4, halla sen x y tg x. 5

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA 1º.- Sabiendo que 90 º < x < 70 º y que 4, halla sen x y tg x. 5 a) sen x? ; de la fórmula fundamental sen x + cos x 1 se obtiene sen x 1 - cos x. 9 5 de donde sen x 5 3, solución positiva por tratarse de un ángulo del segundo cuadrante. b) tg x?. Por definición tg x sen x º.- si 180 º < x < 70 º y que tg x 3, halla sen y. a)? De la fórmula fundamental sen x + cos x 1, y dividiendo a los dos miembros por cos x, obtenemos tg x por tratarse de un ángulo del tercer cuadrante. ; , valor negativo b) sen x? Con el valor hallado anteriormente tg x sen x 3 sen x 1 sen x 3 3º.- Si queremos que una cinta transportadora de 30 m. eleve la carga hasta una altura de 15 m. qué ángulo se deberá inclinar la cinta? En el enunciado nos han dado como datos: la longitud de la cinta BC ( hipotenusa )y el cateto opuesto AC ( altura con respecto al suelo ) Sen B B 30 º cateto opuesto hipotenusa de donde B arc sen

2 4º.- Una persona de 1,8 m. de estatura proyecta una sombra de 66 cm., y en ese momento un árbol da una sombra de,5 m.: a) Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal? b) Cuál es la altura del árbol? a) Supongamos que el cateto AC representa la altura de la persona ( 1,8 m). Su sombra vendrá representada por la longitud del cateto AB ( 66 cm ). El ángulo B es el que determinan los rayos solares ( dirección BC ) con la horizontal BA Tendremos que tg B cateto opuesto cateto contiguo AC 1, 8 AB 0, 66,7575 B arc tg, º 4 b) Ahora conocemos el cateto contiguo BA ( sombra proyectada por el árbol) y el ángulo B que forman los rayos solares con la horizontal. Tengamos en cuenta que se considera que los rayos solares son paralelos por esta razón, en un cierto instante el ángulo B será el mismo. tg B altura del árbol( h) sombra proyectada AC,5 tg 70º 4 h,5 h,7575.,5 6,89 m 5º.- Calcula la longitud de los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 30 cm. Y el ángulo opuesto al mismo 44 º. Al trazar la altura AH, correspondiente al lado desigual, obtenemos dos triángulos rectángulos iguales de los A que conocemos: el ángulo º y el cateto opuesto 15 cm. a) Longitud del lado AB: se trata de calcular la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo citado 15 sen º hipotenusa AB 15 0, ,04 cm. - -

3 b) Para determinar el área Conocemos BB 30 cm y necesitamos calcular el valor de la altura sobre él (AH) A BH 15 AH lo calcularemos utilizando la definición del tg AH 37,13 cm AH 0, 404 BB`. AH El área será Área ,13 556,95 cm Otra forma que tienes para determinar el área de un triángulo es: Área AB. AB`. sen A 6º.- El lado de un rombo mide 10 cm. Y el ángulo menor es de 60 º. Calcula la medida de las diagonales del rombo y su área. Si el ángulo menor es de 60 º, el ángulo mayor medirá α α 10. Recuerda que un rombo tiene sus cuatro ángulos iguales dos a dos y que la suma de sus cuatro ángulos equivale a la medida de dos triángulos (.180º) Recuerda también que si trazas las dos diagonales de un rombo, AC y BD, obtienes cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos agudos tendrá por medidas 30º y 60º. Consideremos el triángulo rectángulo AOB del que conocemos los ángulos agudos  60 º y de los catetos AO y OB. B 30 º y dos piden calcular la longitud OB OB Sen 60 AB 10 3 OA OA 1 Sen 30 AB 10 OB 5. 3 diagonal BD 10 3 OA 5 diagonal AC 10 El área del rombo es AC.BD º.- Expresa en función de una razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante: sen 150 º ; tg 10 º ; tg 340 º ; cos 00 º ; sen 0 º - 3 -

4 Sen 150 º sen (180 º º ) sen 30 º, ángulo del º cuadrante con uno del primero Tg 10 º - tg (180 º - 10 º ) - tg 60 º, ángulo del º cuadrante con uno del primero Tg 340 º - tg ( 360 º º ) - tg 0 º, ángulo del 4º cuadrante con uno del primero Cos 00 º - cos ( 00 º º ) - cos 0 º, ángulo del 3º cuadrante con uno del primero Sen 0 º - sen (0 º º ) - sen 40 º, ángulo del 3º cuadrante con uno del primero 8º.- De un triángulo rectángulo se sabe que su área es 480 cm y un cateto mide 48 cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos. El área de un triángulo rectángulo donde 480 AB.48 AB cateto AB. cateto AC 0 cm tg B AC 48,4 B arc tg,4 67 º 3 cotg C AB 0 de Si hallamos el valor de la hipotenusa BC obtendremos fácilmente los valores sen B y cos B BC cm. Y de aquí Sen B cos C 48 0,930 cos B sen C 5 0 0, º.- En una circunferencia de radio 8 cm. Trazamos una cuerda AB a 4 cm del centro. Halla el ángulo AOB siendo O el centro de la circunferencia. Tenemos dos triángulos rectángulos OCA y OCB iguales porque el triángulo OAB es isósceles El ángulo AOB a. Calculemos Sen a AC 4 r 8 a arc sen 0,5 30 º AOB 60 º 10º.- Halla el ángulo que forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal del cubo. Debemos encontrar el ángulo formado por los segmentos x (diagonal del - 4 -

5 cubo) e y ( diagonal de una cara). l El valor de la diagonal de una cara es y l + l l El ángulo pedido es tg α y l l. l α arc tg 45 º 11º.- En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 13 m y 17m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7m. Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto? Tenemos que calcular la medida de A, siendo AC 13 m AB 17m y BC 7m. Aplicando el teorema del coseno: a b + c. b. c. cos A cos A de donde cos A , A arc cos 0,95339 A 55 º 31 1º.- Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 15º. El primero sale a las 11 horas de la mañana con una velocidad de 18 nudos (33,3 km/h) y el segundo sale a las 1 horas 30 minutos, con una velocidad de 4 nudos (44,4 km/h). Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km, podrán ponerse en contacto a las 4 de la tarde? Supongamos que los dos barcos parten del punto C y que, a las cuatro de la tarde, el primero de ellos está situado en A y el segundo en B. Debemos calcular la longitud del lado AC y ver si es inferior o igual a 150 km. CA b 18 (nudos/hora). 5 ( horas ) 90 nudos recorridos CB a 4 ( nudos/hora). 3,5 ( horas ) 84 nudos recorridos Por el teorema del coseno: c cos 15 º

6 c nudos Ahora debemos expresar esta distancia en km: Si 18 nudos son 33,3 km 1 nudo 1,85 km La distancia, en km, que separa ambos barcos es de AB ,85 31,9 km muy superior al alcance de sus equipos de radio. 14º.- En el triángulo de la figura AB 4 m, Â 60 º y B 45 º. Calcula las medidas de AC, BC y la altura sobre AB. La altura h c, sobre AB, divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos que tienen a h c como cateto común. En el triángulo AC C tenemos tg A h c AC h c m. tg 60 En el triángulo BC C tenemos tg B h c BC h c AC h c (4 m ). tg 45 Hemos obtenido un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que por igualación obtenemos 1,731. m ( 4 m ). 1 m 13,86 m de donde n 4 13,86 10,14 Valor de la altura h c 13,86. 1,731 4 m. Valor de AC b Valor de BC a ,86 7,71 m ,14 6,05 m 14º.- Halla la altura de la torre QR, de pie inaccesible, y más bajo que el punto de observación con los datos de la figura