MATEMÁTICA Trigonometría Guía Nº 5

Transcripción

1 MATEMÁTICA Trigonometría Guía Nº 5 APELLIDO: Prof. Karina G. Rizzo 2. Consideremos el triángulo abc rectángulo en b. c a) completa: la es ac los s son ab y bc a b b) teniendo en cuenta el ángulo a, tacha lo que no corresponda: el cb es el ab es c) Construye en tu carpeta el triáng. abc y traza ed // cb queda así formado el triáng. ade donde la es ae y, con respecto al ángulo a, el es ad y el es ed e c ab = 6cm cb = 8cm ac = 10cm ad = 4cm ed = 5,3cm ae = 6,6cm a d b d) Comprueba, en tu carpeta, que los triángulos ade y abc son semejantes. a ángulo común b = dˆ ángulos correspondientes entre ed // cb ade ~ abc (A.A) Proporcionalidad de sus lados: ed ae ad cb ac ab Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 1

2 ed ae e) Transcribe la igualdad entre las dos primeras razones ; realiza el pasaje de términos cb ac para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade y, en la segunda razón, los del ed cb triáng. abc : ae ac Observa que, con respecto al ángulo a, ambas razones son el cociente entre el y la de los triángulos ade y abc respectivamente. f) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados. ed ae 5, 3 6, 6 cb 8 0,8 ac 10 0,8 g) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, cómo resultarían las razones entre el y la de cada uno de esos triángulos? iguales por qué? cómo son los lados de todo par de triángulos semejantes? proporcionales. Es decir que la razón entre el y la es constante. A ese valor constante se lo denomina seno del ángulo a. h) DEFINICIÓN: se llama seno de un ángulo a la razón entre el y la sen a = 3. Observa la proporción del punto 2.d) y completa: ad ae ab ac a) Realiza el pasaje de términos para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade ad ab y, en la segunda razón, los del triáng. abc : ae ac Observa que, con respecto al ángulo a, ambas razones son el cociente entre el y la de los triángulos ade y abc respectivamente. b) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados. ad ae 4 6, 6 ab 6 0,6 ac 10 0,6 c) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, cómo resultarían las razones entre el y la de cada uno de esos triángulos? iguales por qué? porque los lados son proporcionales. Es decir que la razón entre el y la es constante. A ese valor constante se lo denomina coseno del ángulo a. Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 2

3 d) DEFINICIÓN: se llama coseno de un ángulo a la razón entre el y la cos a = 4. Observa la proporción del punto 2.d) y completa: ed ad cb ab a) Realiza el pasaje de términos para que en la primera razón aparezcan los lados del triángulo ade ed cb y, en la segunda razón, los del triáng. abc : ad ab Observa que, con respecto al ángulo a, ambas razones son el cociente entre el y el de los triángulos ade y abc respectivamente. b) Verifica esa igualdad midiendo con precisión y realizando los cocientes indicados. ed ad 5, 3 4 cb 8 1,3 ab 6 1,3 c) Si tuviéramos otros triángulos semejantes al dado, cómo resultarían las razones entre el y el de cada uno de esos triángulos? iguales por qué? porque los lados son proporcionales. Es decir que la razón entre el y el es constante. A ese valor constante se lo denomina tangente del ángulo a. d) DEFINICIÓN: se llama tangente de un ángulo a la razón entre el y el tg a = 5. Resumiendo: sen a = cos a = tg a = Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 3

4 6. Construye un triángulo rectángulo (como el del ejercicio 1.) tal que a = Se construye el triángulo comenzando con la base ab de cualquier medida ( por ejemplo ab =5cm ). Luego se marcan, en los etremos de ese segmento, los ángulos a = 60º y b = 90º. Se prolongan los lados hasta que se cortan en c. Mide sus lados y calcula el valor del sen a, cos a y tg a. ab =5cm cb = 8,6cm ac = 9,9cm sen 60º = cb ac 8, 6 9, 9 0,86 cos 60º = ab ac 5 9, 9 0,5 tg 60º= cb ab 8, 6 5 1,7. 7. Completa y calcula la razón correspondiente en cada caso 9cm 12cm 15cm sen = cos = tg = 12 = 0, = 0, = 9 1, cm 8,06cm 4cm sen = cos = tg = 4 = 0, ,06 7 = 0, ,06 4 = 7 0,57142 IMPORTANTE : cuando se trabaja con funciones trigonométricas, la cantidad mínima de decimales es CINCO Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 4

5 USO DE LA CALCULADORA : Primero hay que comprobar que esté en sistema seagesimal. Se observa en la pantalla (en algunos de los bordes de arriba o abajo) la abreviatura DEG o D Las teclas correspondientes a las funciones trigonométricas son : Seno : sin Coseno : cos Tangente : tan La tecla correspondiente a grados minutos segundos es : º 8. Hallar con la calculadora: sen 50º, cos 30º, tg 60º, sen 34º56, tg 45º 6, cos 32º45, sen 45º25 12, cos 70º34 27, tg 11º7 20. sen 50º = 0,76604 Para calcular el sen 50º procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla sin anotamos la medida del ángulo : 50 presionamos la tecla º presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 0,76604 cos 30º = 0,86602 Para calcular el cos 30º procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla cos anotamos la medida del ángulo : 30 presionamos la tecla º presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 0,86602 tg 60º = 1,73205 Para calcular la tg 60º procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla tan anotamos la medida del ángulo : 60 presionamos la tecla º presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 1,73205 Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 5

6 sen 34º56 = 0,57262 Para calcular el sen 34º56 procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla sin anotamos los grados del ángulo : 34 presionamos la tecla º anotamos los minutos del ángulo : 56 presionamos la tecla º presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 0,57262 sen 45º25 12 = 0,71227 Para calcular el sen 45º25 12 procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla sin anotamos los grados del ángulo : 45 presionamos la tecla º anotamos los minutos del ángulo : 25 presionamos la tecla º anotamos los segundos del ángulo : 12 presionamos la tecla º presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 0,71227 Trabajamos de la misma manera con las funciones restantes 9. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente estos datos: Resolver un triángulo significa calcular todos sus lados y todos sus ángulos que faltan. Como se pide utilizar solamente los datos, dicho cálculo se debe hacer a partir de la información dada Realizar el dibujo para hacer un razonamiento correcto a) bc = 25,4 m y b = 63º b Datos : bc y b Debemos calcular : ab, ac y ĉ a y c Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 6

7 Recordamos que hay que trabajar usando solamente los datos (en este caso bc y b ), por lo tanto, para cada planteo, el ángulo b será nuestro ángulo de referencia y bc es la (pues el ángulo recto es â ) Cálculo de ab = : Respecto de b, ab es el ; el otro dato es bc (). La función trigonomérica que relaciona el con la es el COSENO. Entonces planteamos : Reemplazamos : cos bˆ = cos 63º = 25,4 ab = bc Con la calculadora resolvemos cos 63º = 0,44393 y reemplazamos Resolvemos la ecuación 0,44393 = 25,4 = ab = 11,27582 m Cálculo de ac = y : Respecto de b, ac es el ; el otro dato es bc (). La función trigonomérica que relaciona el con la es el SENO. Entonces planteamos : Reemplazamos : sen bˆ = sen 63º = y 25,4 ac = bc Con la calculadora resolvemos sen 63º = 0,89606 y reemplazamos Resolvemos la ecuación 0,89606 = y 25,4 y = ab = 22,75992 m Cálculo de ĉ : Como â = 90º, b = 63º 38 42, planteamos : â + b + ĉ = 180º Reemplazamos y resolvemos Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 7

8 10. Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m de su pie y ve al poste bajo un ángulo de 53º Cuál es la altura del poste? Como en toda situación problemática, realizar el dibujo para hacer una interpretación y razonamiento correctos POSTE ˆ = 53º m OBSERVADOR 3,5 m Respecto del ángulo, la altura del poste () es el y, la distancia desde el poste hasta el observador (3,5 m) es el. La función trigonométrica que relaciona el con el es la TANGENTE Planteamos : tgˆ = Reemplazamos : tg 53º = 3,5 Con la calculadora resolvemos tg 53º = 1,34343 y reemplazamos Resolvemos la ecuación 1,34343 = 3,5 = altura del poste = 4,70202 m 11. TORRE ˆ = 20º 62 m Respecto del ángulo, la altura de la torre (62 m) es el y, la sombra ( m) es el. La función trigonométrica que relaciona el con el es la TANGENTE SOMBRA = m 12. Hallar sabiendo que: sen = 0,5 ; cos = 0,894 ; tg = 2,345 ; cos = 0,342 ; sen = 0,2 tg = 1,264 ; sen = 0,866 ; cos = 0,866 ; tg = 1 En este caso, debemos hallar la medida del ángulo teniendo como dato, el valor de la función trigonométrica (situación contraria a la del ejerc. Nº 8) Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 8

9 Para calcular ˆ, siendo el sen = 0,5, procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla SHIFT presionamos la tecla sin anotamos el valor de la función trigonométrica : 0,5 presionamos la tecla = se lee en la pantalla el resultado : 30 ˆ = 30º Para calcular ˆ, siendo cos = 0,894, procedemos de la siguiente manera : presionamos la tecla SHIFT presionamos la tecla cos anotamos el valor de la función trigonométrica : 0,894 presionamos la tecla = se lee en la pantalla : 26, presionamos la tecla º se lee en la pantalla : 26º 37º 11,03 ˆ = 26º Hallar los ángulos y de los triángulos del ejercicio nº 7. En el ejerc. Nº 7 tenemos las medidas de todos los lados del triángulo. Por lo tanto, se puede trabajar con cualquier función trigonométrica Cálculo de ˆ : sen ˆ = 0,49627 resolvemos con la calculadora : ˆ = 29º Lo mismo para ˆ 14. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente estos datos: a) bc= 49 cm y ac = 30 cm b 49cm Recordamos que hay que trabajar usando solamente los datos (en este caso bc y ac ) a 30cm c Cálculo de ab = Como los datos son bc y ac, se aplica directamente el teorema de Pitágoras Planteamos : H 2 = C 2 + C 2 Reemplazamos : 49 2 = Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 9

10 Resolvemos : = ab = 38,74274 cm Cálculo de bˆ : Respecto de bˆ, bc es la y ac es el. La función trigonométrica que relaciona el con la es el SENO. Entonces planteamos : ac sen bˆ = bc 30 Reemplazamos : sen bˆ = 49 Resolvemos : sen bˆ = 0, (recordar que se trabaja con un mínimo de 5 decimales) Utilizamos la calculadora como en el ejerc. Nº 12 para obtener la medida del ángulo: bˆ = 37º 45 7 Cálculo de ĉ : Respecto de ĉ, bc es la y ac es el. La función trigonométrica que relaciona el con la es el COSENO. Entonces planteamos : ac cos ĉ = bc 30 Reemplazamos : cos ĉ = 49 Resolvemos : cos ĉ = 0, (recordar que se trabaja con un mínimo de 5 decimales) Utilizamos la calculadora como en el ejerc. Nº 12 para obtener la medida del ángulo: ĉ = 52º Calcular el ángulo que forma con el suelo una rampa de 6 m de largo y que llega a una altura de 1,5 m. altura = 1,5 m rampa = 6 m ángulo = Para calcular el ángulo, los datos son : la altura = 1,5 m = y el largo de la rampa = 6 m = 1, 5 Planteamos : sen = 6 Resolvemos : sen = 0,25 Calculamos el ángulo : ángulo de la rampa = = 14º Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 10

11 pared escalera altura pared = 70 º longitud escalera = y 2 m acantilado 20 m 68º altura del acantilado = 18. Mismo razonamiento que el ejerc. Nº a) cuánto mide el ángulo que forma la cinta con la horizontal? 1er. nivel 1er. nivel escalera rampa 14cm planta baja 38cm = ángulo que forma la escalera con el piso = ángulo que forma la cinta con el piso b) qué distancia recorre una persona ubicada sobre esa cinta? En este caso hay que calcular el largo de la rampa 20. 7,42 cm 54º base altura Para calcular el perímetro y la superficie, necesitamos averiguar primero la medida de la base y altura del rectángulo 21. Iguales a los ejerc. 9 y altura = 2,85 m escalera = m 58º 1 Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 11

12 23. Mismo razonamiento que el ejerc varilla = 90 cm 67º sombra = cm 25. b a r c 30cm d b 25º r c br = 15cm Recordar la propiedad de las diagonales del rombo bc es la del triángulo y, a la vez, es el lado del rombo (todos los lados del rombo son iguales) rc es el al ángulo bˆ y también es la mitad de ac ac = rc pendiente o inclinación son sinónimos de tangente el ángulo de referencia es el que forma el techo con la línea de la horizontal (paralela al piso) techo es decir que : el = altura el = base Completa el siguiente cuadro: tipo de techo porcentaje mínimo de inclinación base altura Ángulo de inclinación chapa 15% 3 m 0,45m 8º teja española 30% 3 m teja francesa 45% 3 m Ejemplo para completar el cuadro: TECHO DE CHAPA: pendiente = 15 % = tangente base = 3 m altura = m tg = cat. cat. altura base = 0, , resolvemos la ecuación para calcular la altura : = altura = 0,45m calculamos el ángulo sabiendo que : tg = 0,15 = 8º Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 12

13 27. 4 m pared = 2,60m cumbrera = m = ángulo de inclinación del techo 28. piso = 50 m cm = ángulo de inclinación del caño caño 29. rampa altura = 15 cm base = cm 30. escalera altura = 2,50 m = ángulo de inclinación base = 1,30 m 31. Tener en cuenta que : alzada = altura del escalón pedada = largo o base del escalón Mismo razonamiento que el ejerc a) alzada pedada pendiente porcentaje ángulo Escalera 1 16,5cm 32cm 0, % 27º16 36 Escalera 2 18cm 27,5cm 0, % 33º12 23 Escalera 3 15,5cm 34cm 0, % 24º30 26 b) Cuál de las escaleras resulta más cómoda? La escalera 3. Trigonometría Prof. Karina G. Rizzo 13