TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO

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1 TRIGONOMETRÍA DEL CÍRCULO

2 Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES 1 Usamos grados para medir ángulos cuando aplicamos trigonometría a los problemas del mundo real. Por ejemplo, en topografía, construcción, y navegación, el grado es la unidad de medida aceptada.

3 Otra unidad de medida para ángulos: RADIANES 1 Cuando estudiamos las funciones trigonométricas dentro de un círculo, colocamos el círculo sobre un plano cartesiano y trabajamos con un ángulo central. El ángulo central tiene un lado sobre el eje de x y un lado terminal que comienza en el centro del círculo e interseca la circunferencia del círculo. En el círculo podemos medir los ángulos en grados o radianes.

4 Un radián El ángulo central de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio.

5 Cuánto radianes hay en un círculo? Hay 360 grados en un círculo. Cuántos radianes hay? Hay un poco más de 6 radianes en un círculo De hecho, hay exactamente 2 radianes en un círculo. (Aprox rad.)

6 RADIANES Si entonces Si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados, entonces la proporción 180 Rad Grad nos permite cambiar entre radianes y grados.

7 Convertir entre radianes y grados Vamos a completar la tabla: Grad Grad ( 1)( 180 Grad 180 Grad ) ángulo en radianes /3 180 ángulo en grados Rad Grad

8 Convertir (cont.) Rad Grad Rad Rad Rad 6 Rad ángulo en radianes ángulo en grados /6 30 /3 120

9 Convertit cont 180 Rad Grad Grad Grad Grad 3 Grad 60 ángulo en radianes ángulo en grados /6 30 /

10 RADIANES 180 Rad Grad ángulo en radianes ángulo en grados rad rad 120 rad /6 30 /3 2/

11 PRACTICA: Convertir la medida de radianes a grado o grado a radianes. 180 Rad Grad

12 Un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y con radio igual a 1 se llama un círculo unitario.

13 Si el punto P(x,y) pertenece al círculo unitario, y el segmento OP es un radio, entonces OP intercepta el círculo formando el arco S y un ángulo central que llamaremos θ.

14 En el círculo unitario definimos sin(θ) como la distancia vertical desde P hasta el eje de x. sin(θ) = y Similarmente, definimos cos(θ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P. cos(θ) = x Arco s

15 Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1. En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto. Radio = 3

16 Dentro del círculo de radio r, las razones trigonométricas se determinan sin( ) cos( ) y r x r x, y tan( ) sin( cos( ) ) y x cot( ) cos( ) sin( ) x y sec( ) 1 cos( ) r x csc( ) 1 sin( ) r y

17 Ejemplo: Un ángulo central se forma con el punto (2.25, 2.25) que está sobre la circunferencia de un círculo de radio=3. Determine de forma exacta, las 6 razones trigonométricas. Solución: (2.25, 2.25)

18 Ejemplo: (cont.) Un ángulo central se forma con el punto (2.25, 2.25) que está sobre la circunferencia de un círculo de radio=3. Determine de forma exacta, las 6 razones trigonométricas. Solución: (2.25, 2.25)

19 EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una círculo unitario. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra. Sabemos que: el radio es 1 3 x= y= Por lo tanto, x 3 4 P, 5 5 y sin( ) tan( ) 4 5 y x cos( )

20 EJEMPLO 2 (cont.) Las relaciones recíprocas son: csc( ) cot( ) 5 4 y x sec( ) x 3 4 P, 5 5 y

21 Ejemplo 3: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores exactos de las 6 razones trigonométricos. sin( ) r y 2 2 P 2, 2 cos( ) r x 2 2 tan( ) x y 2 2 1

22 Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos. r csc( ) y r sec( ) x P 2, 2 cot( ) y x 2 2 1

23 Práctica Hallar los valores de forma exacta las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. P 5 13, P 15,8 Radio = 1 Radio = 17

24 Soluciones Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos. P 5 13, Radio = cos sin tan sec csc cot Radio = 17 P 15,8 cos sin tan sec csc cot

25 Relaciones en el círculo En un círculo de radio r, x 2 + y 2 = r 2 o lo que es igual, r = x 2 + y 2 cos 2 (θ) + sin 2 (θ) = 1

26 Ejemplo Si θ es un ángulo en posición estándar en un sistema de coordenadas rectangulares y si P( 15, 8) está en el lado terminal de θ, determinar el valor de θ y los valores de las seis funciones trigonométricas de θ.

27 Solución (cont) Aplicando la definición de las funciones trigonométricas para x = 15, y = 8, primeramente debemos determinar r.

28 Cont.

29 Ejemplo Determine los valores de las seis funciones trigonométricas de θ Aplicamos las definiciones trigonométricas con x = 4, y = -1, r = x 2 + y 2 = = 17 P(4, -1) P(4, -1)

30 Solución (cont.) sin θ tan θ = y r = 1 17 = y x = 1 4 sec θ = r x = 17 4 = cos θ = x r = 4 17 csc θ = r y = 17 1 = 17 cot θ = = x y = 4 1 = P (4, -1)

31 Signos La siguiente tabla muestra los signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante:

32 Ejemplo Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades para hallar las otros valores trigonométricos. Solución De los signos, concluimos que el ángulo está en el cuadrante II. Usando la relación sin 2 θ + cos 2 θ = 1 y el hecho de que el coseno es negativo en el segundo cuadrante podemos determinar que:

33 Solución (cont.)

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