Área de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 4º ESO EJERCICIOS RESUELTOS DE REFUERZO Trigonometría

Transcripción

1 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que uno de sus catetos mide,5 cm y la ipotenusa, 6,5 cm. Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras: x +,5 = 6,5 x + 6,5 = 4,5 x = 6 Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto. Calculamos las razones trigonométricas de α: 6 sen α= 0,9 6,5,5 cos α= 0,8 6,5 6 tg α=,4,5 Calculamos las razones trigonométricas de β:,5 sen β= 0,8 6,5 6 cos β= 0,9 6,5,5 tg β= 0,4 6

2 a) Calcula x e y en el triángulo: b) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β. a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras: 5 = + y 5 = 9 + y 16 = y y = 4 cm Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden cm y 1 4 = 8 cm: x = + 8 x = x = 7 x 8,54 cm b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 4 4 sen α= = 0,8 cos α= = 0,6 tg α= = 1,! sen β= 0,5 cos β= 0,94 tg β= 0,75 8,54 8,54 8

3 Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC sabiendo que es rectángulo. Sea x la longitud de la ipotenusa; por el teorema de Pitágoras: 1, ,8 = x x = 466,56 x = 1,6 cm Calculamos las razones trigonométricas de α y β: 1,96 17,8 1,96 sen α= = 0,6 cos α= = 0,8 tg α= = 0,75 1,6 1,6 17,8 17,8 1,96 17,8 sen β= = 0,8 cos β= = 0,6 tg β= = 1,! 1,6 1,6 1,96 a) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es rectángulo. b) Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos. a) 10 = = = 100 Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo. b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β: sen α= = 0,6 cos α= = 0,8 tg α= = 0, sen β= = 0,8 cos β= = 0,6 tg β= = 1,!

4 Completa la tabla sin usar calculadora (0 α 90 ): α 0 sen α 1/ cos α 0 tg α 1 α sen α 0 1/ / 1 cos α 1 / / 0 tg α 0 / 1 NO EXISTE Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin usar calculadora (0 < α 90 ): sen α / cos α / tg α 0 α 0 sen α / 0 1/ / cos α 1/ 1 / / tg α 0 / 1 α

5 De un ángulo agudo, Halla cos α y tg α. α, conocemos que sen α =. 5 9 sen α+ cos α= cos α= + cos α= cos α= 1 cos α= cos α= sen α 4 tg α = = : = tg α = cos α Sabiendo que 0 < α < 90, completa la siguiente tabla usando las relaciones fundamentales: sen α 0,8 cos α tg α 0,75 sen α Si tg α = 0,75 = 0,75 sen α = 0,75 cos α cos α ( ) sen α+ cos α= 1 0,75 cos α + cos α= 1 0,565cos α+ cos α= 1 1, 565 cos α= 1 cos α= 0, 64 cos α= 0, 8 Luego, sen α = 0,75 0,8 = 0,6. Si sen α = 0,8 sen α + cos α = 1 (0,8) + cos α = 1 0,64 + cos α = 1 cos α = 0,6 cos α = 0,6 0,8 Luego, tg α= = 1,.! 0,6 Completamos la tabla: sen α 0,6 0,8 cos α 0,8 0,6 tg α 0,75 1,!

6 4 Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α, sabiendo que la tg α =. Si 4 sen α 4 4 tg α= = sen α= cos α cos α 4 16 sen α + cos α = 1 cos α cos α = cos α + cos α = cos α= 1 cos α= cos α= Luego, 4 4 sen α= sen α= 5 5 Completa la siguiente tabla aciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo que α es un ángulo agudo: sen α cos α 0,5 tg α 0,6 Si cos α = 0,5 (0,5) + sen α = 1 sen α = 0,975 0,97 Luego, sen α 0,97 y tg α =,88. 0,5 Si tg α = 0,6 sen α = 0,6 cos α (0,6 cos α) + cos α = 1 0,6 cos α + cos α = 1 1,6 cos α = 1 cos α 0,74 cos α 0,86 Luego, sen α = 0,6 0,86 0,5 y la tabla queda: sen α 0,97 0,5 cos α 0,5 0,86 tg α,88 0,6

7 Calcula sen α y cos α sabiendo que la tg α = 5 y α º cuadrante. Como tg α= 5 sen α= 5 cos α sen α+ cos α= 1 5 cos α+ cos α= cos α = 1 cos α = cos α = =, por estar α en el º cuadrante. 6 0 Así, sen α= 5 =. 6 6 La solución es: 6 0 cos α= y sen α= 6 6 Si sen α = 5 y 90 < α < 180, Cuánto valen cos α y tg α? α= α= α= 9 9 Si sen α = + cos α = 1 + cos α = 1 cos 1 cos cos donde elegimos el signo por ser 90 < α < 180. sen α Así, tg α= = : = tg α= cos α

8 Sabiendo que cos α= 5 y que α es un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen α 5 y tg α Como cos α= + sen α= 1 + sen α= sen α = sen α = (elegimos el signo por estar α en el 5 5 tercer cuadrante). sen α 5 5 Así, tg α= = : = tg α= cos α 5 5 Si cos α= y 70 <α< 60, calcula sen α y tg α. En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0. 7 α+ α= + α= α= α= 9 sen cos 1 sen 1 sen 1 sen sen α tg α= = : = = tg α= cos α

9 De un ángulo α sabemos que la tg α = 4 y que 180 < α < 70. Calcula sen α y cos α. sen α Como tg α= = sen α= cos α 4 cos α 4 4 sen sen α= cos α 4 α+ cos α= cos α+ cos α= cos α= cos α= cos α= por estar α en el tercer cuadrante Asi, sen α= sen 4 5 = α= 5 5 Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 15 y calcula sus razones trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante. Se observa en la circunferencia goniométrica que: sen 15 = sen 45 sen 15 = cos 15 = cos 45 cos 15 = Luego, tg 15 = 1.

10 Calcula las razones trigonométricas de 40 dibujando previamente este ángulo en la circunferencia goniométrica. En el dibujo se observa que: sen 40 = sen 60 sen 40 = 1 cos 40 = cos 60 cos 40 = sen 40 1 Luego: tg 40 = = : = tg 40 = cos 40

11 Representa en la circunferencia goniométrica sen 150, cos 150 y tg 150. Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150 con un ángulo del primer cuadrante. En la circunferencia goniométrica observamos: 1 sen 150 = sen 0 sen 150 = cos 150 = cos 0 cos 150 = tg 150 = tg 0 tg 150 =

12 Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo de 5, y calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 5 con uno del primer cuadrante. Observamos que: sen 5 = sen 45 sen 5 = cos 5 = cos 45 cos 5 = tg 5 = tg 45 tg 5 = 1

13 Expresa, con valores comprendidos entre 0 y 60, el ángulo de 10. Calcula sus razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante. 10 = , luego calcular las razones trigonométricas de 10 equivale a calcular las razones trigonométricas de 0. sen 10 = sen 0 = sen 0 cos 10 = cos 0 = cos 0 Así: 1 sen 10 = ; cos 10 = ; tg 10 =

14 Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado, este forma con el suelo un ángulo de 60. A qué distancia de la casa cae el cable? Llamamos a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la ipotenusa, y tenemos que allar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica: 9 sen 60 = = 9 sen 60 = = 7,79 m 9 La altura de la casa es de 7,79 m. Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno es la razón trigonométrica que debemos usar: x 1 cos 60 = x = 9 cos 60 = 9 = 4,5 m 9 El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa. Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de la antena bajo un ángulo de 0. Llamamos a la altura de la antena. Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la tangente será la razón trigonométrica a usar: tg 0 = = 18 tg 0 = 18 = 6 10,9 m 18 La altura de la antena es de 10,9 m.

15 Un tronco de 6, m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55. a) A qué altura de la pared se encuentra apoyado? b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco asta la pared. altura que alcanza el tronco apoyado en la pared. x distancia desde el extremo inferior del tronco asta la pared. La ipotenusa del triángulo que se forma mide 6, m, y un ángulo agudo, 55. Así: a ) sen 55 = 6, = 6, sen 55 6, 0,8 = 5,08 m El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo. x b ) cos 55 = x = 6, cos 55 6, 0,57 =,5 m 6, La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de,5 m. Carlos sube por una rampa de 5 m asta el tejado de su casa. Estando aí, mide la visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70. Calcula la altura de la casa de Carlos y el ángulo que ay entre la rampa y el suelo. Llamamos a la altura de la casa y α al ángulo que ay entre la rampa y el suelo. Calculamos α: α = 180 α = 0 Calculamos : cos 70 = = 5 cos ,4 5 = 11,9 m es la altura de la casa de Carlos.

16 El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un árbol con la parte superior del árbol es de 40. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol mide 15 m de altura. Sea x la longitud de la sombra del árbol. Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la tangente es la razón trigonométrica a usar: tg 40 = x 17,86 m x = tg 40 0,84 La sombra del árbol mide 17,86 m.

17 Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular. Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de 50 ; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 5. Averigua la altura de la estatua y la superficie del lago. Hacemos una representación. Llamamos: altura de la estatua x radio del lago tg 50 = = x tg 50 x tg 5 = = ( x + 45 ) tg 5 x + 45 ( ) x tg 50 = x + 45 tg 5 ( ) x 1,19 = x+ 45 0, 7 1,19 x = 0, 7 x+ 1, 5 0, 49 x = 1, 5 x = 64, 9 dm Luego = 64,9 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m Calculamos la superficie del lago circular: ( ) ACIRCULO =π x,14 64,9 1978,6 dm 19,78 m La superficie del lago es de 19,78 m.

18 El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68. La granja A está a 0 m de ese punto, y la granja B, a 45 m. A qué distancia en línea recta está la granja A de la granja B? Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B. Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura que lo divide en dos triángulos rectángulos: AHC y AHB. En el triángulo AHC conocemos C! = 68 y AC = 0, podemos calcular e y : y cos 68 = 0 y = 0 cos 68 = 0 0,7 = 85,1 m sen 68 = 0 = 0 sen 68 = 0 0,9 = 1,9 m En el triángulo AHB, aora conocemos = 1,9 m y 45 y = 45 85,1 = 49,9 m. Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras: ( 45 ) ( 1,9) ( 49,9) x = + y x = + x = 4575, ,01 = 16818, 410,1 m La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m.

19 La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los lados iguales es de 40. Calcula el perímetro y el área del triángulo. Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos. Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura,, y del otro lado, x. En cada triángulo conocemos el ángulo de 0 y el cateto opuesto a este ángulo que mide 64 cm. = sen 0 = x = = 94,1 cm x sen 0 0,4 cos 0 = cos 0 = = 94,1 cos 0 x 94,1 94,1 0,94 88,47 cm Luego: Perímetro = ,1 = 5,4 cm 64 88,47 Área = = 81,04 cm

20 Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 5 ; retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 5. Calcula la altura del árbol y la ancura de río. Hacemos una representación del problema y llamamos: altura del árbol x ancura del río tg 5 = = x tg 5 x tg 5 = = ( x + 5 ) tg 5 x + 5 ( ) ( ) xtg5 = x+ 5 tg5 0,7x= x+ 5 0,47 0,7x= 0,47x+,5 0,x =,5 x 10, m = 10, 0,7 = 7,15 m La altura del árbol es de 7,15 m, y la ancura del río, de 10, m.

21 Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa: Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB. Del dibujo deducimos: tg 45 = = x tg 45 x tg 4 = = ( 8 x) tg 4 8 x ( ) ( ) xtg45 = 8 xtg4 x= 8 x0,9 x= 7, 0,9x 1,9 x= 7, x =,79 km, luego =,79 km De este modo emos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el teorema de Pitágoras, obtendremos la ipotenusa en cada caso: b x ( ) = + = = ( ),79,79 5,6 km a = + 8 x =,79 + 4,1 5,66 km La ambulancia A está a 5,6 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km.