y ( tg f ( f '( y'( f '( [ + tg f ( ] cos f ( y ( y ( e f e ( y'( dy e ( f ( y'( f '( e

6 Cálculo integral La integración es la operación inversa a la derivación; así, la integral de f( es otra función y(, tal que f (, es decir f y + C ( ) ( ), donde C es una constante. Las funciones en física suelen ser contínuas, y sus integrales deben resolverse entre dos límites definidos, por ejemplo entre 0 y ; en este caso se denomina integral definida entre dos límites. Supongamos que debemos calcular el área encerrada bajo la curva que se encuentra entre los límites 0 y. Para ello se recurre a dividir el área en rectángulos, y la suma de sus correspondientes áreas nos daría una primera aproimación del área solicitada. Sin embargo, si hacemos que las bases de esos rectángulos sea lo más pequeña posible ( 0 ), tendremos una mayor cantidad de rectángulos más ajustados a la curva. f( f( f( i ) 0 0 Si tiende a cero, la suma de todas las áreas de los rectángulos será el área eacta encerrada bajo la curva. Así Area lim f ( i ) i 0 i 0 f ( Integrales + C n+ n + C n +

7 ln + C n+ n + n + n e e + C sen cos + C cos sen + C tg ln + C C tg + C cos arcsen + C arctg + C + cos sen ( cos ( sen + C cos cos ( + cos ( + sen + C 4 4 Geometría Ecuación de una recta y a + b, siendo a la pendiente de la recta (también es igual a la tangente del ángulo que forma la línea con el eje X) y b la ordenada en el origen Y a b X La ecuación de la recta puede epresarse también conociendo un punto de la misma, de coordenada ( 0,y 0 ), y su vector director u u i + u j : y

8 y y0 u 0 u y que es la ecuación en forma continua Ecuación de una parábola y a + b + c. Los puntos en los que la parábola cortan al eje Y se obtienen haciendo que sea nulo, lo cual se produce para yc. Los puntos de la parábola que cortan al eje X se obtienen haciendo que y sea nulo, es decir se verifica a + b + c 0, y por tanto b ± b 4ac a Ecuación de una circunferencia de radio R y centro (a,b) ( R a) + ( y b). Si el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas (0,0), la ecuación es + y R Ecuación de una superficie esférica de radio R y centro (a,b,c) ( a) + ( y b) + ( z c) R Si el centro de la superficie esférica es el origen de coordenadas (0,0,0) la ecuación es + y + z R Distancia d entre dos puntos de coordenadas (,y,z ) y (,y, z ) d ( ) + ( y y ) + ( z ) z Notación científica Muchas de las magnitudes con las que tratan los científicos son, a menudo, valores muy grandes o muy pequeños; por ejemplo la velocidad de la luz, en unidades del sistema internacional es m/s, lo que es incómodo de leer y de escribir. Para evitar este problema se emplea un método basado en la utilización de las potencias de

9 El número de ceros se corresponde con la potencia a la que se eleva 0, denominado eponente. Así la velocidad de la luz puede epresarse m/s Con este método, los números menores que la unidad se representan como sigue , 0 0,0 00 0, , , En este caso, el número de posiciones que la coma decimal se encuentra a la izquierda del, es igual al valor del eponente negativo. Para la utilización de las potencias de 0, se siguen las siguientes reglas:. El resultado del producto de dos potencias de la misma base y diferente eponente (0 m 0 n ) es una potencia de la misma base y cuyo eponente es la suma de los eponentes (0 m+n ).. El resultado del cociente e dos potencias de la misma base y diferente eponente (0 m :0 n ) es una potencia de la misma base y cuyo eponente es la diferencia de los eponentes (0 m-n ). Desarrollo de un binomio El teorema del binomio es muy útil para hacer aproimaciones. Una forma del teorema es n( n ) n( n )( n ) 3 n( n )( n )( n 3) 4 ( + n + n ! 3! 4! Si n es un número entero positivo, eisten n+ términos en la serie. Si n es un número real diferente de un entero positivo, eiste un número infinito de términos. La serie es particularmente útil cuando es mucho menor que ; entonces cada término de la n( n ) n( n )( n 3 ecuación ( + n + n es mucho menor que el! 3! inmediatamente anterior y se puede prescindir de todos los términos ecepto los dos primeros, por tanto * Si <<< + n + entonces ( ) n