Funciones Trigonométricas Básicas, Teorema del Seno y del Coseno

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1 Trigonometría Básica Funciones Trigonométricas Básicas, Teorema del Seno y del Coseno Introducción a la Trigonometría Rama de la matemática que estudia las relaciones métricas entre los lados y los ángulos de un triangulo, las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana (estudia figuras contenidas en un plano), y la trigonometría esférica, (estudia triángulos que forman parte de la superficie de una esfera). Aplicaciones Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química, y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. Trigonometría Plana El concepto trigonométrico de un ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB de la figura, se consideran inicialmente coincidentes. El radio OB gira hasta una posición final, describiendo el ángulo (Fig. A). Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj (Fig. B y Fig. C). Sistemas Angulares Para operar con valores angulares, es preciso definir el sistema angular en el cual se está trabajando. Existen varios sistemas, de los cuales emplearemos tres: Sistema Sexagesimal. Asigna al ángulo completo 360 unidades llamadas grados sexagesimales. Subdivide al grado en 60 minutos sexagesimales y a cada minuto en 60 segundos sexagesimales. Sistema Radial o Circular. Asigna al ángulo completo 2 unidades, llamadas radianes. Un ángulo radián es aproximadamente igual a 57, º 57º17'44''. Sistema Centesimal. Asigna al ángulo completo 400 unidades llamadas grados centesimales. Subdivide al grado en 100 unidades llamadas minutos centesimales, y a cada minuto en 100 segundos centesimales.

2 Razones trigonométricas en el Triángulo Rectángulo Sea el triángulo rectángulo de la figura. Se definen las siguientes razones trigonométricas: cateto opuesto CO a SENO DE : sen hipotenusa H c cateto adyacente CA b COSENO DE : cos hipotenusa H c cateto opuesto CO a TANGENTE DE : tg tan cateto adyacente CA b cateto adyacente CA b COTANGENTE DE : cotg cotan cateto opuesto CO a hipotenusa H c SECANTE DE : sec cateto adyacente CA b hipotenusa H c COSECANTE DE csc cosec cateto opuesto CO a Ejemplo 1. Dado el triángulo rectángulo, determinar las razones trigonométricas de los ángulos y. CO 12 sen CA 5 cos CO 12 tg CA 5 CA 5 cotg CO 12 sec CO 5 cosec CA 12 CO 5 sen CA 12 cos CO 5 tg CA 12 CA 12 cotg CO 5 sec CO 12 cosec CA 5 12 OBSERVACIÓN: Podemos verificar que sen cos, y como 90º 90º. En general tenemos que: 13 sen cos 90º tg cotg 90º sec cosec 90º

3 Ejemplo 2. Dado sen0,8, determinar las demás razones trigonométricas del ángulo. Tenemos que sen 0, CO, por lo que podemos considerar que el cateto opuesto es un múltiplo de 4, es 5 H decir CO 4k, por lo tanto H 5k. Para determinar el valor del cateto adyacente, aplicamos el Teorema de Pitágoras: 4k CA 5k CA 5k 4k CA 25k 16k 2 2 CA 9k CA 3k Entonces, las razones restantes son: CA 3k cos H 5k 3 0,6 5 CO 4 k tg CA 3k 4 1,3 3 CA 3k cotg CO 4k 3 0,75 4 H 5 k sec CO 4k 5 1,25 4 H 5k cosec CA 3k 5 1,6 3 Además, podemos determinar el valor del ángulo con cualquiera de las seis razones, aplicando función inversa como veremos a continuación (de todos modos, las más utilizadas son sen, cos y tg, ya que aparecen en las calculadoras tradicionales): Etc. a a 4 4 arcsen sen arcsen sen 53,13º c c b b 3 3 arccos cos arccos cos 53,13º c c a a 4 4 arctg tg arctg tg 53,13º b b Aplicaciones I. Cálculo de un lado. Para calcular el lado de un triángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos del problema. Ejemplo 1. Dado un triángulo, determinar el valor de x. Entre 15 cm. y x, respecto de 40º, se forma la razón 15 cm 15 cm. sen 40º x x 23,34 cm. x sen 40º

4 Ejemplo 2. Hallar el valor de x en: x Aplicando la razón coseno, se tiene cos54º x cos54º 23 cm. x 13,52 cm. 23 cm. Ejemplo 3. Determinar el valor de x, en el siguiente triángulo: Aplicando la tangente del ángulo 38º, se tiene 30 cm. 30 cm. tg 38º x x 38,4 cm. x tg 38º II. Cálculo de un ángulo. Para determinar el valor de un ángulo, se debe determinar la razón trigonométrica involucrada con los datos, luego se aplica la inversa de la razón trigonométrica en cuestión. Ejemplo 1. Determinar el valor de en el triángulo de la figura. Aplicando la razón seno de, se obtiene sen sen 23,92º Ejemplo 2. Determinar el valor de en el siguiente triángulo. Aplicando razón coseno, se tiene cos cos 62º Ejemplo 3. Hallar el valor del ángulo en el siguiente triángulo. Aplicando razón tangente, se tiene tg tg 37,81º 58 58

5 Aplicación de la tangente trigonométrica La tangente es aplicable a la resolución de problemas que involucren cálculos de distancias y alturas. Se define Ángulo de Elevación, a aquél que se describe al levantar la vista desde la horizontal. Ángulo de Depresión, es aquel que se describe al bajar la vista desde la horizontal. Ejemplo 1. Se observa la parte alta de un edificio bajo un ángulo de elevación de 40º. La observación se realiza a 58 m. de la base de un edificio. Hallar su altura. h tg40º h 58 m. tg40º h 48,67 m. 58 m. Ejemplo 2. Desde lo alto de un acantilado de 45 m., los ángulos de depresión de dos botes que yacen en el mar en forma alineada, son 15º y 75º. Calcular la distancia que los separa. 45 m. 45 m. tg15º x y x y tg 15º 45 m. 45 m. tg75º y y tg75º 45 m. 45 m. x x 155,88 m. tg 15º tg 75º Completación de Triángulos Todo triángulo posee seis elementos básicos medibles, tres ángulos y tres lados. Se entregarán algunos de ellos y se solicitarán los demás, dependiendo del tipo de triángulo, que puede ser rectángulo u oblicuángulo. Completación de Triángulos Rectángulos Para resolver o completar estos triángulos, bastan solo dos elementos, ya que si tenemos dos ángulos, podemos obtener el tercero mediante diferencia, y si tenemos dos lados, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

6 Ejemplo 1. Completar el siguiente triángulo rectángulo. a 35 cm. En el triángulo se dan 40º 90º Se solicitan b, c y. Ejemplo º 90º 40º 50º 35 cm. 35 cm. sen 50º c c 45,69 cm. c sen 50º b tg40º b 35 cm. tg40º b 29,37 cm. 35 cm. Completar el triángulo. a 22 cm. En el triángulo se dan b 15 cm. 90º Se piden, y c. 22 cm tg tg 55,71º 15 cm º 90º 55,71º 34,29º 22 cm. 22 cm. sen 55,71º c c 26,63 cm. c sen 55,71º Completación de Triángulos Oblicuángulos Debemos considerar que los siguientes teoremas también son útiles para resolver o completar triángulos rectángulos, pero para éstos últimos es más sencillo utilizar razones trigonométricas. En general, para completar triángulos que no sean rectángulos, (oblicuángulos), tenemos: Teorema del Seno Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. a b c sen sen sen De donde surgen las siguientes proporciones, de acuerdo a lo que se requiera: a b sen sen b c sen sen a c sen sen

7 Teorema del Coseno En cualquier triangulo el cuadrado de una lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman dichos lados. IMPORTANTE CONSIDERAR LO SIGUIENTE: a b c 2 b c cos b a c 2 a c cos c a b 2 a b cos Ambos teoremas son aplicables a cualquier tipo de triángulo, pero cuentan con una restricción de acuerdo a los datos con los que se cuenta en el problema: Teorema del Coseno Teorema del Seno Si se tienen dos lados y el ángulo comprendido ente ellos. Si se tienen tres lados. Dos lados y un ángulo NO el que comprenden. Dos ángulos y un lado. Ejemplo 1. a 41 cm. Completar el triangulo si 28º 51º 180º 28º 51º 101º 41 cm. b 41 cm. sen 28º b b 19,61 cm. sen 101º sen 28º sen 101º 41 cm. c 41 cm. sen 51º c c 32,46 cm. sen 101º sen 51º sen 101º Ejemplo 2. a 525 cm. Completar el triángulo si c 421 cm. 131º 525 cm. 421 cm. 421 cm. sen 131º 421 cm. sen 131º 1 sen sen 37,24º sen131º sen 525 cm. 525 cm. 180º 131º 37,24º 11,76º b 525 cm. 525 cm. sen 11,76º b b 141,78 cm. sen 11,76º sen 131º sen 131º Ejemplo 3. a 132 cm. Completar el triángulo si b 224 cm. 29º c 132 cm. 224 cm cm. 224 cm. cos 29º c cm cm cm. cos 29º c 126 cm.

8 Aplicando teorema del seno: 126 cm. 132 cm. 132 cm. sen 29º 132 cm. sen 29º 1 sen sen 30,52º sen29º sen 126 cm. 126 cm. 180º 30,52º 29º 120,48º Ejemplo 4. Completar el triángulo si a 33 cm. b 51,74 cm. c 46,25 cm. 33 cm. 51,47 cm. 46,25 cm. 251,47 cm. 46,25 cm. cos 51,47 cm. 46,25 cm. 33 cm. 51,47 cm. 46,25 cm. 33 cm. 2 51,47 cm. 46,25 cm. 2 51,47 cm. 46,25 cm. 1 cos cos 39,01º 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 233 cm. 46,25 cm. cos 33 cm. 46,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 51,47 cm cm. 46,25 cm cm. 46,25 cm. 1 cos cos 79,07º 46,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 251,47 cm. 33 cm. cos 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 51,47 cm. 33 cm. 46,25 cm. 2 51,47 cm. 33 cm. 2 51,47 cm. 33 cm. 1 cos cos 61,92º Ejercicios Propuestos 1. Determinar las razones trigonométricas de, en el triángulo de la figura: 2. Hallar el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos: 3. Calcular el valor de los ángulos:

9 Aplicaciones de la Tangente A. Representar, a través de bosquejos o en forma gráfica, los siguientes problemas, asociándolas a triángulos rectángulos y determinando el (o los) resultados. 1. Un faro construido al nivel del mar tiene 180 pies de alto. Vista desde su cima, una boya tiene un ángulo de depresión de 24º. Hallar la distancia que hay entre la boya y el pie del faro. R: 404,3 pies 2. Hallar la altura de un edificio, si el teodolito que se encuentra a 5 pies del suelo horizontal, y a 200 pies del edificio forma un ángulo de elevación de 21º. R: 81,8 pies 3. Se mira el tope de un monumento bajo un ángulo de elevación de 16º. Se considera que el piso es horizontal y que el teodolito se halla a 5 pies de alto. Si el monumento tiene 86 pies de alto, hallar la distancia entre el observador y el monumento. R: 282,5 pies 4. Determinar la altura de un poste que proyecta una sombra de 5 m. en el momento en que los rayos solares forman un ángulo de 59º con el suelo. R: 8,32 m. 5. Desde la cumbre de una colina se observan en forma alineada dos objetos. Calcular la distancia que los separa si la colina tiene un alto de 30 m. y los ángulos de depresión son 45º y 30º. R: 21,96 m. 6. Una chimenea tiene 30 m. más que otra cercana. Un observador que se encuentra a 100 m. de la más pequeña, observa que sus cúspides se encuentran en línea recta con inclinación 27º respecto de la horizontal. Determinar sus alturas. R: 50,95 m. y 80,95 m. 7. Una escalera de 4,7 m. de largo es apoyada en un muro a 2 m. del suelo. Hallar la distancia de la base de la escalera al muro y el ángulo de elevación. R: 4,25 m. y =25,2º 8. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º. Acercándose 100 m. se tiene que el ángulo de elevación es de 60º. Encontrar la altura de la torre. R: 86,6 m. 9. Desde la parte superior de un faro de 80 m. de alto, se observan dos rocas alineadas en la playa. Los ángulos de depresión son 30º y 15º. Determinar la distancia entre las rocas. R: 160 m. 10. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación de la punta de un campanario, es de 45º. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m. de alto, el ángulo de elevación es de 30º. Determinar la altura y la distancia del campanario al poste. R: 21,29 m. 11. Para conocer el ancho de un río, se toma como referencia un árbol que yace en la ribera opuesta, cuyo ángulo de elevación a su cúspide es de 55º. Alejándose 50 m. en forma alineada, al observar nuevamente se tiene un ángulo de elevación de 40º. Hallar el ancho del río y el alto del árbol. R: 71,22 m. y 101,72 m. 12. Dos edificios de la misma altura, situados frente a frente, se encuentran unidos por una pasarela ubicada a 24 m. de altura. Un individuo que yace entre los edificios, más cerca de uno de ellos, observa que el ángulo de elevación a la cima de éste es de 60º, y sobre la pasarela, a la misma distancia del edificio, observa que los ángulos de elevación son 45º y 30º. Hallar la altura del edificio y el ancho de la calle. R: 56,78 m. y 89,56 m. 13. Un individuo colocado en la azotea de un edificio que tiene un alto de 1248 pies, observa la azotea del otro edificio de 752 pies de alto, bajo un ángulo de depresión de 22,27º. Si los dos edificios están sobre el mismo nivel horizontal, calcular la distancia que los separa. R: 1212 pies 14. Desde la punta de un faro de 61,5 m. sobre el nivel del mar, se observa que el ángulo de depresión de una boya es de 29,23º en marea baja y de 28,2º en marea alta. Cuál es la elevación de las aguas? R: 2,56 m. B. Completar los siguientes triángulos rectángulos: a) 20º; c 80 cm. b) 51º; c 250 cm. c) 36º; c 1 cm. d) 25º; a 30 cm. e) 10º; b 30 cm. f) 55º; b 10 m.

10 C. Completar los siguientes triángulos oblicuángulos: a) 30º; b 12 cm.; c 24 cm. R : a 14,87 cm.; 23,8º; 126,2º b) 75º; 30º; b 8 cm. R : a 15,45 cm.; c 15,45 cm.; 75º c) a 7 cm.; b 9 cm.; c 15 cm. R : 17,9º; 23,2º; 138,9º d) 133º; a 19,26 cm.; c 11 cm. R : b 10 cm.; 22,3º; 24, 7º e) 105º; 60º; b 4 cm. R : a 14,93 cm.; c 13,4 cm.; 15º f) a 4 cm.; c 5 cm.; 120º R : b 7,81 cm.; 26,33º; 33,67º g) a 40 cm.; b 30 cm.; 75º R : c 35,34 cm.; 46,42º; 58,52º h) a 12 cm.; b 15 cm.; 52º R : c 11,3 cm.; 80,6º; 47,9º i) a 120 cm.; b 80 cm.; 60º R : c 138 cm.; 35,26º; 84,73º j) 47º; b 8 m.; c 10 m. R : a 7,41 m. ; 52,17º; 80,53º k) a 7 m.; b 3 m.; c 5 m. R : 120º; 21,78º; 38,22º D. Aplicar Teorema del Seno y del Coseno para resolver los siguientes problemas. 1. Un tren que viaja de una estación A a otra B a 50 Km. / h., demora 5 horas. De la estación B se dirige hacia C a 60 Km. / h., demorando 6 horas. Ambos trayectos forman un ángulo de 65º. Determinar la distancia entre las estaciones A y C. R: 340,6 Km. 2. Desde un punto A, ubicado en el interior de un fundo, se observa un móvil en el punto B, sobre una carretera recta. El ángulo entre la vista y la carretera es de 40º, y la distancia, 15 Km. El móvil llega a un punto C sobre la carretera, distante de A 12 Km. Determinar a) Ángulo entre la carretera y la vista AC b) Velocidad del móvil, si demora 956,57 segundos en recorrer BC R: 53,46º y 70 Km. / h. 3. Para determinar la distancia de un lugar B a una posición enemiga A, se han medido una base BC y los ángulos ABC y BCA. Si dichas medidas son 1006 m., 44º y 70º respectivamente, hallar la distancia AB. R: 1035 m.