FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS

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1 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS En las Lecciones a 4.1.4, los alumnos factorizarán epresiones cuadráticas. Esto los prepara para resolver ecuaciones cuadráticas en el Capítulo 5. En el Capítulo 1, los alumnos usaron azulejos algebraicos para crear modelos de epresiones cuadráticas. Luego pasaron de azulejos físicos a modelos de área, que permiten representar más fácilmente grandes cantidades de azulejos y azulejos negativos. En el diagrama de abajo, la base y la altura del rectángulo son ( + 2) y ( + 4). Ya que (base)(altura) = área, el área del rectángulo puede ser epresada como un producto, ( + 2)( + 4). Pero las pequeñas piezas del rectángulo también integran su área, así que esta puede ser epresada como una suma, , o Área como producto = área como suma, así que los alumnos escribieron ( + 2)( + 4) = La base y la altura del rectángulo, ( + 2) y ( + 4), son factores de la epresión cuadrática , ya que el producto de ( + 2) y ( + 4) es Por lo tanto, la forma factorizada de es ( + 2)( + 4). + 2 Para un ejemplo más detallado del método usado por los alumnos para factorizar epresiones cuadráticas, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y Para más ejemplos y ejercicios de práctica, consulta el material del Punto de comprobación 7, en el libro de teto. Ejemplo 1 Factoriza Diagrama un modelo de área. Coloca 2 y 12 en una diagonal. Ya que los productos de las diagonales deben ser iguales, halla dos términos cuyo producto sea 12 2 y cuya suma sea 7. En este caso, 3 y 4 (los alumnos estudiaron esto como un problema de diamante en el Capítulo 1). Escribe estos términos en la otra diagonal. Puedes incluir cualquiera de los términos en cualquier espacio. Halla la base y la altura del rectángulo eterior usando las áreas de las piezas pequeñas y hallando el máimo factor común de cada fila y columna Escribe la suma como producto (forma factorizada) = ( + 3)( + 4) CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

2 Capítulo 4 Ejemplo 2 Factoriza Diagrama un modelo de área. Coloca 2 y 30 en una diagonal. Ya que los productos de las diagonales deben ser iguales, halla dos términos cuyo producto sea 30 2 y cuya suma sea 7. En este caso, 3 y 10. Escribe estos términos en la otra diagonal. Puedes incluir cualquiera de los términos en cualquier espacio. Halla la base y la altura del rectángulo eterior usando las áreas de las piezas pequeñas y hallando el máimo factor común de cada fila y columna Escribe la suma como producto (forma factorizada) = ( 3)( + 10) Ejemplo 3 Factoriza Diagrama un modelo de área. Coloca 2 y 56 en una diagonal. Ya que los productos de las diagonales deben ser iguales, halla dos términos cuyo producto sea 56 2 y cuya suma sea 15. Escribe estos términos en la otra diagonal. Halla la base y la altura del rectángulo eterior usando las áreas de las piezas pequeñas y hallando el máimo factor común de cada fila y columna Escribe la suma como producto (forma factorizada) = ( 7)( 8) Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 49

3 Ejemplo 4 Factoriza Diagrama un modelo de área Coloca 12 2 y 5 en una diagonal. Ya que los productos de las diagonales deben ser iguales, halla dos términos cuyo producto sea 60 2 y cuya suma sea 19. Escribe estos términos en la otra diagonal Halla la base y la altura del rectángulo. Verifica los signos de los factores. Escribe la suma como producto (forma factorizada) = (3 1)(4 5) Ejemplo 5 Factoriza Nota: si todos los términos presentan un factor común, este debe ser eliminado primero. Por ejemplo, = 3( ). Entonces puede ser factorizado como en el Ejemplo = ( + 3)( + 4). Luego, ya que la epresión tiene un factor de 3, = 3( ) = 3( + 3)( + 4). Problemas Factoriza las siguientes epresiones: CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

4 Capítulo 4 Respuestas 1. ( + 2)( + 3) 2. ( + 1)(2 + 3) 3. (3 + 1)( + 1) 4. 3( + 5)( + 5) 5. ( + 11)( + 4) 6. ( + 6)( + 1) 7. 2( + 8)( + 3) 8. ( + 8)( 4) 9. (2 + 3)(2 + 3) 10. 2(3 1)(4 + 5) 11. ( 8)( + 9) 12. ( 7)(3 + 1) 13. ( 4)( 7) 14. ( + 6)(2 1) 15. ( + 3)(2 1) 16. ( 5)( + 2) 17. (2 3)(2 3). (3 + 5)( 1) 19. (2 + 1)(3 2) 20. (3 4)(3 2) Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 51

5 FACTORIZACIÓN DE CASOS ESPECIALES Si bien la mayoría de los problemas de factorización se pueden resolver con modelos de área, hay dos patrones de factorización especiales que se pueden resolver a ojo, si se los reconoce. Estos patrones se conocen como Diferencia de cuadrados y Trinomio cuadrado perfecto. Los patrones generales son los siguientes: Diferencia de cuadrados: a 2 2 b 2 = (a + b)(a b) Trinomio cuadrado perfecto: a ab + b 2 = (a + b) 2 Ejemplo 1 Diferencia de cuadrados 2 49 = ( + 7)( 7) = (2 5)(2 + 5) 2 36 = ( + 6)( 6) = (3 1)(3 + 1) Trinomio cuadrado perfecto = ( 5) = (3 + 2) = ( 3) = (2 + 5) 2 Ejemplo 2 A veces, eliminar un factor común por medio de la factorización revela uno de estos casos especiales: y 2 2(4 2 25y 2 ) 2(2 + 5y)(2 5y) ( ) 3(2 + 1) CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

6 Capítulo 4 Problemas Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: m p 2 9q y p Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: y 2 + 8y m 2 10m a 2 + 8ab + 16b Factoriza completamente: Respuestas 1. ( + 4)( 4) 2. ( + 5)( 5) 3. (8m + 5)(8m 5) 4. (2p + 3q)(2p 3q) 5. (3 + 7)(3 7) 6. ( 2 + 5)( 2 5) 7. (8 + y)(8 y) 8. (12 + 5p)(12 5p) 9. ( )(3 2 2) 10. ( + 2) (y + 4) (m 5) ( 4) (a + 4b) (6 + 1) (5 3) (3 1) 2. (7 + 1) (3 + 4)(3 4) 20. (3 + 4) ( + 2)( 2) 22. 2( + 2) ( + 5) ( + 3)( 3) 25. (2 + 3)(2 3) 26. 4( 1) ( 2 + 4) Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 53

7 MÁS TRIGONOMETRÍA El Capítulo 4 presenta otras dos razones trigonométricas: seno y coseno. Ambas se usan con los ángulos agudos de triángulos rectángulos, al igual que la razón tangente. Dado el diagrama a continuación: cateto opuesto sen = hipotenusa y lo visto en el Capítulo 3: cateto adyacente cos = hipotenusa cateto opuesto tan = cateto adyacente hipotenusa cateto adyacente Nota: si decides usar el otro ángulo agudo del triángulo, los nombres de los catetos deben ser intercambiados. El cateto opuesto es siempre el lado del triángulo enfrentado al ángulo agudo que estás usando. cateto opuesto Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones y 4.2.4, y el Punto de comprobación 8. Ejemplo 1 Usa la razón seno para hallar el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos. a. b El seno del ángulo es la razón cateto opuesto hipotenusa En el punto (a) usaremos el ángulo de 78 como. Dado el ángulo de 78, podemos ver qué lado del triángulo es el cateto opuesto y qué lado es la hipotenusa. La hipotenusa siempre es el lado más largo, y siempre es el lado opuesto al ángulo recto. En este caso, es. El cateto opuesto al ángulo de 78 es el lado. Ahora podemos escribir y resolver la ecuación de la derecha. En el punto (b), el cateto opuesto al ángulo de 42 es y la hipotenusa es 16. Esto nos permite escribir y resolver la ecuación de la derecha. Nota: en la mayoría de los casos es más eficiente resolver primero la ecuación para hallar y luego usar una calculadora para combinar los valores, como se ve en estos ejemplos.. sen 78 = sen 78 = opuesto ( ) hipotenusa pies sen 42 = CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II 16 16(sen 42 ) = cm

8 Capítulo 4 Ejemplo 2 a. b Al igual que antes, debemos crear una ecuación usando la razón cateto adyacente coseno,. Recuerda que siempre puedes rotar la hipotenusa página o calcar y rotar el triángulo si la orientación de la figura te resulta confusa. La clave para resolver estos problemas es reconocer qué lado es el cateto adyacente, qué lado es el cateto opuesto, y qué lado es la hipotensa. En el punto (a), el ángulo es 25, así que podemos escribir y resolver la ecuación de la derecha. En el punto (b), el cateto adyacente al ángulo de 62 es 13 y la hipotenusa es. Esta vez nuestra variable se encontrará en el denominador. Como vimos en capítulos anteriores, esto añadirá un paso más a la solución. cos 25 = 4(cos 25 ) = cos 62 = 13 cos 62 = 13 adyacente ( ) 4 hipotenusa 3.63 = 13 cos m Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 55

9 Ejemplo 3 Usa los botones de funciones trigonométricas inversas de tu calculadora para hallar la medida del ángulo en cada uno de los triángulos a continuación y redondearla a la centena más cercana. a. b c. d En cada uno de estos problemas debes decidir si usarás el seno, el coseno o la tangente para hallar el valor de. En el punto (a), el cateto opuesto al ángulo es 5, y la longitud de la hipotenusa es 13. Esto nos dice que debemos usar la razón seno. Para obtener una respuesta más precisa, ingresa la razón y no su aproimación decimal. sen = 5 13 sen Para hallar el valor de, halla el botón sin 1de tu calculadora (nota: las secuencias de comandos mencionadas son las incluidas en la mayoría de las calculadoras, pero algunas pueden requerir el uso de teclas en otro orden). Esta es la tecla? y, al ingresar una razón, nos dice la medida del ángulo que tiene esa razón seno. Aquí podemos hallar que sin ingresando y, 13, 5 13, Í. Asegúrate de usar el paréntesis en la forma indicada. En el punto (b), 8 es la longitud del cateto adyacente y 12 es la longitud de la hipotenusa. Esta combinación de lados permite calcular la razón coseno. Usamos el para hallar la medida de ingresando la siguiente secuencia de comandos en la calculadora: y,, 8 12, Í. En el punto (c), 7 es la longitud del cateto opuesto a y 14 es la longitud del cateto adyacente. Estos dos lados permiten calcular la razón tangente. Igual que antes, debes usar el botón A en la calculadora. En el punto (d), 42 es la longitud del cateto opuesto al ángulo y 30 es la longitud del cateto adyacente. Podemos hallar el valor de usando la razón tangente. cos = 8 12 cos tan = 7 14 = 0.5 tan = 0.5 = cos = tan tan = = 1.4 tan = = tan CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

10 Capítulo 4 Ejemplo 4 Kennedy está parado en el etremo de una cuerda que mide 40 pies de largo y atraviesa una polea. La cuerda sostiene una gran bola de metal a pies del piso. Kennedy acerca lentamente su pie a la polea para hacer bajar la bola. Cuando la bola llega al piso, qué ángulo ( ) forma la cuerda con el piso en el punto en el que Kennedy la está pisando? Como siempre, debemos dibujar una imagen que muestre esta situación para decidir qué debemos hacer. La primera imagen muestra la situación inicial, antes de que Kennedy haya comenzado a hacer descender la bola. La segunda imagen muestra la situación una vez que la bola ha llegado al piso. Debemos bola de metal 40 pies de cuerda hallar el ángulo. Deberías ver un triángulo recto creado por la cuerda y el piso. La cuerda de 40 pies crea dos lados del triángulo: el segmento de pies constituye el cateto opuesto a y el resto de la cuerda, 22 pies, es la hipotenusa. Usa esta información para dibujar una imagen más que muestre simplemente el triángulo que representa esta situación. Conocemos las longitudes del cateto opuesto a y la hipotenusa. Esto nos indica que debemos usar la razón seno. La cuerda crea un ángulo de aproimadamente 55º con el piso. sen = 22 = sen Problemas Usa los botones sin 1, cos 1, o tan 1 de tu calculadora para hallar el valor de y redondearlo a la centena más cercana Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 57

11 Usa razones trigonométricas para calcular la variable en cada figura a continuación. Redondea cada respuesta hasta la decena más cercana h 38º 26º 8 h 23 49º y 15º 41º z 38º 52º z 55º w 38º y w 38º 15º º u y 22. v CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II

12 Capítulo 4 Dibuja un diagrama y usa razones trigonométricas para resolver los siguientes problemas. Asegúrate de redondear adecuadamente tus respuestas dependiendo de la precisión de las medidas originales. 23. La cometa de Nell está atada a una cuerda de 350 pies de largo. Una vez que esta ha sido desenrollada por completo, Ian calcula que el ángulo entre la cometa y el piso es de 47.5º. Cuánto tendría que caminar Ian para encontrarse justo debajo de la cometa? 24. El asta de la bandera de la Escuela Secundaria Mayfield mide 15 pies de altura. Tamara usó un clinómetro para medir el ángulo hasta la cima del asta, que resultó ser de Tamara mide 62 pulgadas. A qué distancia se halla del asta de la bandera? 25. Tamara observó nuevamente el asta de la bandera desde otra posición. Esta vez el ángulo era de Si todo lo demás se mantuvo constante, a qué distancia se halla del asta? 26. Alejandro se paró a 140 pies de la base de un edificio y usó su clinómetro para medir la inclinación hasta la punta. El clinómetro arrojó una lectura de 42. Si los ojos de Alejandro se encuentran a 6 pies del suelo, cuál es la altura del edificio? 27. Una escalera de pies fue colocada contra una pared. La base de la escalera se halla a 8 pies de la pared. Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Guía para padres con práctica adicional 2015 CPM Educational Program. All rights reserved. 59

13 Respuestas 1. sen = 13, tan = , cos = 68 53, tan = 34 23, sen = 35, tan = , h = 15 sen 38º h = 8 sen 26º = 23 cos 49º = 37 cos 41º y = 38 tan 15º y = 43 tan 55º z = z = 22.8 sen 38º sen 52º 15. w = cos 23 38º w = 15 cos 38º = tan15º = 91 tan 29º = tan y = tan ( ) u = tan 1 ( 9 7 ) 37.9 ( ) 33.7º 22. y = tan 1 78 ( ) plg 350 pies 47.5º d pies cos 47.5º = d 350 d = 350(cos 47.5º) = o aproimadamente 236 pies 58.4º h = 1", tan 58.4º = 1, tan 58.4º = 1, = tan º 73 pulgadas o aproimadamente 6 pies y 1 pulgada h 15 pies 62 plg 26. tan 42 = 140 h, h 126 pies. 27. cos = 8, 63.6º tras sumar la altura de los ojos de Alejandro, pies CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada II º h 15 pies 15 pies = 0 pulgadas 0" 62" = 1" = h, tan 11.3º = 1 = 591 pulgadas o aproimadamente 49 pies y 4 pulgadas