T3: TRIGONOMETRÍA 1º BCT
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- Enrique Jesús Chávez Hernández
- hace 9 años
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1 1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Queremos calcular las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, α + β, a partir de las razones de los ángulos α y β. 1.1 SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β Como se muestra en el dibujo, para deducir la fórmula combinamos dos triángulos rectángulos. Trazando triángulos semejantes podemos suponer que R = 1 ABC que tiene un ángulo α ADE " " " " β D F La hipotenusa del triángulo ADE es AD = R = 1 Por consiguiente: DE = sen β AE = cos β R = 1 α C El triángulo ADG, rectángulo, se verifica: sen (α + β) = DG = FH β 90 - α E Por otra parte: FH = FE + EH A α G H B o En el triángulo AEH: EH = AE sen α = cos β sen α Observamos en el dibujo que los triángulos AEH y EFD son semejantes, por tener sus ángulos iguales. o En el triángulo rectángulo EFD: FE = ED cos α = sen β cos α Luego, hemos obtenido: sen (α + β) = DG = EH + FE = cos β sen α + sen β cos α - 1 -
2 1. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β Según el dibujo anterior: cos (α + β) = AG = AH GH o En el triángulo AEH: AH = AE cos α = cos β cos α o En el triángulo rectángulo EDF: GH = DF = DE sen α = sen β sen α Luego, hemos obtenido: cos(α + β) = AH GH = cos α cos β sen α sen β 1. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS tgα + tgβ tg(α +β) = 1- tgα tgβ tg (α + β) = sen(α +β) senα cosβ + senβ cosα = cos(α +β) cosα cosβ - senβ senα = (Dividimos numerados y denominador por cos α cos β) tg (α + β) = senα cosβ senβ cos α + cosα cosβ cosα cosβ tgα + tgβ = cos α cosβ senβ sen α 1- tgα tgβ - cos α cosβ cos α cosβ - -
3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Empleando las fórmulas de la suma de dos ángulos y las razones de ángulos opuestos, vamos a determinar las razones de la diferencia de dos ángulos..1 SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen (α β) = cos β sen α sen β cos α sen (α - β) = sen [α + (-β)] = cos (-β) sen α + sen (-β) cos α Teniendo en cuenta: cos (-β) = cos β sen (-β) = - sen β Obtenemos: sen (α β) = cos (-β) sen α + sen (-β) cos α = cos β sen α sen β cos α. COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β cos (α β) = cos [α + (-β)] = cos (-β) cos α sen (-β) sen α Teniendo en cuenta: cos (-β) = cos β sen (-β) = - sen β Obtenemos: cos (α β) = cos (-β) cos α sen (-β) sen α = cos β cos α + sen β sen α. TANGENTE DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS tgα - tgβ tg(α -β) = 1+ tgα tgβ tgα + tg(-β) tg[α + (-β)] = 1- tgα tg(-β) Teniendo en cuenta: Obtenemos: tg (-β) = - tg β tgα + tg(-β) tg(α -β) = 1- tgα tg(-β) tgα - tgβ = 1+ tgα tgβ - -
![.1 SENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen (α β) = cos β sen α sen β cos α sen (α - β) = sen [α + (-β)] = cos (-β) sen α + sen (-β) cos α Teniendo en cuenta: cos (-β) = cos β sen (-β) = - sen β](/docs-images/47/21495447/images/page_3.jpg "Obtenemos: sen (α β) = cos (-β) sen α + sen (-β) cos α = cos β sen α sen β cos α.")
4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Vamos a determinar las razones del ángulo doble a partir de las razones de la suma de dos ángulos. 1) sen (α) = sen α cos α ) cos (α) = cos α sen tgα α ) tgα = 1- tg α sen (α) = sen (α + α) = cos α sen α + sen α cos α = sen α cos α cos (α) = cos (α + α) = cos α cos α sen α sen α = cos α sen α tgα + tgα tgα tg (α) = tg (α + α) = = 1- tgα tgα 1- tg α 4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD 1) sen = ) 1+ cosα cos = ) tg = 1+ cosα Teniendo en cuenta que α = razones del ángulo doble. α, vamos a determinar las razones del ángulo mitad empleando las cos (α) = cos sen = 1- sen sen = 1- sen sen = sen = 1+ cosα cos = 1- sen = 1- = 1+ cosα cos = sen tg = = = 1+ cosα 1+ cosα cos - 4 -
5 5 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más razones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las razones trigonométricas. Ejemplos: sen x = tgx x = sen x + cos x = 1 No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en: 1º.- Transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las razones que aparecen en una sola razón (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). º.- Una vez expresada la ecuación en términos de una sola razón trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la razón º.- Por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la razón trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. Para ello, empleando la calculadora determinamos el menor de los ángulos. Ejemplos: 1) sen x = 1 Empleando la calculadora obtenemos x = 90º Las soluciones son : 90º + 60º k ) cosec x = 4 cosec x = ± = ± cos ec x = x = 60º, x = 10º cos ec x = x = 40º, x = 00º ) tg x = -1 Sabemos que la tangente es negativa en el ºC y en el 4º C Empleando la calculadora, se obtiene - 1 INV TG = -45º El ángulo obtenido está en el 4ºC, considerando el ángulo positivo correspondiente x = 60º - 45º = 15º Para obtener el ángulo del º C prolongamos el lado extremo del ángulo: x = 90º + 45º = 15º - 5 -
6 4) sec 4x = - Para poder calcular el ángulo a partir de la razón, es necesario que la razón que aparezca en la ecuación sea seno, coseno ó tangente (ya que son la razones que tiene la calculadora) Si sec 4x = - cos 4x = -1/ 4x = 10º (calculadora) El coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrante: 4x = 180º + 60º = 40º x = 60º 4x = 10º x = 0º 5) tg x 1 = 0 tg x 1 = 0 tg x = 1 x = 0º + 60ºk, x = 10º + 60ºk 6) sen x cos x = 0 sen x cos x = 0 sen x = 0, cos x = 0 o sen x = 0 x = 0º, x = 180º o cos x = 0 x = 90º, x = 70º 7) 1 + sen x = cosec x 1 + sen x = sen x sen x + sen x = Realizamos el cambio: t = sen x sen x + sen x = t + t = 0 Resolvemos la ecuación de segundo grado: Deshaciendo el cambio, obtenemos: o t = sen x = t = o t = 1 sen x = 1 x = 90º + 60ºk 1 5 = 1± ± 5 4 = = = 1 4 (imposible ya que -1 sen x 1) - 6 -
7 6 AMPLIACIÓN: SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS 6.1 SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS sen A + sen B = sen A +B cos A B sen A sen B = cos A +B sen A B Consideremos las fórmulas de los senos de suma y diferencia de ángulos: sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α sen (α β) = sen α cos β sen β cos α Sumando sen (α + β) + sen (α β) = sen α cos β Restando sen (α + β) sen (α β) = sen β cos α Realizando el cambio: α + β = A α β = B Sustituyendo: α = A +B ; β = A -B sen A + sen B = sen A +B cos A -B sen A sen B = cos A +B sen A -B 6. SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS cos A + cos B = cos A +B cos A B cos A cos B = - sen A +B sen A B Consideremos las fórmulas de los cosenos de suma y diferencia de ángulos: cos(α + β) = cos α cos β sen α sen β cos(α β) = cos α cos β + sen α sen β Sumando cos (α + β) + cos (α β) = cos α cos β Restando cos (α + β) cos (α β) = - sen α sen β Realizando el cambio: α + β = A α β = B Sustituyendo: α = A +B ; β = A -B cos A + cos B = cos A +B cos A -B cos A cos B = - sen A +B sen A -B - 7 -
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. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 00 b) 00 Solución: a) 0/9 rad, b) 5/ rad.. Pasa a radianes los siguientes ángulos: a) 70 b) 6 Solución: a) / rad, b) 7/0 rad..- TRIGONOMETRÍA.- EL RADIÁN. Halla,
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b 11 cm y la hipotenusa
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