1. Determina la medida en radianes de los siguientes ángulos o viceversa.

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1 EJERCICIOS. 1. Determina la medida en radianes de los siguientes ángulos o viceversa. a) 150º b) rd c) 10º d) 3 rd e) 135º f) 3 4 rd g) 60º h) 4 5 rd i) 450º j) 7 4 rd k) 360º l) 5 rd. Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos α y β dados en las siguientes figuras: 3. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos, B = 37º, y su hipotenusa mide a = 5 m. 4. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos B = 9º, y el cateto opuesto, b = 4 5 m. (Solución: C = 61º, a = 9 9 m, c = 8 1 m) 5. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus ángulos, B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7 3m. (Solución: C = 39º, b = 9 01m, a = 11 60m) 6. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa, a = 4 6m, y un cateto, c = 3 1m. (Solución: b = 3 40m, B = 47º37 4, C = 4º 35.) 7. Una escalera de está apoyada en una pared de tres metros de altura haciendo un ángulo con la horizontal de 60º Cuánto mide la escalera?, a cuánto está el extremo inferior de la escalera de la pared? 1

2 8. Cuando los rayos del sol forman 40 con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. Cuál es su altura? 9. Un barco está a una distancia de 000 m, de una isla en la que se erige un faro. El ángulo respecto a la horizontal desde el que el barco ve la luz del faro es de 30º. Calcula la altura del faro? 10. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º. 11. Los brazos de un compás, que miden 1 cm, forman un ángulo de 50. Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura? 1. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la altura del acantilado es de 00 m, a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado? (Solución: 57,35 m) 13. Cuatro cables sujetan desde el suelo una torreta vertical de telecomunicaciones. Si cada cable mide 150 m y hacen con la horizontal un ángulo de 65º. Cuánto mide la torreta? 14. El ángulo con un determinado avión está tomando tierra es de 0º respecto a la horizontal. Si se encuentra a m de altura en el momento en que pasa por encima de mí, a qué distancia respecto de mí, aterrizará el avión? 15. Un compás traza una circunferencia de 4 cm de diámetro bajo un ángulo de apertura de 10 º. Cuánto miden los brazos del compás? 16. Estoy en un Ferry a una distancia de 00 m de la estatua de la libertad. Veo la corona de la estatua desde un ángulo de 5º aproximadamente. Cuál es la altura de la estatua de la libertad? 17. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. (Solución: h = 7,6 m, S = 6,86 m ) 18. Un chico está haciendo volar su cometa y ha soltado la totalidad del hilo, 47 m. En ese momento observa que el ángulo que forma la cuerda con el suelo es aproximadamente de 50º. A qué altura se encuentra la cometa? (Sol: 33 3 m) 19. Desde lo alto de un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco formando un ángulo de 55º con la horizontal. A qué distancia se halla el barco? (Sol: 8 m) 0. Con un compás hemos realizado una circunferencia de 10 cm de radio. Si el ángulo de abertura de las ramas es de 5º, Cuánto miden las ramas de dicho compás? 1. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos al máximo, formen un ángulo de 60º. Si la altura de la escalera, estando abierta al máximo, es de metros, Qué longitud deberá tener cada brazo? (Sol: 31 m)

3 . Calcula la superficie de las siguientes figuras, a) b) c) d) 3. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras. a) Heptágono regular con lado de longitud 10 cm b) Decágono regular con lado de longitud 5 5 cm. 4. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras. a) Eneágono regular con apotema de longitud 5 cm b) Dodecágono regular con apotema de longitud 7 cm. 5. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras. a) Eneágono regular con radio de longitud 10 cm b) Dodecágono regular con radio de longitud 5 5 cm. 3

4 B. Cálculo de razones a partir de una conocida. 31. Comprobar las siguientes expresiones, a) sen x cos x tg x sec x b) cos xsen x cos x cos x 0 c) cos x cosecx 1 cos x cot g x cosecx d) senx cos x senx cos x e) cos x tgx cot gx sec x cos x tgx f ) tg x sen x tg x sen x g) sec x cos x tg cosecx senx x h) sec x cosec x sec x cosec x i) cos sen cos 1 tg j) 1 1 tgx senx cos x cosecx 3. Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo que: 1 a ) cos 0 5 b) sen c) cos d) sen Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo que: a ) tan 4 b) cot an 3 c) tg 0 5 d) cot an 5 e ) sec 10 f ) cosec g) sec 6 h) cosec Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo sabiendo que está en el cuadrante que se indica, a) senα = 0 3 con rd < α < rd b) cosα = 0 5 con 3 rd < α < rd c) tanα = 0 8 con rd < α < 3 rd d) cotanα = 0 6 con rd < α < rd 35. Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo sabiendo que está en el cuadrante que se indica, a) cosα = 0 4 con 5 rd < α < 3 rd b) tanα = 1 con rd < α < 0 rd c) cotanα = 0 75 con rd < α < 3 rd d) secα = con 3 rd < α < rd 4

5 35. Completa la siguiente tabla de valores correctamente sin calculadora, α en radianes α en grados sen α cos α tan α 0 rd 6 rd 4 rd 3 rd rd rd 3 rd 37. Sabiendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º, relaciona cada razón trigonométrica con alguna razón de estos ángulos. a) cos 5º b) sen 300º c) tan 135º d) sen 150º e) cos 330º f) tan 10º g) sen 315º h) cos 495º i) tan( 10º) j) sen 600º k) cos( 390º) l) tan 130º m) sen( 150º) n) cos 960º m) tan( 675º) n) sen( 810º) 38. Siendo α un ángulo agudo, relaciona cada razón trigonométrica con las razones de dicho ángulo, a) sen (180º + α) b) cos(90º + α) c) tan(70º + α) d) sen( α) e) cos ( 70º α) f) tan(70º α) g) sen(180º α) h) cos(360º + α) i) tan( 90º + α) j) sen( 180º α) k) cos(90º α) l) tan( 360º + α) 5

6 D. Problemas de doble observación 41. Andrea ve un árbol con un ángulo de visión de 30º respecto a la horizontal. Al acercarse 0 m al árbol, su ángulo de visión cambia a 50º. Calcula la altura del árbol. 4.Queremos conocer el ancho de un río y la altura de un árbol inaccesible que está justo en la orilla contraria a la nuestra. Para ello nos situamos en la orilla del río y vemos la copa del árbol bajo un ángulo de 41º. A continuación retrocedemos 5 m y vemos ahora el árbol bajo un ángulo de 3º. Hallar el ancho del río y la altura del árbol. (Sol: La anchura del río es 3 86 m y 0 74 m la altura del árbol). 44. Una antena está sujeta al suelo por dos cables de acero como indica la figura. Calcular la altura de la antena y la longitud de los cables. (Sol: m; 9 4 m y m) 45. Desde un cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, este ángulo se hace de 60º. Hallar la altura de la torre. (Sol: m) 46. Desde un barco se ve la cima de un acantilado bajo un ángulo de 70º respecto a la horizontal. Al alejarse 100m, dicho ángulo disminuye a 30º. Hallar la altura del acantilado. (Sol: m) 47. Dos edificios gemelos distan 150 m. Desde un punto que está entre ellos vemos que las visuales a los puntos más altos forman con la horizontal ángulos de 35º y 0º respectivamente. Hallar la altura de ambos edificios. A qué distancia estamos de cada edificio?, Cuánto mide cada edificio? (Sol: 35 9 m; 51 3 m; 98 7 m respectivamente) 48. Dos observadores A y B distantes 300 Km, se ocupan del seguimiento de un satélite. Las direcciones al satélite y al otro observatorio forman un ángulo de 65º desde A y de 70º desde B. Cuál es la distancia del satélite a cada observatorio? A qué altura está situada? 49. Un avión vuela a cierta altura y en un determinado instante se encuentra sobrevolando la línea imaginaria que une dos torres que están separadas 10 Km. Al no funcionar el altímetro, el piloto toma los ángulos de depresión de ambas torres (0º y 15º). Determina la altura a la que se encuentra el avión en ese momento. 50. Dos edificios distan entre sí 150 m. Desde un punto que está entre los dos edificios vemos que las visuales a los puntos más altos de éstos forman con la horizontal ángulos de 35º y 0º, respectivamente. Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo? 6

7 51 En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías. E. Problemas sobre cálculo de ángulos e inclinaciones. 61.Una escalera está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista m de la pared? (Sol: 60º) 6. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa, a = 5 7m, y un cateto, b = 4 6m. (Solución: C = 36º ; B = 53º c = 3 37m.) 63.El diámetro de una moneda de dos euros es de,5 cm (aprox). Averigua el ángulo que forman sus tangentes trazadas desde una distancia de 4,8 cm del centro, como indica la siguiente figura: 64. En una carretera inclinada, cada 100 m de carretera que recorremos, subimos una altura de m. Qué ángulo de inclinación tiene la carretera? 65. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos, b = 3 5m y c = 8m. (Solución: B = 51º0 4, a = 4 48m, C = 38º39 35 ) 66. Si las puntas de un compás abierto, distan 6 5 cm y cada rama mide 11 5, qué ángulo forman dichas ramas? (Sol: 31º 3 ) 67.Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, Qué ángulo forman los rayos del sol con el suelo? (Solución: 63º 6 6 ) 68.Calcular los ángulos de un rombo de diagonales 1 y 8 cm (Sol: 11º 37 y 67º 3 ) 69. Calcula la inclinación los cables de un teleférico que sube al Teide, montaña que mide 3555 m de altura si estos se extienden sobre longitud de 48 m. 7