3.1 Ejercicios Trigonometría 4.1

Transcripción

1 1 3.1 Ejercicios Trigonometría Ejercicios resueltos 1. Comprobar la siguiente identidad trigonométrica curiosa: tg (α) sen (α) tg (α) sen (α) Solución: En primer lugar desarrollaremos el primer término de la igualdad. Así: tg (α) sen (α) sen cos (α) sen (α) sen (α) sen (α)cos (α) cos (α) sen (α)(1 cos (α)) cos (α) 1 z } { sen (α) ( sen (α)+cos (α) cos (α)) cos (α) sen (α) sen (α) cos (α) tg (α) sen (α). Sabiendo que tg( ) 1 calcular sen(). Solución: Como vimos, utilizando la epresión de la tangente del ángulo doble tenemos:: tg() tg( ) tg( ) 1 tg ( ) 1 1 ( 1 ) 3 Ahora bien, conocemos tg() pero nos piden sen(). Este caso es típico, para ello partiremos de la relación fundamental: sen (α)+cos (α) 1 sen () sen () + cos () sen () 1 sen () 1+ 1 tg () 1 sen () 1+ 1 (/3) 1 sen () sen () 16 5 sen() ± 5 Notar que tenemos dos valores (uno positivo y otro negativo) ya que la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, pero no así en seno. 3. Conocidos los tres ángulos de un triángulo es posible resolver el triángulo? Solución: La respuesta a esta cuestión es negativa, ya que eisten infinitos triángulos semejantes a uno dado con idénticos ángulos.

2 Lo que si sabremos es que los lados de todos ellos serán proporcioles.. Los lados de un triángulo miden respectivamente 13, 1 y 15 cm. Hallar sus ángulos así como es área del triángulo. Solución: A partir de los datos del problema debemos encontrar los valores de los ángulos. Como nos dan sus tres lados podemos aplicar el teorema del coseno, de donde: c a + b ab cos(c) cos(c) cos(c) C arccos(0.386) rad Análogamente: a b + c bc cos(a) cos(a) A arccos(0.508) rad Utilizando que la suma de los ángulos ha de ser π rad, tenemos: B π Por otro lado para calcular el área debemos notar que, por ejemplo: sen(a) h 13 h 13 (1.038) de donde: area base altura cm

3 3 5. Encontrar el valor de y h a partir de los datos que se nos indican en el siguiente dibujo, sabiendo que A π/6 y B π/3. Solución: A partir de las tangentes de los ángulos A y B obtenemos: ½ tg(a) tg(b) h h 10+ tg(π/6) tg(π/3) 3 ½ h h h 5 3 unidades 5unidades 6. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en u dirección que forma un ángulo de 5 con la dirección este. El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de 0 o con la dirección norte. Cuál es la velocidad con respecto a tierra real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este? Solución: Indiquemos la velocidad del aeroplano relativa al aire como V, la velocidad del viento relativa a tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra UV+W. Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. Por tanto obtenemos: V170cos(5 ) 10.6 Vy 170sen(5 ) de donde: W 30sen(0 ) 10.6 Wy 30cos(0 )8.19 U 9. Uy 16.15

4 Entonces, por el teorema de Pitágoras, dado que Por otro lado U U + Uy U km/h cos(a) U U A arccos( ) rad Ejercicios propuestos 1. Calcular todos los ángulos α [0, π] tales que cos(α) 3 tg(α) (sol: α π/6, α 5π/6). Si α y β son ángulos comprendidos entre 0 y π radianes. Qué relación hay entre ellos si se verifica que sen(α) sen(β) y cos(α) cos(β)? (sol: β α). 3. Que relación eiste entre las razones trigonométricas de (π/ α) y(π/ + α)? (sol: Al ser complementarios sen(π/ α) cos(π/+α) y viceversa).. Sabiendo que cos(α) 1/3 yqueα [0, π/] determir cos(π/ α), sen(3π/+α) y tg(π α) (sol: cos(π/ α) 3 ; sen(3π/+α) 1/3 ; tg(π α) ). 5. Sabiendo que cos(α) 3/5 yqueα [3π/, π] determir sen(α), tg(α) y cos(α/) (sol: sen(α) /5 ; tg(α) /3 ; cos(α) / 5). 6. Comprobar que las siguientes epresiones no dependen del valor de α y determir su valor: sen(α)cos(π/ α) cos(α)cos(π/+α) (sol: ) 7. Demostrar las identidades: cos(α)cos(π/6+α)+sen(α)cos(π/3 α) (sol: 3 ) a) cos(α) sen (α + π/) b) 1+cotg (α) cosec (α) c) sec (α) 1+tg (α) d) tg(α)+cotg(α) sec(α) cos ec(α) 8. Sabiendo que tg(α) yque sen(α)cos(β) cos(α β) hallar tg(β) (sol: tg(β) 7/). 9. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica: cos() 3 tg() (sol: π/6+kπ ; 5π/6+kπ (k Z) 10. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica sabiendo que [0, π] : 3sen() cos() sen 3 () (sol: 0, π, π/6 ó 7π/6 rad) 11. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones sabiendo que e y [0, π]: ½ ()+cos(y) (sol: yπ/ ;3π/ y-π/) + y π/

5 5 1. Resolver, si es posible, los siguientes triángulos: a) a 100cm, B 7 0,C 63 0 (sol :b 77.8cm, c 9.81cm, A 70 0 ) b) A π/3,b π/,c π/6 (sol: Infinitos triángulos) c) a 5 cm, b 30cm, c 0cm (sol: A 0.67rad, B 0.85rad, C 1.6rad) d) b 6cm, c 8cm,C 57 0 (sol :a 9.8cm, A ,B ) donde: 13. Sean A y B los ángulos no rectos de un triángulo rectángulo. Probar que: (a) sen (A)+sen (B) 1 (b) tg(a) tg(b) 1 1. Sean A, B y C los ángulos de un triángulo cualesquiera. Probar que (a) sen(a) sen(b + C) (b) cos(a)+cos(b + C) Los lados de un paralelogramo miden 6 y 8 cm respectivamente y forman un ángulo de 0.5 rad. Calcular la medida de sus diagoles (sol: 13.6 cm y.31 cm). 16. Se desea calcular la distancia entre dos puntos A y B de un terreno llano que no son accesibles. Para ello, se toman dos puntos accesibles del terreno C y D y se determir las distancias y ángulos siguientes: CD 300m α ACD 85 0 β BDC 75 0 α 0 BCD 0 β 0 ADC 35 0 Calcular la distancia de A a B (sol:7.7 m)

6 .1. TEMA.5 COMPLEJOS 1.1 Tema.5 Complejos Ejemplo: Efectúa i, 1+i7 3+i 1 i y 1+3i i( i) 1+3i i 3+i i 3+i 3 i 3 i 3i i 3i ( 1) 3i +1 3 i 9 ( 1) i Observemos que: i 0 1,i i, i 1,i 3 i, i 1,i 5 i, i 6 1,i 7 i,... 1+i 7 1 i 1 i 1 i 1 1+3i i ( i) 1+3i 1+3i i + i 1+i 1 i 1+3i 1+3i 1+3i i 1 3i 1+3i 1 3i i 3i 1 3 i i i 1 10 Ejemplo: Resuelve la ecuación +0 ± ± 1 ± 8 1± 11± i ± ± 1 Ejemplo: Comprueba que la suma z + 1 z también lo sea. Sea z + iy 1 z z + 1 z + iy + + y + y y + y i nunca puede ser imagirio puro, salvo que z y + y i + µ + y + i y para que sea imagirio puro, tiene que ser: µ + + y y y + y Ejemplo: Qué condiciones tiene que cumplir z para que z + 1 z sea real? z + 1 z + iy + + y y + y i + µ + y + i y y + y

7 para que sea un número real, tiene que verificar: y µ y + y 0y y y y y o z es un número real o bien su afijo se encuentra sobre la circunferencia unidad de centro (0, 0). Ejemplo: Dado el polinomio +3 +1p(), demuestra que p(z) p(z) cualesquiera que sean los z para los que p(z) R Sea z a + bi, por las propiedades de la conjugación, sabemos que p(z) p(z) p (z) p (z) R, luego, (a + bi) +3(a + bi)+1 R a b +abi +3a +3bi +1 R ab +3b 0 Ejemplo: Calcula el producto i i i 3 i 100 ylasumai + i + i i 100. i i i 3 i 100 i i 5050 i + 16 i i 16 i 1 i + i + i i 100 i i100 i i i i 1 i 1 0 Ejemplo: Representa en el plano complejo los números que verifican: 1. z + z 1. z z 1 i 1. z + z 1 + iy + iy 1 1. z z 1 i + iy ( iy) yi 1 i y 1 Ejemplo: Describe el conjunto de puntos z tal que: 1. Re (z) 0;Re(z) > 0; z 1; z > 1; Im (z) 1;Im(z) < 1; 1 < z <.. z 1 ; z 1 < ; z 1 z Re (z) + Im (z) 1; z Re(z)+; z 5 z +5 6; z 3 + z +3 8 Solución.- Solución.- 1. Si z + iy Re (z) 0que representa u recta, el eje de ordedas; Re(z) >0 es un semiplano. z p + y 1 + y 1circunferencia de centro (0, 0) yradio1.1 < z < es u coro circular de radios 1 y respectivamente.

8 .1. TEMA.5 COMPLEJOS 3. z 1 es la circunferencia de centro (1, 0) yradio. z 1 < el circulo de centro (1, 0) y radio. z 1 z +1 es el lugar geométrico de puntos del plano que equidistan de los puntos (1, 0) y ( 1, 0), es decir, la mediatriz de ese segmento. 3. Re (z) + Im (z) 1 + y es un cuadrilátero de vértices (1, 0), (0, 1), ( 1, 0) y (0, 1). z 5 z +5 6lugar geométrico de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (llamados focos (5, 0) y ( 5, 0)) es constante, es decir, u hipérbola. z 3 + z +3 8es el lugar geométrico de puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos(llamadosfocos)(3, 0) y ( 3, 0) es constante, es decir, u elipse. z Re(z)+lugar geométrico de puntos del plano equidistantes de un punto fijo y u recta, es decir, u parábola. Ejemplo: Resolver la ecuación z 3 1. ½ 11 0 ( φ ) 3 3 3φ φ 0+kπ las soluciones son: observemos que 1 0 1, 1 π 3 1 0, 1 π, 1 π 3 3 1e π 3 i e π 3 i w, 1 π 3 ½ 1e π 3 i e π 3 i 1 φ kπ ; k 0, 1, 3 ³ e π 3 i w verificándose que 1+w + w 0yquew 3 1 w 1 w w ww w. Veamos un ejemplo donde se hace uso de estas propiedades. Ejemplo: Demostrar que para cualquier número tural n el polinomio ( +1) 6n+1 6n+1 1 es divisible por ( + +1). Vamos a demostrar que las raíces de ( + +1) dividen a ( +1) 6n+1 6n+1 1 con lo que estará probado. ( 1) luego las raíces de + +1son las raíces complejas de z 3 1, es decir, w y w w 1 w, y lasraícesde( + +1) son w y w w 3 w w. y al ser (w +1) 6n+1 w 6n+1 1 w +1 w ª w 6n+1 w 6n+1 1 w 6n+1 w 1n+ w 1n w w 3 n w w w 6n+1 w 3 n w w de donde (w +1) 6n+1 w 6n+1 1 w w 10 Análogamente procedemos con la otra raíz, w. Ejemplo: La fórmula de Moivre nos sirve para realizar cálculos trigonométricos, por ejemplo, epresar a, cos 3a, cos a,...,cos a, cos 3 a,...

9 En efecto, aplicando la citada fórmula, podemos escribir: (cos a + i a) n cos + i ysólotenemosquedesarrollarporlafórmuladelbinomioelprimertérmino. Así tendremos, por ejemplo, para n (cos a + i a) cosa + i a cos a +i cos a a + i a cosa + i a ½ ¾ cos cos a a +i cos a a cosa + i a a a cosa cosa a si cos a 1 cos a cosa cos a 1+cosa y 1 cos a a También podemos obtener el seno de u suma o diferencia a partir de la fórmula de Euler: e i cos + i pero, por otra parte: e ia e ib e i(a+b) cos(a + b)+i (a + b) (cos a + i a)(cosb + i b) cosa cos b a b + i (cos a b +sicob) igualando las partes reales e imagirias obtenemos: cos (a + b) cosa cos b a b (a + b) cosa b +si cos b Las transformaciones de productos de senos y/o cosenos, son muy utililes en el cálculo de primitivas, veamos un procedimiento sencillo basado en la fórmula de Euler. Ejemplo: Transformar en sumas de senos y/o cosenos. Sea e i cos + i, y e i e i( ) cos( )+i ( ) cos i. Sumando y restando, obtenemos: de donde, cos ei + e i ei e i i ei e i i ei e i i

10 .1. TEMA.5 COMPLEJOS 5 y multiplicando ei e i e i e i 1 e 3i e i e i + e 3i i i 1 e 3i + e 3i e i + e i 1 (e 3i + e 3i ) (ei + e i ) 1 [cos 3 cos ] Ejercicios Ejemplo: Hallarz (1+i)100 ( 1 i) 50 z (1 + i)100 (1 + i) z 1 i (1 i) 5 Pasamos los número complejos a su forma polar ½ arg (z0 )arctan 1 z 0 1+i ¾ π 1 z z 0 π z π 50 5π ( arg (z0 ) arctan 1 1 z 1 1 i 1π ) q z 1 1 +( 1) z 1 π z π 50 5π z π 75 3π 37 µ cos 3π 5 π + i 3π 37 ( 1+i) ³ n ³ n 1+i Ejemplo: Calcular f (n) + 1 i para n 1,, 3, yprobarquef (n +) f (n)(n > 0 entero) µ n µ n 1+i 1 i f (n) + e π i n + e π i n nπ e i + e nπ i ³ nπ ³ nπ ³ cos + i +cos nπ ³ + i nπ ³ nπ ³ nπ ³ nπ ³ nπ ³ nπ cos + i +cos i cos de donde ³ π f (1) cos µ π f () cos µ 3π f (3) cos 0

11 6 µ π f () cos µ (n +)π f (n +) cos ³ nπ π cos + cos nπ f (n) Ejemplo: Girar5 o el vector z 3+i y etenderlo el doble. Girar u figura o un vector 5 o, equivale a multiplicarlo por el número complejo z 1 5 o 1 π cosπ + i π i y para etenderlo el doble basta con multiplicar por. µ 1 1 (3 + i) + i +7i Ejemplo: Calcularlasumacos a +cosa +cos3a + +cos Consideramos z cosa +cosa +cos3a + +cos + i ( a +si + +) cosa + i a +cosa + ½ i a + +cos + i ¾ suma de n términos de e ia + e ia + + e i ei e ia e ia u progresión geométrica e ia 1 e ia ei 1 cos + i 1 1+cos + i e ia eia eia 1 cos a + i a 1 1+cosa + i a ia + i cos + icos e ia e a ia e a a + i a cos a a µ i + i cos i a + i cos a e i( a ) a cos n +1 a + i n +1 a ia e a ia e a e i( + a ) a a + icos a cos a cos a e i (n+1)a de donde, igualando la parte real y la imagiria, tendremos: cos a +cosa +cos3a + +cos a cos n +1 a a +si +3a + + Ejercicio: Demostrar las fórmulas de Moivre: 1+cos π n +cosπ n π n +π n a 1) π + +cos(n n 1) π + +(n n n +1 a 0 0

12 .1. TEMA.5 COMPLEJOS 7 Ejercicio: Hallar las raices de la ecuación (1 + i) z 3 i 0 Ejercicio: Escribir en forma binómica e i. Ejercicio: Resolver la ecuación z Ejercicio: Resolver la ecuación z Ejercicio: Resolver la ecución (z +1) 3 + i (z 1) 3 0.