UNIDAD 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 UNIDAD 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Uso de la calculadora. Calcula, usando calculadora: a) sen 0 b) cos 70 e) cos 89 0 f) tan c) tan 0 0 g) sen 80 7 d) sen 7 0 h) cos 6 8. Encuentra el valor del ángulo para cada valor dado de la función trigonométrica: a) sen C = b) tan B = 0. c) cos X = d) cos A = e) sen B = g) sen Y = f) tan =. 9 h) cos = 0. 7 Triángulos Especiales. Calcula, sin utilizar tablas o calculadora, especiales dados: a) sen 60 b) sec 0 e) csc f) sen 80 i) tan 0 j) cot las funciones trigonométricas de los ángulos c) g) k) cos 90 tan 70 sec 0 d) h) l) cot 0 cos csc 60. Sin utilizar tablas ni calculadora, calcula y simplifica: a) sen cos = b) sen + 8 cos = cos 60 cos 0 csc 0 sen c) Solución de triángulos rectángulos, ángulos de depresión. Considera el ABC, en donde el vértice del ángulo recto es C. Resuelve el triángulo ABC con los datos dados en cada inciso: b) a = 7, b = a) c =, c) a =, b =, c = 6. Encuentra los valores que se piden en cada ejercicio de acuerdo con los datos dados en la figura correspondiente: a) Hallar x, y, z, w b) Si ST = unidades, encontrar US y RV S D z U w E A R T y 0 0 x 9 C V

2 7. Resuelve cada uno de los siguientes problemas sobre triángulos rectángulos: a) La longitud de un hilo que sostiene un papalote es de 0 m y su ángulo de elevación es de 0. Hallar la altura a que se encuentra el papalote suponiendo que el hilo que la sostiene se mantiene recto. b) Desde la parte superior de una torre de 0 m de altura, se observa que el ángulo de depresión de un objeto que está a nivel con la base de la torre es de 7. Cuáles son las distancias del objeto a la punta y a la base de la torre? c) Cuál es el ángulo de elevación de un plano inclinado si se eleva m en una distancia de 0 cm? d) Un poste de 0 m de longitud proyecta una sombra de 8. 9 m. Hallar el ángulo de elevación del sol. e) Un árbol se ha partido al caerle un rayo, en un punto situado a m del suelo, pero no se encuentra completamente roto; el extremo descansa sobre el suelo formando con él un ángulo de 0. Qué altura tenía el árbol? f) De un faro que está a 00 m sobre el nivel del mar, un observador ve dos botes, P y Q, en línea recta. Si los ángulos de depresión medidos por el observador son de 6 y respectivamente, hallar la distancia entre los dos botes. g) Con los datos que se dan en la figura, calcular la altura,, del edificio. h) Calcular la altura del edificio con los datos de la figura: h 0 8 a 0 m i) Cuando cierto rascacielos se ve desde arriba de un edificio de 0 m de altura, el ángulo de elevación es de 9. Cuando se ve desde la acera, al pie del edificio pequeño, el ángulo de elevación es de 6. Calcule la altura del rascacielos y la distancia entre los edificios. j) Una cabaña con forma de triángulo isósceles, tiene 7 m de altura en el centro y m de ancho en la base. Calcule el ángulo que forma el techo con el piso.

3 k) Desde la cumbre de una montaña se observa que los ángulos de depresión de la parte superior e inferior de una torre de 97 m de altura son y, respectivamente. Qué altura sobrepasa la montaña a la torre? UNIDAD 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO Definir grados y radianes, conversiones de un sistema a otro c) Convierte el ángulo dado, de grados sexagesimales a radianes o de radianes a grados sexagesimales, según se indique: a) b). c). d) 8 e) 70 f) 08 g). rad h).7 rad rad i) j) 7 rad 6 k) rad l) rad Ángulos en posición normal 8. Traza en posición normal los ángulos cuyos lados terminales pasan por el punto dado. Designe por el ángulo positivo y por el ángulo negativo. Indica el cuadrante de cada ángulo: a) (,) b) (0, ) c) ( 7, ) d) (, ) f) (,) g) ( 7, 9) h) (, 0 ) e) (, ) 9. Dibuja los siguientes ángulos en posición normal, indicando mediante una flecha la amplitud y el sentido de rotación: a) 90 c) 60 d) 80 b) e) 87 f) 80 g) 60 h) Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, halla las demás funciones: c) csc 7 a) sen d) cot b) cos e) tan 0 h) tan f) sec 7 g) sen 9. Calcula lo que se pide en cada inciso: ( a ) Si cos, hallar sen cos ( b ) Si sen y, hallar tan x. Hallar las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas: (a) sen en el II cte. (b) cos en el III cte. (c) tan en el IV cte.

4 ( d ) cot en el IVcte. ( e ) sec en el I cte. ( f ) csc en el IIcte.. Halla el valor de sen, si cos y tan es positiva. Ángulos reducidos. Previa reducción al primer cuadrante, calcula el valor del ángulo, en cada caso: ( a ) sen = 0. ( b ) cot =. ( c ) tan = ( d ) sen = 0. ( e ) sec =. 8 ( f ) cos = 0. UNIDAD 0 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS. En cada uno de los ejercicios siguientes, resuelve el triángulo oblicuángulo que corresponde a los datos dados y calcula su área: a) a = 7, b = 9, c = b) a = 6, c = 0, B = 6 c) B = 9, b =., C = d) a = 7, B = 8, C = 0 e) a =, B, A = 86 f) b =, c =, A = 67 g) c =, B = 8, C = 78 8 h) c =., C = 6 6, a =. 7 i) a =, b = 7, c = 9 j) A =, B = 6, a = k) b =., C =, B = 9 l) B = 8, C = 8, a =. 7 m) a = 0, c = 0, B = 0 n) A = 7 0, B = 0, a =. 6. Resuelve cada uno de los siguientes problemas sobre triángulos: a) Desde los puntos A y B, distanciados 00 m uno del otro, sobre una playa, se observa un barco C, en donde se tiene que CAB = 70 y CBA =. Cuál es la distancia del barco al punto A?. A qué distancia está el barco de la playa representada por AB? b) Calcular la distancia entre dos puntos A y B, separados por un obstáculo. Se ha elegido un punto de referencia C y se han obtenido las medidas CA = 6 m, CB =. m y C = 68. Cuál es la distancia AB?

5 c) Se va a construir un túnel atravesando una montaña, como se muestra en la figura. Si se tienen las medidas ACB = 79., AC = 8 m y BC = 8 m, calcular la longitud del túnel AB y la altura h de la montaña. d) La ruta más rápida entre dos ciudades A y B, separadas por un valle es viajando por dos caminos rectos de. 6 km y de. 9 km que se cruzan formando un ángulo de 0. Si se construyera un puente sobre el valle y se hiciera el camino recto, cuántos kilómetros se ahorrarían? e) Dos observadores militares que están a una distancia de km uno del otro sobre una llanura horizontal, determinan que los ángulos de elevación de un avión que está sobre la recta que los une miden, respectivamente, 0 y 60. Hallar la distancia del avión a cada uno de los observadores y la altura a que se encuentra el avión sobre el nivel de la llanura. f) Un faro está situado a 0 km al noroeste de un muelle. Un barco parte del muelle a las 9:00 a. m., y navega hacia el oeste a una velocidad constante de km / h. A qué hora se encontrará a 8 km del faro? g) Determinar el valor de CD, a partir de los datos de la figura siguiente: C D 0 B 00 m A

6 UNIDAD IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Identidades trigonométricas recíprocas, pitagóricas, cociente Haciendo uso de las identidades de la tabla que se da enseguida, demuestra cada una de las identidades que se piden: FUNCIONES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS IDENTIDADES POR COCIENTE csc sec cot sen cos tan sen cot cos tan sec csc sen cos cos sen tan cot. cos sen cos. cos ( sen )( sen ). tan sec sec sen cos. cos sec sec csc. sec 6. sen cos sen sen tan cot 7. sen cos tan sec tan 8. sec tan cos sen tan 9. cos x sen x sen y sen x cos x 0. cot y csc y tan x cot x cos y sec x csc x tan x cot x tan ( cot ). tan x. tan x tan cot. tan csc A. csc A sec A csc A cos A cos A sen A tan A. sen cos sen cos sen x tan x 6. sen x tan x csc x cot x 7. cos sen cos A sen A sen A 8. cot A cos A cos cos sen A 9. sec sec tan A sen A 0. sec A cos A sec tan csc A cot A csc A cot A 6

7 . sec tan sec tan cot xcos x csc x( sen x) sen x sec tan. sen x sen y cos y sec y sen y sec x tan x. sen x sen y tan y. csc A cot A csc A csc A 6. cos A cos A sen A 7. cot x sec x csc x( sen x) tan x Identidades trigonométricas, ángulos dobles y mitad Haciendo uso de la siguiente tabla de identidades para ángulos dobles y mitad, demostrar las identidades que se dan en cada caso: FORMULAS DE DESARROLLO ANGULOS DOBLES ANGULOS MITAD sen ( ) sen cos cos sen sen ( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen sen sen cos cos cos cos sen sen sen cos cos cos cos( ) cos cos sen sen tan tan tan( ) tan tan tan tan tan( ) tan tan tan tan tan tan cos cos cos sen sen cos. sen ( ) sen. cos ( ) cos. sen cos. tan sen cos. sen sen sen 6. sen cos sen tan cos sen A sen A tan A tan sen cos A cos A 7

8 sen x 9. cot x sec x csc x sen x tan x sen x 0. tan x sen x. sen x sen x sec x sen x sec x cos x sen x. csc x sen x cos x. cos A sec sec A A sec x sec y. csc( x y ) tan x tan y sen A cos A sen( x y). sec A 6. tan x tan y sen A cos A cos x cos y tan( ) tan 8. tan tan tan sec 7. tan tan( ) tan 9. tan x cos x cos x 0. cos ( x y) cos( x y) cos x sen y cos. sen sen cos sen cos. cot tan sen cos tan. tan( º ) tan. tan cot csc 7. cos cos cos. sen ( x y) sen ( x y) cos y cos x 6. cos cos sen sen sen tan tan tan 8. tan tan tan 9.. secx csc csc x x sen ( x 7º ) cos ( x 7º ) cos ( x 7º ) sen ( x 7º ) sen x. cos x sen x 0. sen ( x y) sen ( x y) sen x sen y 8

9 UNIDAD ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0,. sen x 0 Sol. x, 6 6. sen x 0 Sol. x,. sec x 0 7 Sol. x,,, 7. sen sen cos 0 Sol. 0,,, 9. sec cos sec 0 7 Sol.,. tan sec 7 Sol.,,, cos sen Sol.,. sen cos Sol. 0, 7. sen csc 7 Sol.,, tan cot sec Sol., 6 6. sen sen 0 Sol.. cos cos 0 Sol.,. sen x cos x 0 Sol. x 0,,,. cos x 0 Sol. x,,, 6. csc 0 7 Sol.,,, cos cos Sol.,,, 0. sen cos cos 0 7 Sol.,,, 6 6. sec tan Sol. 0,,,. cos sen Sol., 6. tan tan 0 Sol., 8. cos sen Sol. 0, 0. tan cot 7 Sol.,,, 6 6. sen sen 0 7 Sol.,, 6 6. tan ( ) tan Sol.,,, 9

10 . sen cos 0 6. tan 9 0 Sol., 7 Sol.,,,,, sen cos cos Sol.,,,,,,,,, cos sec cos 9. sen cos 0 7 Sol.,,,,, Sol.,,, sen Sol.,,,,, cos 0. sen cos 7 9 Sol. 0 Sol.,,,. cos sen Sol.,,,,,,, ,, 6 0