( ) es aceptable. El grado del

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1 POLINOMIOS El capítulo eplora funciones polinómicas en maor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación, utilizando la forma factorizada del polinomio. Además, aprenderán el proceso inverso: cómo determinar la ecuación polinómica a partir del gráfico. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección Ejemplo 1 Indica si cada una de las siguientes epresiones es o no un polinomio. Si no lo es, eplica por qué no. Si lo es, indica el grado del polinomio. a b π c d. ( 3 + )( 4 4) Un polinomio de una variable es una epresión que puede escribirse como la suma o diferencia de términos. Los términos están en la forma a n, donde a es cualquier número se denomina coeficiente de, n, el eponente, debe ser un número entero. ( ) es aceptable. El grado del a. Este es un polinomio. Un coeficiente que es una fracción 3 polinomio está dado por el eponente más grande de la variable, que en este caso sería 4. b. Este también es un polinomio, su grado es 10. c. Esta epresión no es un polinomio por dos motivos. En primer lugar, no se permite 1 porque los eponentes de la variable no pueden ser negativos. En segundo lugar, por 7. La variable no puede ser una potencia en un polinomio. d. Aunque la epresión no es la suma ni la diferencia de términos, puede escribirse como la suma o diferencia de términos multiplicando la epresión simplificando. Hacer esto da como resultado , que es un polinomio de grado CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

2 Capítulo 8 Ejemplo Sin usar tu herramienta de graficación, realiza un dibujo de cada una de las siguientes funciones polinómicas usando el coeficiente principal, las raíces el grado. a. f() = ( + 1)( 3)( 4) b. = ( ) ( + 3) c. p() = ( + 1) ( 4) d. f() = ( + 1) 3 ( 1) Las raíces del polinomio son los puntos de corte con el eje, que se encuentran fácilmente usando la Propiedad de producto cero cuando el polinomio está en forma factorizada, como todos los polinomios anteriores. El grado el coeficiente principal del polinomio pueden ser hallados multiplicando el primer término de cada factor. Observa que algunos factores se repiten. Los gráficos de abajo son posibles diagramas. a. El término principal será 3, así que este gráfico será una función cúbica. Sus raíces son = 1, 3, 4. Para graficar, si = 0, f(0) = 1, así que el punto de corte con el eje es (0, 1). b. El término principal será 3, así que este gráfico será una función cúbica. Las raíces de este polinomio son = 3. = es una raíz doble, porque la epresión ( ) está elevada al cuadrado es equivalente a ( )( ). El gráfico solo tocará el eje en =, rebotará. El punto de corte con el eje es (0, 1). c. Este es un polinomio de quinto grado cuo término principal,, 5 tiene tres raíces: = 0, 1, 4. = 1 = 4 son raíces dobles. El punto de corte con el eje es (0, 0). d. Este es un polinomio de quinto grado cuo término principal, 5, tiene dos raíces: = 1 1. = 1 es una raíz doble, = 1 es una raíz triple. El coeficiente principal es negativo, así que el gráfico será un reflejo vertical de un polinomio de quinto grado típico. El punto de corte con el eje es (0, 1). Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 87

3 Ejemplo 3 Escribe la ecuación del gráfico que se muestra a la derecha. A partir del gráfico podemos escribir una ecuación general basada en las raíces el punto de corte con el eje del polinomio. Dado que los puntos de corte con el eje (raíces) son = 3, 3, 8, sabemos que ( + 3), ( 3), ( 8) son factores. Además, puesto que el gráfico toca el eje en = 3 rebota, ( + 3) es una raíz doble. De modo que podemos escribir esta función como f() = a( + 3) ( 3)( 8). Ha que determinar el valor de a. ( 3, 0) (3, 0) (0, ) (8, 0) Teniendo en cuenta el hecho de que el gráfico atraviesa el punto (0, ), podemos escribir: = a(0 + 3) (0 3)(0 8) = a(9)( 3)( 8) = 16a a = 16 = Por lo tanto, la ecuación eacta es f () = ( + 3) ( 3)( 8). Problemas Indica si cada una de las siguientes funciones es o no una función polinómica. Si lo es, indica el grado. Si no lo es, eplica por qué no. 1. = π f () = = ( + )(6 + 1 ) Dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones polinómicas: 4. = ( + 5)( 1) ( 7) 5. = ( + 3)( + )( + 5) 6. f() = ( + 8)( + 1) 7. = ( + 4)( 1)( 4) CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

4 Capítulo 8 A continuación figuran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica menciona su menor grado. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si una raíz es o no doble o triple Usando los siguientes gráficos la información dada, escribe la ecuación específica para cada función polinómica. 11. Punto de corte 1. Punto de corte 13. Punto de corte con eje : (0, 1) con eje : (0, 15) con eje : (0, 3) Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 89

5 Respuestas 1. Sí, grado 7.. No. No puedes tener en el denominador. 3. No. Al multiplicarlo, ha una en el denominador. 4. Las raíces son = 5, 1, 7 = 1 es una raíz doble. 5. Las raíces son = 3 = 5, que es una raíz doble. El factor ( + ) no produce ninguna raíz real dado que esta epresión no puede ser igual a cero. El gráfico cruza el eje en = El gráfico tiene raíces en = 8, 1, nos da dos raíces. Dado que se factoriza como ( + 1)( 1), las cinco raíces son: = 4, 1, 0, 1, Un polinomio de tercer grado (cúbico) con una raíz en = 0, una raíz doble en = Un polinomio de cuarto grado con raíces reales en = 5 3, una raíz doble en = Un polinomio de quinto grado con cinco raíces reales: = 5, 1,, 4, = ( + 3)( 1)( 4) 1. = 0.1( + 5)( + )( 3)( 5) 13. = 1 1 ( + 3) ( 1)( 4) CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

6 Capítulo 8 NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos surgen naturalmente cuando se intenta resolver algunas ecuaciones tales como + 1 = 0. Las soluciones a esta ecuación son = ± 1, o = ± i. A veces, los polinomios tienen raíces complejas. Las raíces complejas siempre se dan en pares llamados conjugados complejos. Por ejemplo, si = 3 + i es un raíz, entonces = 3 i también es una raíz. Ejemplo 1 Simplifica cada una de las siguientes epresiones. a b. (3 + 4i) + ( 6i) c. (4i)( 5i) d. (8 3i)(8 + 3i) Recuerda que i = 1, o i = 1. a = = 3 + 4i b. Las partes reales se pueden combinar con partes reales las partes imaginarias con partes imaginarias: (3 + 4i) + ( 6i) = 1 i c. (4i)( 5i) = (4 5)(i i) = 0i = 0( 1) = 0 d. Puedes usar la propiedad distributiva o un modelo de área para calcular este producto. (8 3i)(8 + 3i) = 8(8) + 8(3i) 3i(8) 3i(3i) = i 4i + 9 = 73 Los dos factores se denominan conjugados complejos, son útiles cuando se trabaja con números complejos. Multiplicar un número complejo por su conjugado da como resultado un número real! Esto va a suceder siempre. Además, cuando una función con coeficientes reales tiene una raíz compleja, siempre tiene también al conjugado como raíz. 8 3i 8 3i 64 4i 4i 9 Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 91

7 Ejemplo Halla las raíces de la función a continuación utilizando la Fórmula cuadrática. Eplica qué te indican las raíces sobre el gráfico de la función. f() = Fórmula cuadrática: Si a + b + c = 0, entonces = b± b 4ac a. Las raíces de la función se producen cuando f() = 0. En este punto, a =, b = 0, c = 53. Observa la solución a la derecha. Esto crea una epresión con un número negativo debajo del radical. Esta ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas. En matemáticas, definimos i = 1 como un número imaginario. Cuando combinamos un número imaginario con un número real, lo denominamos número complejo. Los números complejos se escriben en la forma a + bi. Usando i = 1, podemos simplificar la respuesta anterior. = 0± = 0±i 6 4 ( ) = 10±i 6 4 = 10±i 6 Entonces, el gráfico de la ecuación = no tiene puntos de corte con el eje, pero sí tiene dos raíces complejas, = 10±i 6. Recuerda que el grado de una función polinómica nos indica el máimo número de raíces. De hecho, el grado nos indica el número eacto de raíces, de las cuales algunas (o todas) pueden ser complejas CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

8 Capítulo 8 Ejemplo 3 Dibuja un gráfico de la función polinómica = p() de forma tal que p() tenga eactamente cuatro raíces reales. Luego cambia el gráfico de modo que p() tenga dos raíces reales dos raíces complejas. Si p() tiene cuatro raíces reales, entonces será un polinomio de cuarto grado que cruce el eje en eactamente cuatro lugares diferentes. A la derecha se muestra un posible gráfico. Para que el gráfico tenga solo dos raíces reales dos raíces complejas, ha que cambiarlo para que una de las caídas no llegue al eje. A la derecha se muestra un ejemplo. Problemas Simplifica las siguientes epresiones. 1. (6 + 4i) ( i). 8i ( 3)(4i)(7i) 4. (5 7i)( + 3i) 5. (3 + i)(3 i) 6. ( 3 5i)( 3 + 5i) A continuación se encuentran los gráficos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma la ubicación del gráfico, describe todas las raíces. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si las raíces son dobles o triples, reales o complejas, etc Escribe la ecuación específica para la función polinómica que atraviesa el punto (0, 5) que tiene las raíces = 5, =, = 3i. Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 93

9 Respuestas i. 4i i Un polinomio de tercer grado con una raíz real en = 5 dos raíces complejas. 8. Un polinomio de quinto grado con una raíz real en = 4 cuatro raíces complejas. 9. = 18 1 ( 5)( + )( 3i)( + 3i) = 1 18 ( 3 10)( + 9) CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

10 Capítulo 8 FACTORIZACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS Los alumnos aprenden a dividir polinomios como método para factorizar polinomios de grados superiores a. A través de la división, se puede reescribir los polinomios en una forma más apropiada para su graficación. También se puede determinar fácilmente las raíces de los polinomios, tanto reales como complejas utilizando la forma factorizada. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones Ejemplo 1 Divide por + 1. Es posible dividir polinomios utilizando un modelo de área. Para dividir, comenzaremos con el área una dimensión del rectángulo, usaremos el modelo de área para calcular la otra dimensión. Confeccionaremos un rectángulo que tenga un ancho de + 1 un área de Por ahora no conocemos la altura. Agregaremos información a la figura gradualmente, ajustándola a medida que avancemos. El rectángulo superior izquierdo tiene un área equivalente al término con la potencia más alta: Ahora trabajaremos hacia atrás: si el área del rectángulo es 3 el lado tiene una longitud de, cuál debe ser la longitud del otro lado? Sería. Si la longitud del lado faltante es, el área de la sección inferior es 1( ). 3 El área total es , pero hasta ahora solo tenemos porciones del rectángulo iguales a Necesitaremos sumar 3 más al área total para el segundo término de la epresión Una vez que completamos el área restante, podemos descifrar la longitud del lado superior. Recuerda que parte del lado izquierdo tiene una longitud de. Esto significa que parte del lado superior debe tener una longitud de Usa este nuevo dato para calcular el área del rectángulo que se encuentra a la derecha del rectángulo 3, luego el pequeño rectángulo debajo de ese resultado. 4 Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 95

11 Nuestra área total tiene un total de 7, pero solo ha 3 hasta el momento. Esto significa que ha que sumar 10 más. Coloca esta porción de área en el rectángulo a la derecha de Con esta nueva porción de área agregada, se puede calcular la longitud de la parte superior usarla para calcular el área del rectángulo debajo de 10. Observa que el término constante en el área total es 10, que es también lo que tiene el rectángulo Por lo tanto, = , o = ( + 1)( ). Ejemplo Determina todas las raíces de P() = Las raíces de un polinomio pueden determinarse en función de sus factores. Si factorizamos este polinomio, el resultado será ( + a)( + b)( + c)( + d), donde (a)(b)(c)(d) = 48. Esto significa que las raíces reales posibles de este polinomio son ±1, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ±1, ±16, ±4, o ±48. En este caso ha 0 posibles raíces que verificar! Estas pueden verificarse de diferentes maneras. Un método consiste en dividir el polinomio por la epresión binómica correspondiente (por ejemplo, si = 1 es una raíz, dividimos el polinomio por ( + 1) para ver si es un factor). Otro método consiste en reemplazar cada cero en el polinomio para ver cuál de ellos, si fuera el caso, hace que el polinomio sea igual a cero. Usa una calculadora gráfica para verificar cuáles de las raíces posibles pueden ser raíces reales. En este caso, el gráfico muestra que = = 3 pueden ser raíces. Verifica esto usando el método de sustitución. P( ) = ( ) 4 + ( ) 14( ) 48 = = 0 P(3) = (3) 4 + (3) 14(3) 48 = = 0 Comenzaremos con =. Ya que ha una raíz en =, ( + ) es un factor del polinomio. Ahora divide el polinomio por este factor para hallar los demás factores CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III

12 Capítulo 8 Ahora podemos escribir P() como P() = ( + )( ). Aún debemos factorizar el factor cúbico. Sabemos que = 3 es también una raíz, así que ( + 3) es un factor. Por lo tanto, debemos dividir por ( + 3), como se muestra en el diagrama de la derecha Esto significa que P() = ( + )( 3)( + + 8). El último factor es cuadrático (grado ) de modo que podemos factorizarlo o usar la Fórmula cuadrática para hallar las raíces (ceros) correspondientes. En este caso, la epresión no puede ser factorizada, así que usa la Fórmula cuadrática para calcular las raíces, como se muestra a la derecha. En conclusión, el polinomio original se factoriza así: P() = = ( + )( 3) Las raíces del polinomio son =, 3, 1+i 31 ( ) 1±i i 31 ( ) = 0 = 1± 1 4(1)(8) (1) = = = 1± 1 3 1± 31 1±i 31 Problemas 1. Divide por 3.. Divide por Divide por 1. Determina todas las raíces de cada uno de los siguientes polinomios. 4. f() = g() = P() = Q() = Respuestas = 4, 7+i 3 7 i 3 4, 4 5. = 1, 4, 1 +, 1 6. = 1, 3, i, i 7. = 6, 4 + i, 4 i Guía para padres con práctica adicional 015 CPM Educational Program. All rights reserved. 97

13 PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1. (5 + 6) =? a. ( 5) + ( 6) b c. 11 d. 61 e Si 6 7 = 1, cuál es el valor de (6 7)? a. 4 b. 13 c. 1 d. 40 e El promedio (la media aritmética) de tres números es 5. Si dos números son 5 30, cuál es el tercer número? a. 35 b. 30 c. 5 d. 0 e Los habitantes del país Turpa utilizan distintas unidades de medida. Cada curd mide 7 garlongs de largo cada garlong consiste en 15 bleebs. Cuántos curds completos ha en 510 bleebs? a. 105 b. 15 c. 5 d. 4 e. 5. Si = 1 =, cuál es el valor de +? 6. Cinco enteros consecutivos suman 5. Cuál es el maor de estos números consecutivos? 7. Para todos los enteros positivos m n, definimos a m n como el resto de número entero cuando se divide m por n. Si 11 k = 3, a qué equivale k? 8. En Tartas R Us, se corta cada tarta en pociones como se muestra en la imagen de la derecha. Cada porción de tarta tiene un ángulo central de 30. Las tartas se venden por porción. Si el peso de cada tarta está uniformemente distribuido es de 108 gramos, cuánto pesa cada porción en gramos? En la imagen de la derecha, cuál es el área de la región sombreada si esa región es un cuadrado? 10. Cuál es el seto término de la progresión que comienza con 43, 7, 1,? 4 6 Respuestas 1. C. A 3. D 4. D g CPM Educational Program. All rights reserved. CC en español, Matemática Integrada III