MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #28

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #8 Identidades Trigonométricas Una identidad es una ecuación que es válida ara todos los valores de las variables ara los cuales están de nidas las exresiones involucradas en ella. La ecuación x (x )(x + x + ) es una identidad orque es válida ara todo x R: La ecuación x x + x es una identidad ara x 6 ; orque ara esos valores están de nidas las exresiones que aarecen en la igualdad. La ecuación x 0 no es una identidad, orque sólo es válida ara x : Si una identidad contiene exresiones trigonométricas, se denomina identidad trigonométrica.. Veremos inicialmente unas identidades trigonométricas básicas, llamadas identidades trigonométricas fundamentales, que nos ermiten exresar una función trigonométrica en términos de las otras, simli car exresiones trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas. Identidades Trigonométricas Fundamentales Identidades Recírocas Se deducen directamente de la de nición de las funciones trigonométricas: Identidades Pitagóricas Prueba: sen t csc t cos t sec t tan t cot t tan t sen t cos t sen t + cos t ; csc t sen t ; sec t cos t ; cot t tan t ; cot t cos t sen t + tan t sec t + cot t csc t En la circunferencia unitaria consideremos un ángulo en osición estándar cuya medida en radianes es t y sea P (x; y) el unto en el que el lado terminal del ángulo t interseca la circunferencia unitaria.

2 Como sen t y y cos t x; or el Teorema de Pitágoras sen t + cos t () Si en (), dividimos ambos lados de la ecuación or cos t, cos t 6 0; obtenemos sen t cos t + cos t cos t cos t tan t + sec t: Si en (), dividimos ambos lados de la ecuación or sen t, sen t 6 0; obtenemos Simli cación de Exresiones Trigonométricas sen t sen t + cos t sen t sen t + cot t csc t: Para simli car exresiones trigonométricas utilizamos las mismas técnicas emleadas ara simli car exresiones algebraicas y las identidades trigonométricas fundamentales. Simli car las siguientes exresiones trigonométricas:. cos x + sen x cos x.. + cot A csc A sen y cos y + cos y + sen y :. cos x + sen x cos x cos x cos x + sen x cos x cos x + sen x cos x cos x cos x:. cos A + cot A + csc A sen A sen A sen A + cos A sen A sen A sen A (sen A + cos A) sen A sen A + cos A: Observación: En algunas casos es útil escribir la exresión a simli car en términos de las funciones seno y coseno, como se hizo en el ejemlo anterior.. sen y cos y + cos y sen y ( + sen y) + cos y cos y + sen y cos y ( + sen y) sen y + cos y ( + sen y) sec y: cos y sen y + sen y + cos y cos y ( + sen y)

3 Demostración de Identidades Trigonométricas Además de las identidades trigonométricas fundamentales, hay otras identidades imortantes que se usan en otros cursos de matemáticas y de física. Dada una ecuación es fácil robar que no es una identidad, hallando al menos un valor de la variable (o variables) ara el cual no se satisfaga la ecuación. Demostrar que la ecuación sen x + cos x no es una identidad trigonométrica. Para demostrar que, sen x + cos x no es una identidad, basta encontrar un valor de x ara el cual no se cumla la ecuación. Consideremos x 4 : sen 4 y cos 4. Luego, sen 4 + cos : Como sen x y cos x están de nidas ara todo x R y x 4 no es una identidad. no satisface la ecuación, entonces sen x+cos x Demostrar que la ecuación tan x + no es una identidad. Consideremos x 6 : tan sen 6 6 cos 6 Luego, tan x + no es una identidad. y tan : Cómo robar que una Ecuación es una Identidad? Para robar que una ecuación es una identidad trigonométrica, debemos elegir un lado de la ecuación y transformarlo, usando identidades conocidas y oeraciones algebraicas, hasta obtener el otro lado de la ecuación. Algunas sugerencias ara realizar este trabajo son: Escoger el lado "más comlicado" de la ecuación ara transformarlo. Realizar oeraciones algebraicas como sumar o restar fracciones, o exresar una fracción como una suma de fracciones, o factorizar numerador o denominador de una fracción, entre otras. Tener en cuenta la exresión del lado de la ecuación al cual se quiere llegar ya que ésta le uede sugerir el aso siguiente. En algunos casos, es útil exresar el lado de la ecuación a transformar en términos de seno y coseno, usando las identidades fundamentales.

4 Otro método ara robar que una ecuación es una identidad, es transformar ambos lados or searado hasta obtener en cada lado la misma exresión. En este caso no necesariamente realizamos las mismas oeraciones en ambos lados, sino que trabajamos indeendientemente en cada lado hasta obtener el mismo resultado en ambos lados. Probar las siguientes identidades trigonométricas:. + sec x + tan x + cos x. tan x sec x. + cos x cos x sen x tan x sec x : + sen x. Transformemos el lado izquierdo de la ecuación: + sec x + tan x + sec x sec x sec x + sec x sec x cos + + cos x: Luego, + sec x + tan x + cos x es una identidad trigonométrica.. Escojamos el lado derecho: sen x + sen x ( sen x) + sen x ( sen x) ( + sen x) sen x sen x sen x cos x sen x cos x tan x sec x: cos x Luego, la ecuación dada es una identidad trigonométrica.. Trabajemos con ambos lados searadamente: + cos x Lado izquierdo: cos x cos x + cos x cos x sec x + tan x Lado derecho: sec x sec x (sec x + ) (sec x ) sec x + : sec x sec x Como al transformar cada lado de la ecuación se obtiene la misma exresión, la ecuación dada es una identidad. Otras identidades trigonométricas imortantes Existen otras identidades trigonométricas imortantes que involucran más de un ángulo o múltilos de un ángulo. Fórmulas de Adición y Sustracción. sen (s + t) sen s cos t + cos s sen t cos (s + t) cos s cos t sin s sin t: tan s + tan t tan (s + t) tan s tan t 4

5 Prueba Las fórmulas ara seno y coseno de la suma de ángulos se deducen de la siguiente grá ca tan (s + t). sen (s t) sen s cos t cos s sen t cos (s t) cos s cos t + sin s sin t: tan s tan t tan (s t) + tan s tan t Prueba sen(s + t) sen s cos t + cos s sen t cos(s + t) cos s cos t sin s sin t sen s cos t cos s sen t + cos s cos t cos s cos t cos s cos t sin s sin t cos s cos t cos s cos t tan s + tan t tan s tan t Las fórmulas ara seno y coseno de la diferencia de ángulos se obtienen escribiendo sen (s t) sen (s + ( t)) y cos (s t) cos (s + ( t)) y teniendo en cuenta que sen ( t) sen t y cos ( t) cos t: Tarea Usar el hecho de que s t s + ( t) ara robar la fórmula de la tangente de la diferencia Calcular el valor exacto de las siguientes exresiones, sin emlear calculadora:. cos (0 o ) cos (70 o ) sen (0 o ) sen (70 o ). tan 7 :. cos (0 o ) cos (70 o ) sen (0 o ) sen (70 o ) cos (0 o + 70 o ) cos (90 o ) 0:. tan 7 tan + 4 tan 4 + tan 4 + tan tan 4 tan + + : 5

6 Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:. sec x csc x. tan x tan y cos (x + y) cos x cos y :. Transformemos el izquierdo: sec x cos x cos cos x + sen sen x 0 cos x + sen x csc x: sen x. Transformemos el lado derecho: cos (x + y) cos x cos y sen x sen y cos x cos y cos x cos y tan x tan y: cos x cos y cos x cos y sen x sen y cos x cos y sen x sen y cos x cos y sen x cos x sen y cos y Exresiones de la forma A sen x + B sen x Las exresiones de la forma A sen x+b sen x siemre ueden escribirse en la forma k sen (x + ) ó k cos (x + ). Veamos: Exresar sen x + cos x en la forma k cos (x + ). k cos (x + ) k [cos x cos sen x sen ] k cos x cos k sen x sen ( k sen ) sen x + (k cos ) cos x: Para que se cumla la igualdad es necesario que Elevando al cuadrado ambas exresiones: Ahora, sumando: k sen y que k cos : k sen 4 y k cos 4 : k sen + k cos k sen + cos 4 4 k k : 6

7 De esta forma: k sen : sen : sen k cos : cos : cos Como sen < 0 y cos > 0, se encuentra en el IV cuadrante. Por lo tanto, 6. Así, sen x + cos x cos x + cos x 6 6 Fórmulas ara el Ángulo Doble y ara el Semiángulo ó Ángulo Medio Fórmulas ara el Ángulo Doble A artir de las fórmulas de adición y sustracción, es fácil robar las siguientes fórmulas ara el ángulo doble: sen x sen x cos x cos x cos x sen x tan x tan x tan x En efecto, sen x sen (x + x) sen x cos x + sen x cos x sen x cos x Tarea Demostrar las fórmulas ara el coseno y la tangente del ángulo doble. Probar las siguientes identidades:. sen x. cos x cos x + cos x 7

8 . cos x cos x sen x cos x sen x sen x cos x sen x sin x cos x sen x cos x. cos x cos x sen x cos x cos x cos x cos x cos x cos + cos x x Fórmulas ara el Semiángulo o Ángulo Medio sen u r cos u cos u r + cos u tan u cos u sin u ó, tan u sen u + cos u En las dos rimeras fórmulas la elección del signo + ó deende del cuadrante en el que se encuentre u. Las demostraciones de estas fórmulas se obtienen a artir de los resultados del ejemlo anterior, haciendo x u. En efecto, usando el resultado del numeral. del ejemlo anterior, haciendo x u ; tenemos: Luego: sen u sen u r cos u cos u Calcular el valor exacto de cos :5 o. r 45 cos (:5 o o + cos 45 o ) cos Como :5 o está en el rimer cuadrante, elegimos el signo +: v v r u u + cos 45 cos (:5 o o t + t + s ) Tarea Probar las siguientes identidades: sen u cos u [sen (u + v) + sen (u v)] sen u sen u [cos (u v) cos (u + v)] 8