NÚMEROS COMPLEJOS. Página 147 REFLEXIONA Y RESUELVE. Extraer fuera de la raíz. Potencias de. Cómo se maneja k 1? Saca fuera de la raíz:

Transcripción

1 NÚMEROS COMPLEJOS Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Extraer fuera de la raíz Saca fuera de la raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula las sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) 5 ( ) Cómo se maneja k? Simplifica. a) + 8 b) c) a) b) c) ( ) Unidad. Números complejos

2 Expresiones del tipo a + b Simplifica las siguientes sumas: a) ( + 5 ) + ( ) ( ) b) ( 5)(5 + ) ( ) a) ( + 5 ) + ( ) ( ) 5 b) ( 5)(5 + ) ( ) Efectúa las siguientes operaciones combinadas: a) ( ) ( + 7 ) b) 8(5 ) + ( + ) a) ( ) ( + 7 ) 8 5 b) 8(5 ) + ( + ) Multiplicaciones Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) ( ) b) (5 + ) 8 c) (5 + )(7 ) d) (5 + )(5 ) a) ( ) ( ) ( ) + b) (5 + ) ( ) + 0 c) (5 + )(7 ) ( ) 5 + d) (5 + )(5 ) ( ) Ecuaciones de segundo grado Resuelve: a) x + 0x b) x a) x 0 ± 00 0 ± 0 ± + 0x x x ± x 5 b) x x 9 8 x ± 9 ± x x Unidad. Números complejos

3 UNIDAD Página 9. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: 5 i; + 5 i; 5i; 7; i; 0; i; 7; i Reales: 7, 0 y 7 5 Imaginarios: 5 i, + i, 5i, i, i, i Imaginarios puros: 5i, i, i Representación: i 7 i i i + 5 i 7 5 i 5i. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) z + 0 b) z + z c) z d) z 7 0 ± ±i a) z ± i z i, z i i i ± 0 ± b) z ± i ± i; z i, z + i + i i Unidad. Números complejos

4 i c) z 9 8 z ± 9 ±i z i, z i i d) z 9 8 z ± z, z. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 5i b) 5 + i c) i d) + i e) 5 f) 0 g) i h) 5i a) Opuesto: + 5i Conjugado: + 5i + 5i + 5i 5i b) Opuesto: 5 i Conjugado: 5 i 5 + i 5 i 5 i Unidad. Números complejos

5 UNIDAD c) Opuesto: + i Conjugado: + i + i + i i d) Opuesto: i Conjugado: i + i i i e) Opuesto: 5 Conjugado: f) Opuesto: 0 Conjugado: 0 g) Opuesto: i Conjugado: i 0 i i h) Opuesto: 5i Conjugado: 5i 5i 5i Unidad. Números complejos 5

6 . Sabemos que i. Calcula i, i, i 5, i, i 0, i, i, i. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. i i i i 5 i i i 0 i i i i i CRITERIO: Dividimos el exponente entre y lo escribimos como sigue: i n i c + r i c i r (i ) c i r c i r i r i r Por tanto, i n i r, donde r es el resto de dividir n entre. Página 5. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) ( 5i) + ( i) ( 5 + i) b) ( i) (5 + i) + ( i) c) ( + i) ( i) d) ( + i) (5 i) e) ( i + ) ( i) ( + i) + i i + i f) g) h) i + i + 5i 5 + i + 5i i i) j) k) i + i i ( ) l) 5 + i m) 5 ( i) ( i) + i a) ( 5i) + ( i) ( 5 + i) 5i + i + 0 i 8 8i b) ( i) (5 + i) + ( i) i 5 i + i 9i c) ( + i) ( i) i + 8i i + i + + i d) ( + i) (5 i) 0 i + 5i 8i 0 + i i e) ( i + ) ( i) ( + i) ( i + i + i) ( + i) ( 5i) ( + i) ( 5i) ( + i) + i 5i 5i + 5 i i + i ( + i) ( + i) 8 + i + i + 8i 0i 0i f ) i i ( i) ( + i) i + 0 g) i ( i) ( i) i i + i i i + i ( + i) ( i) 9 i i 0 0 Unidad. Números complejos

7 UNIDAD h) + i ( + i) ( 5i) 0i i 0i i i ( + 5i) ( 5i) 9 5i i 8 i i 7 7 i) 5 + i (5 + i) ( + i) 0 + 5i i + i 0 + i + i i ( i) ( + i) i 5 5 j) + 5i ( + 5i) ( i) i + 5i 0i + i i ( + i) ( i) 9 i i + i i ( i) ( i) k) i + i i i i i ( i) l) ( 5 + ) i i 9 + i 5 5 m) ( i) ( i) 9i ( i) 9 ( i) 9 + 8i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( 9 + 8i) ( i) 8 + 8i + i i 8 + 5i + ( + i) ( i) i i i + i Obtén polinomios cuyas raíces sean: a) + i y i b) i y i c) + i y i (Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales). a) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) ( i ) x x + i x x + + x x + 7 b) [x ( i)] [x i] [x + i] [x i] x 9i x + 9 c) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) (x ) + (x ) i (x ) i 8i x x + + (x x + )i + 8 x x + + (x + )i x x + + ix + i x + ( + i)x + ( + i) Unidad. Números complejos 7

8 . Cuánto debe valer x, real, para que (5 xi) sea imaginario puro? (5 xi) 5 + x i 50xi (5 x ) 50xi Para que sea imaginario puro: 5 x 0 8 x 5 8 x ± 5 ±5 Hay dos soluciones: x 5, x 5. Representa gráficamente z + i, z + 5i, z + z. Comprueba que z + z es una diagonal del paralelogramo de lados z y z. z + z 5 + 7i 7i z + z 5i z i z 5 Página 5. Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) + i b) + i c) + i d) 5 i e) i f) 5 a) + i 0 b) + i 0 c) + i 5 d) 5 i 9 7' e) i 90 f) 5 5. Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 5 (π/) rad b) 5º c) 95º d) 0º e) 5 80º f) 90º π π a) 5 (π/) 5 ( cos + i sen ) 5 ( + i ) + i 5 b) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i 5 8 Unidad. Números complejos

9 UNIDAD c) i d) 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i e) f) 90 i. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z r a. Opuesto: z r 80 + a Conjugado: z r 0 a. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo: z 8(cos 0º + i sen 0º) z (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) + i + i Sean los números complejos z 0º y z 0º. a) Expresa z y z en forma binómica. b) Halla z z y z /z, y pasa los resultados a forma polar. c) Compara los módulos y los argumentos de z z y z /z con los de z y z e intenta encontrar relaciones entre ellos. a) z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i i 9i i i + i ( ( 70 i) ( i) i) ( + i) ( + i)( i) b) z z ( + i ) ( i ) z z i + 9i + i + i + i i + ( ) 50 c) z z 0 0 ( ) z z 0 ( ) 0 0 ( ) 50 0 Unidad. Números complejos 9

10 Página 55. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica: a) 50º 5 0º b) 5º : 5º c) 0º 0º 70º d) 5 (π/)rad : 0º e) ( i) 5 f ) ( + i) + ( + i) a) b) 5 : 5 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i c) (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i d) 5 (π/)rad : : (cos 0 + i sen 0 ) 5 ( + i ) + i e) ( i ) 5 ( 00 ) (cos 0 + i sen 0 ) f) i 90º ( + i ) i. Compara los resultados en cada caso: a) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ) b) ( 0 ), ( 50 ), ( 70 ), ( 0 ) a) ( 0º ) 0º 8 90º ( 50º ) 50º 8 50º 8 90º ( 70º ) 8 70º 8 80º 8 90º b) ( 0º ) 0º 0º ( 50º ) 00º 0º ( 70º ) 080º 0º ( 0º ) 0º 0º. Dados los complejos z 5 5º, w 5º, t i, obtén en forma polar: a) z t, b) z z w c) z d) w t t w z 5 5 w 5 t i 90 0 Unidad. Números complejos

11 UNIDAD a) z w 0 0 b) z z ( 5 )5 w z c) ( ) 0 ( )00 w t 0º z w d) t Expresa cos a y sen a en función de sen a y cos a utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que: (a + b) a + a b + ab + b ( a ) (cos a + i sen a) cos a + i cos a sen a + i cos a sen a + i sen a cos a + cos a sen a i cos a sen a i sen a (cos a cos a sen a) + ( cos a sen a sen a)i Por otra parte: ( a ) a cos a + i sen a Por tanto: cos a cos a cos a sen a sen a cos a sen a sen a Página 57. Halla las seis raíces sextas de. Represéntalas y exprésalas en forma binómica. 0 (0 k)/ 0 k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: i 0 + i 80 0 i 00 i Representación: Unidad. Números complejos

12 . Resuelve la ecuación z Representa sus soluciones. z z 7 ( n)/ n ; n 0,, z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i z z z. Calcula: + i a) i b) i c) 5 d) + i a) i ( k)/ ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 + i 70 b) i (0 + 0 k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 ( + i ) + i 0 ( + i ) + i 0 ( i ) i 0 00 ( i ) i Unidad. Números complejos

13 UNIDAD c) 5 5 ( k)/ k ; k 0, 5 80 Las dos raíces son: i; i d) ( k)/ k ; k 0,, + i 85 + i 75 0 Las tres raíces son: 5 ; 5 ; 5. Resuelve las ecuaciones: a) z + 0 b) z + 0 a) z z ( k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 5 + i; 5 + i; 5 i; 5 i b) z z ( k)/ k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: 0 ( + i ) + 90 i ( + i ) + i 0 ( i ) i i 0 ( i ) i 5. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: z w, z/w, z, z z y w raíces sextas de 8 z, w (z w) z w 8 z w es raíz sexta de. z ( ) z z 8 es raíz sexta de. w w w z (z ) z (z ) 8 z es raíz sexta de. z (z ) z 8 z z (z ) z 8 z es raíz sexta de. Unidad. Números complejos

14 . El número + i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las otras tres raíces cuartas de z. + i 5 5' Las otras tres raíces cuartas de z serán: 5 5' ' + i 5 5' ' i 5 5' ' i 7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones: a) 9 b) 7 c) i 5 d) e) f ) + i i a) 9 ( k)/ k ; k 0, 9 80 i 8i Las dos raíces son: 90 i; 70 i i i 7 80 b) 7 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z 80 z 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i ) i z z z Unidad. Números complejos

15 UNIDAD c) i 8 (5 + 0 k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 05 0,7 +,7i z 5 ( i ) i z 5,7 0,7i z z i i z d) ( k)/ k ; k 0,, i 5 + i 70 5 Las tres raíces son: i 90 i 0 i 0 i 0 0 e) ( i) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, i i ( i) Las cinco raíces son: z 8,9 + 0,i z 90 i z,9 + 0,i z,,i z 5 0,,i z z z z z f) 8i (90º + 0º k)/ 0º + 0º k ; k 0,, Las tres son: z 0º z 50º z 70º z z z Unidad. Números complejos 5

16 Página 58 LENGUAJE MATEMÁTICO. Pon la ecuación o inecuación que caracteriza los siguientes recintos o líneas: a) b) c) d) e) Describe con palabras cada una de las familias ( son los números complejos cuya parte real vale ) y da un representante de cada una de ellas. a) Re z b) Ì Im z < c) z d) z > e) Arg z 90. Representa: a) Re z b) Im z 0 c) < Re z 5 d) z e) Arg z 80 a) b) c) d) e) Unidad. Números complejos

17 UNIDAD Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números complejos en forma binómica Calcula: a) ( + i) ( i) ( i) ( i) b) + i( + i) (5 i) c) i ( i)5i d) ( i) ( + i) ( i) a) ( + i) ( i) ( i) ( i) i + i i + i + i i i + i + + i + i i b) + i ( + i) (5 i) i + i 5 + i i 5 + i + i c) i ( i)5i i 0i + 5i i 5 5 i d) ( i) ( + i) ( i) (i) 9i + i i 8 + i Calcula en forma binómica: ( + i) ( i) + i a) b) i ( + i) ( + i) + 5i + i c) ( i) d) + i i i + i a) ( + i) ( i) i + i i 8 + i (8 + i) ( + i) i i i ( i) ( + i) + i + i + 8i i b) + i + i + i ( + i) ( i) ( + i) ( + i) + i i + i ( + i) ( i) + i 8i + 8 i 9 7i 9 7 i c) + 5i i + 5i i (7 + i) ( + i) ( i) i i i ( i) ( + i) + i + 9i 5 + i 5 + i 9 + Unidad. Números complejos 7

18 + i i ( + i) ( + i) ( i) ( i) d) + + i + i ( i) ( + i) ( + i) ( i) + i + i + 9i i + i 9 + 7i i 9 + 7i 7 + i 7 + i Dados los números complejos z i, w + i, t i, calcula: w a) zwt b) zt w(t + z) c) t z z t z + it d) e) w f) w z wt z i; w + i; t i a) zwt ( i) ( + i) ( i) ( + i +9i i )( i) ( + i) ( i) i i i b) zt w(t + z) ( i) ( i) ( + i) ( i + i) ( i +i ) ( + i) ( 5i) ( i) ( + i) ( 5i) ( i) ( + 5i +i 0i ) ( i) (7 + 7i) 9i w + i i i ( + i)( + i) c) t ( i) z i i (i) + i +i +8i + 8i i z t ( i) ( i) i +i ( i) d) w + i + i ( ) (i) i i 9 + z + it ( i) +i( i) 9i + e) w ( + i) ( + i) ( ) 5 0 i ( + i) 5 + i +9i i 7 + i f) z wt ( i) ( + i) ( i) i + 9i ( + i)( ) 8 i + 8i 0 + i 0 + i 8 Unidad. Números complejos

19 UNIDAD Calcula: a) i 7 b) i c) i 7 d) i e) i a) i 7 i i b) i i c) i 7 i 7 i i d) i i 0 e) i i i 0 5 Dado el número complejo z + i, prueba que: a) + z + z 0 b) z z a) z ( + i ) + i i i i i + z + z + ( + i ) + ( + i ) + i i 0 ( i ) b) z + i + ( + i) ( + i i i) ( i ) ( i ) i i + z i (lo habíamos calculado en a) Por tanto: z z Igualdad de números complejos Calcula m y n para que se verifique la igualdad ( + mi) + (n + 5i) 7 i. ( + mi) + (n + 5i) 7 i ( + n) + (m + 5)i 7 i 8 + n 7 m + 5 n 5 m 7 Unidad. Números complejos 9

20 k + i 7 Determina k para que el cociente sea igual a i. + i k + i + i (k + i) ( i) k ki + i + (k + ) + ( k)i ( + i) ( i) + k + ( ) + ( ) i i 8 Por tanto, k. k k + k 8 k 8 k 8 Calcula a y b de modo que se verifique: (a + bi) + i Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a, y la parte imaginaria a. (a + bi) + i a + bi + abi + i a b + abi + i 8 b a a a b ab a a ( ) 8 a 8 a a 8 a a 0 a ± 9 + a 8 b a 8 b a ± 5 a 8 a ± a (no vale) 9 Dados los complejos ai y bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8 + i. ( ai) ( bi) 8 + i bi ai + abi 8 + i bi ai ab 8 + i ( ab) + ( b a)i 8 + i ab 8 b a b + a 0 Unidad. Números complejos

21 UNIDAD a ( ) a + a + a ± + 8 a 8 a + a 8 a + a 0 0 Calcula el valor de a y b para que se verifique: + bi a i 5 i (a i) (5 i) + bi 5a ai 5i 9 + bi (5a 9) + ( a 5)i + bi 5a 9 a 5 b ± 8 a /5 b 08/5 a + a a 8 b a 8 b a i + bi 5 i Halla el valor de b para que el producto ( i) ( + bi) sea un número: a) Imaginario puro. b) Real. ( i) ( + bi) + bi i + b ( + b) + (b )i a) + b 0 8 b b) b 0 8 b 8 Determina a para que (a i) sea un número imaginario puro. (a i) a + i ai (a ) ai Para que sea imaginario puro, ha de ser: a 0 8 a ± 8 a, a Calcula x para que el resultado del producto (x + + ix) (x i) sea un número real. (x + + ix) (x i) x xi + x i + x i xi x xi + x i + ix + x (x + x) + (x x )i Para que sea real, ha de ser: x ± + 8 x 0 8 x ± x x Unidad. Números complejos

22 Números complejos en forma polar Representa estos números complejos, sus opuestos y sus conjugados. Exprésalos en forma polar. a) i b) + i c) + i d) i e) f ) i g) i h) + i a) i 5 Opuesto: + i 5 Conjugado: + i 5 + i + i i b) + i 5 Opuesto: i 5 + i Conjugado: i 5 i i c) + i 0 Opuesto: i 0 Conjugado: i 0 i + i i d) i 0 Opuesto: + i 0 Conjugado: + i 50 + i i + i e) 80 Opuesto: 0 Conjugado: 80 f) i 90 i Opuesto: i 70 Conjugado: i 70 i Unidad. Números complejos

23 UNIDAD g) i ( )70 Opuesto: i ( )90 i/ i/ Conjugado: i ( )90 h) + i 0 Opuesto: i 0 + i Conjugado: i 00 i i 5 Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) 5º b) (π/) c) 80º d) 7 0º e) (π/) f) 5 70º g) 50º h) 00º a) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i b) (π/) ( cos + i sen ) ( + i ) + i c) 80 π π (cos 80 + i sen 80 ) ( + i 0) d) e) (π/) cos π + i sen π i f) i g) 50 cos 50 + i sen 50 + i + i h) 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( 0,7 + i 0,98) 0,9 +,9i Unidad. Números complejos

24 Dados los números complejos: calcula: z 70, z 0 ; z 5 a) z z b) z z c) z z z d) e) f) z g) z z z h) z i) z z z z a) z z 8 0º b) z z 75º c) z z 5º z d) z,5 5º e) z 50º 0º f) z,5 05º z z g) z 80º h) z 0º i) z 8 80º z 7 Expresa en forma polar y calcula: a) ( i) 5 b) i c) d) 8i e) ( + i) f ) ( i) a) ( i) 5 ( 5 )5 5 5 ( + i) + i b) i ( n)/ n ; n 0,,, Las cuatro raíces son: c) (0 k)/ 0 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i 8 90 d) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 50 + i 70 i e) ( + i ) ( 50 ) f) ( i) (5 0 5' ) 5 90 ' 5 00 ' Unidad. Números complejos

25 UNIDAD 8 Calcula y representa gráficamente el resultado: i + i a) ( ) b) + i i i a) ( ) ( 5 ) + i 0 (( ) 85 ) ( ) 855 ( ) 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( + i ) + i + i b) + i ( + i) ( + i) + i + i i ( i) ( + i) ( k 0,, )(7 ' + 0 k)/ ( ) 5 7 ' 5 5 5' + 0 k; Las tres raíces son: 5 5' 0, ,7i i 5 5' 0,9 + 0,5i 5 5' 0,09 0,85i 9 Calcula y representa las soluciones: a) i b) c) 8i a) i ( k)/ k ; k 0,, 8 00 Las tres raíces son: 00 0,5 +,97i 0,5,i 0,88 0,8i Unidad. Números complejos 5

26 80 b) ( k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 5 + i 5 + i 5 i 5 i 8 90 c) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 50 + i 70 i Página 0 Calcula pasando a forma polar: a) ( + i ) 5 b) ( i ) ( i) c) 8 d) e) f) i ( i) 5 i g) i h) + i a) ( + i ) 5 ( 0 ) 5 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i) i b) ( i ) ( i ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) i c) + i (0 + 0 k)/ k k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 + i 0 + i 0 i 00 i + i Unidad. Números complejos

27 UNIDAD 8 ( i) 5 d) ( ) 5 ( ) 5 5 (cos 5 + i sen 5 ) ( i ) i e) ( k)/ k ; k 0,,,,, ( 5 ) Las seis raíces son: 0 + i 90 i 50 + i 0 i 70 0 i f ) i (5 + 0 k)/ 0' + 80 k ; k 0, 5 Las dos raíces son: 0' 0, +,i 9 0' 0,,i g) i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i 5 ( k 0, ) k; i 5 h) ( ) + i 80 ( )( k)/ Las dos raíces son: ( i ( i )90 )70 Expresa en forma polar z, su opuesto z, y su conjugado z en cada uno de estos casos: a) z i b) z i c) z + i a) z i 00 ; z + i 0 ; z + i 0 b) z i 5 ; z + i 5 ; z + i 5 c) z + i 50 ; z i 0 ; z i 0 Unidad. Números complejos 7

28 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: 5 a) i b) c) + i 5 5 a) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: Representación del polígono (pentágono): 80 b) ( k)/ k ; k 0,,,,, 5 Las seis raíces son: Representación del polígono (hexágono): c) + i (0 + 0 k)/ 7 0' + 90 k ; k 0,,, 0 Las cuatro raíces son: 7 0' 97 0' 87 0' 77 0' Representación del polígono (cuadrado): 8 Unidad. Números complejos

29 UNIDAD Ecuaciones y sistemas en Ç Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) z + 0 b) z + z + 0 c) z + z d) z z + 0 a) z z 8 z ± ±i z i, z i b) z ± ± 5 + z z ± 5i 5 5 z i, z + i c) z ± 9 8 ± 9 + z z ± 9i 9 9 z i, z + i d) z ± ± z z z i, z + i ± i Resuelve las ecuaciones: a) z b) iz 7 0 c) z + 8i 0 d) iz + 0 a) z z z 80 ( k)/5 + 7 k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: b) iz z + 7i 0 8 z 7i z 7i 7 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: c) z + 8i 0 8 z 8i 8 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i Unidad. Números complejos 9

30 d) iz z i 0 8 z i 90 z i ( k)/ 0' + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0', + 0,5i 0' 0,5 +,i 0 0', 0,5i 9 0' 0,5,i 5 Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç : a) z + i 0 b) z z c) z d) z + z + 0 a) z + i 0 8 z i 8 z i 8 z ( k)/ ; k 0, 70 z 5, z 5 b) z ± 0 ± ± i z z ± i z i, z + i c) z z 0 8 z 5 8 z ± 5 i z 5 i, z 5 i d) z + z + 0 z t t + t + 0 ± 9 t z 8 z ±i z 9 8 z ±i ± 5 t t 9 Las soluciones son: i 90º ; i 70º ; i 90º ; i 70º Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z 0 b) z + 0 c) z 8z 0 a) z 0 8 z 8 z 0 k/ 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i b) z z 8 z ( k)/ k ; k 0,,, Unidad. Números complejos

31 UNIDAD Las cuatro raíces son: 5 + i 5 + i 5 i 5 i c) z 8z 0 8 z (z 8) z 0 z 8 (0 k)/ 0 k ; k 0,, Las soluciones de la ecuación son: i 0 i 7 Halla los números complejos z y w que verifican cada uno de estos sistemas de ecuaciones: z + w + i z + w + i a) b) z w + i iz + w 5 + 5i z + w + i a) Sumando miembro a miembro: z w + i z + i 8 z + i w ( + i) ( + i) i Solución: z + i; w i z + w + i b) Multiplicamos por la. a ecuación y sumamos: iz + w 5 + 5i z + w + i iz w 0 0i 8 9i ( i)z 8 9i 8 z 5i i + i ( 5i) i w i Solución: z 5i; w i PARA RESOLVER 8 Calcula m para que el número complejo mi tenga el mismo módulo que 5 + 5i. mi 9 + m 9 + m m 5 8 m i 5 m ± Hay dos posibilidades: m y m Unidad. Números complejos

32 9 Halla dos números complejos tales que su cociente sea, la suma de sus argumentos π/, y la suma de sus módulos 8. Llámalos r a y s b y escribe las ecuaciones que los relacionan: r a π 0º (0º es el argumento del cociente, a b 0º); r + s 8 y a + b. s b r s r + s 8 a + b π a b 0 Hallamos sus módulos: r r s s r + s 8 s + s 8; s 8; s ; r Hallamos sus argumentos: a + b a b 0 π a b; b π ; b π ; a π Los números serán: π/ y π/ 0 El producto de dos números complejos es 90 y el cubo del primero dividido por el otro es (/) 0. Hállalos. Llamamos a los números: z r a r s r a s b 90 a + b 90 y w s b (r a ) s b ( ) 0 r /s a b 90 r s r s r s s r r r 8 r 8 r 8 s (no vale) a + b 90 a b 0 8 a k k 8 a, k 0,,, b 90 a Unidad. Números complejos

33 UNIDAD Hay cuatro soluciones: z 0' 8 w z 7 0' 7 0' z 0' 8 w 7 0' z 0 0' 8 w 07 0' 7 0' z 9 0' 8 w 877 0' 57 0' El producto de dos números complejos es 8 y el primero es igual al cuadrado del segundo. Calcúlalos. z w 8 z w w w 8 ( k)/ k ; k 0,, Hay tres soluciones: w 0 8 z 0 w 80 8 z 0 w 00 8 z 00 0 De dos números complejos sabemos que: Tienen el mismo módulo, igual a. Sus argumentos suman 7π/. El primero es opuesto del segundo. Cuáles son esos números? Llamamos a los números: z r a y w s b Tenemos que: r s a + b 7π 8 a 7π + π8 a π8 b π π π Por tanto, los números son: π/ y π / ; o bien π/ y π / Calcula cos 75º y sen 75º mediante el producto 0º 5º cos 75 + i sen (cos 0 + i sen 0 ) (cos 5 + i sen 5 ) ( + i) ( + i) + + i + i + i Por tanto: + cos 75 sen 75 Unidad. Números complejos

34 Halla las razones trigonométricas de 5º conociendo las de 5º y las de 0º mediante el cociente 5º : 0º. 5 : 0 5 cos 5 + i sen 5 / + i ( + i 5 cos 5 + i sen 5 /) cos 0 + i sen 0 / + i (/) 0 + i i + i i ( + i ) ( i ) + Por tanto: + cos 5 sen 5 x i 5 Para qué valores de x es imaginario puro el cociente? x + i x i x + i (x i) (x i) x 5x + i (x + i) (x i) x + x + Para que sea imaginario puro, ha de ser: x x + ( + i ) ( i ) 0 8 x 0 + xi Halla, en función de x, el módulo de z. xi Demuestra que z para cualquier valor de x. z + xi + x xi + x O bien: + xi ( + xi) + ( + xi) x x z + xi + x i xi ( xi) ( + xi) + x + x + x ( ) + ( ) x x x z x + x x + x x + x + + x + x ( + x ) ( + x ) ( + x ) ( + x ) x + i 7 Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir i esté representado en la bisectriz del primer cuadrante. Para que a + bi esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a b. x + i (x + i) ( + i) x + xi + 8i x x i i ( i) ( + i) Unidad. Números complejos

35 UNIDAD Ha de ser: x x x x + 8 ò x 5 5 Página 8 Halla dos números complejos conjugados cuya suma es 8 y la suma de sus módulos es 0. z + z 8 z + z 0 Como z z ò z 5 Si llamamos: z a + bi 8 z a bi z + z a + bi + a bi a 8 8 a z z a + b + b b 5 8 Hay dos soluciones: z + i 8 z i z i 8 z + i 8 b 9 8 b ± 9 ± 9 La suma de dos números complejos es + i. La parte real del primero es, y el producto de ambos es un número real. Hállalos. Llamamos z a + bi y w c + di Tenemos que: z + w + i a 8 c z w ( + bi) ( + di) + di + bi + bdi ( bd) + (d + b)i Para que z w sea un número real, ha de ser d + b 0. Por tanto, b + d b + d 0 a + c b + d d b Los números son: z + i; w i 0 Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar i y calcula el lado del triángulo que se forma al unir esos tres puntos. i 8 (5 + 0 k)/ k Las tres raíces son: z 75 z 95 z 5 Unidad. Números complejos 5

36 z z 0 l z Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno: l ( ) + ( ) cos 0 + ( ) + l Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equilátero. Compruébalo. Determinan el mismo triángulo los afijos de 8i, 8 o 8? Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido. 8i 8 90 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 50 z 70 Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 0, el triángulo que determinan es equilátero. 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 90 z 0 z k/ 0 k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 0 z 0 8 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 80 z 00 Unidad. Números complejos

37 UNIDAD Representación: z z z z z z z z z z z z 8i 8i 8 8 Pueden ser z + i, z + i, z i y z i, las raíces de un número complejo? Justifica tu respuesta. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre cada dos de ellas un ángulo de 90 ; y ni siquiera forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica: i Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos:. er hexágono: z 0 z 0 + i z 0 + i z 80 z 5 0 i z 00 i. hexágono: z 0 + i z 90 i z 50 + i z 0 i z 5 70 i z 0 i Unidad. Números complejos 7

38 Pueden ser las raíces de un número complejo, z, los números 8º, 00º, 7º, º y º? En caso afirmativo, halla z. Comprueba si el ángulo que forman cada dos de ellas es el de un pentágono regular Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta cualquiera de ellas: z ( 8 ) El número complejo 0º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 7º. Los otros vértices serán: El número será: z ( 0 ) 5 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es + i. Halla z y las otras raíces cúbicas. Ten en cuenta que si z + i 8 z ( + i). + i 5 Las otras raíces cúbicas son: Hallamos z: z ( + i) ( 5 ) (cos 5 + i sen 5 ) ( ) + i 8 + i 7 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones + i y i. Mira el ejercicio resuelto de la página 5. [x ( + i)] [x ( i)] x ( i)x ( + i)x + ( + i) ( i) x ( i + + i)x + ( i ) x x Unidad. Números complejos

39 UNIDAD 8 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: a) 5i y 5i b) i y + i a) (x 5i) (x + 5i) 0 x 5i 0 x b) [x ( i)] [x ( + i)] [(x ) + i] [(x ) i] (x ) (i ) x x + 9i x x Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: z + w + i z w 5 i a) b) iz + ( i)w + i ( + i )z + iw i a) Multiplicamos por i la primera ecuación: iz iw i + iz + ( i)w + i Sumamos miembro a miembro: iw + ( i)w i i 8 ( i)w + i + i ( + i)( + i) 5 + 0i w + i i i 5 z + i w + i + i 0 Solución: z 0; w + i b) Multiplicamos por i la primera ecuación: zi wi 5i + ( + i)z + wi i + i ( + i)( i) 8i z i + i i 8 w z 5 + i i 5 + i + i Solución: z i; w + i Sumamos miembro a miembro: zi + ( +i)z 5i + + i 8 ( + i)z + i Interpretación gráfica de igualdades y desigualdades entre complejos 50 Representa. a) Re z b) Im z c) Re z Ì 0 d) Ì Im z Ì e) < Re z < 5 f) z Ì g) Arg z 5 h)0 Ì Arg z Ì 90 Unidad. Números complejos 9

40 a) b) c) d) 0 e) f) 5 g) h) 5 5 Representa los números complejos z tales que z + z. Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición que obtienes. Llamamos z x + iy Entonces: z x iy Así: z + z x + iy + x iy x 8 x 0 Unidad. Números complejos

41 UNIDAD Representación: x 5 Representa los números complejos que verifican: a) z z b) z + z c) z z a) z x + iy 8 z x iy z z 8 x iy x iy 8 x 0 8 x 0 (es el eje imaginario) Representación: x 0 b) z + z x + iy + x iy x z + z x x 8 x / x 8 x / Representación: x x c) z z x + iy z + iy yi z z yi y Representación: y 8 y y 8 y Unidad. Números complejos

42 5 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya representación gráfica es la siguiente: a) b) c) d) e) f) En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigualdades. a) Re z b) Im z c) Ì Re z d) 0 Ì Im z < < Re z < e) < Im z < f) z Página 5 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0? No, también son reales los números con argumento 80 (los negativos). 55 Si z r a, qué relación tienen con z los números r a + 80º y r 0º a? r a + 80 z (opuesto de z) r 0 a z (conjugado de z) 5 Comprueba que: a) z + w z + w b) z w z w c) kz k z, con k é Á z a + bi r a 8 z a bi r 0 a w c + di r' b 8 w c di r' 0 b a) z + w (a + c) + (b + d )i 8 z + w (a + c) (b + d)i z + w a bi + c di (a + c) (b + d)i z + w Unidad. Números complejos

43 UNIDAD b) x w (r r') a + b 8 z w (r r')0 (a + b) z w (r r') 0 a + 0 b (r r') 0 (a + b) z w c) kz ka + kbi 8 kz ka kbi k z ka kbi kz 57 Demuestra que: z z z 0 r a r r z ( ) a ( ) 0 a 8 r z 58 El producto de dos números complejos imaginarios, puede ser real? Acláralo con un ejemplo. Sí. Por ejemplo: z i, w i z w i i i é Á 59 Representa el número complejo z i. Multiplícalo por i y comprueba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de 90º. iz i i + i + i 90 i 0 Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? Se diferencian en 80. Si el argumento del número es a, el de su opuesto es: 80 + a Unidad. Números complejos

44 Qué condición debe cumplir un número complejo z a + bi para que z? z Halla, e iguala a a bi. z z a bi a bi a bi a + bi (a + bi) (a bi) a + b a a + b b a + b a a a + b 8 a + b (módulo ) a b Ha de tener módulo. PARA PROFUNDIZAR Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto (, ). Halla los otros vértices y la longitud de su lado. El punto (, ) corresponde al afijo del número complejo z + i 5. Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 7 : z 7 0,9 +,78i z 89,97 0,i z 0,,97i z 5,78 0,9i Los otros tres vértices serán: ( 0,9;,78) (,97; 0,) ( 0,;,97) (,78; 0,9) Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno: 7 l l + cos 7 l + 0, l 8, l,7 l, unidades Unidad. Números complejos

45 UNIDAD Si el producto de dos números complejos es 8 y dividiendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado, cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno? z r a w r' b r a r' b (r r') a + b r r' 8 a + b 80 (r a ) r' b Así: r r' 8 r r' r a a + b 80 a b r ( ) a b 0 8 r' b 8 r' r r' r r' 8 r r r' a b 0 r r 8 r 8 r' a + a 80 8 a 80 8 a 5 b 5 Por tanto: z 5, w 5 Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado que obtengas: a) π/ b) i c) + i Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso? 0 a) ( ) π/ ( ) 5π/ π/ π/ π/ π/ (/ π/ ) π/ i b) i i ( ) 70 i /i Unidad. Números complejos 5

46 c) + i 5 + i 0 ( ) 5 ( ) 5 i 5 + i + i Si z r a, entonces z ( r ) 0 a 5 Representa gráficamente las igualdades siguientes. Qué figura se determina en cada caso? a) z ( + i) 5 b) z (5 + i) a) Circunferencia con centro en (, ) y radio 5. 5 (, ) b) Circunferencia de centro en (5, ) y radio. (5, ) 5 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afijos estén en la circunferencia de centro (, ) y radio. z ( + i) Unidad. Números complejos

47 UNIDAD AUTOEVALUACIÓN. Efectúa. ( i) ( + i)( i) + i ( i) ( + i)( i) + i 9 + i i ( i +i i ) 5 i i + i + i ( i)( i) + i i + 9i ( + i)( i) 9 i 9 + 7i i Calcula z y expresa los resultados en forma binómica. z ( + i i ) z Pasamos numerador y denominador a forma polar: + i i z + i i 8 90 ( ) ( 0 ) 0 8 z (cos 0 + i sen 0 ) z ( i ) i r ( ) + tg a 8 a 50. Halla a y b para que se verifique la igualdad: 5(a i) ( + i)(b i) 5a 0i b i i + bi 8 5a 0i b + + ( + b)i 5a b + Igualando las componentes 8 b 7, a 0 + b Unidad. Números complejos 7

48 . Resuelve la ecuación: z 0z ± 0 ± i z z 5 + i z 5 i Soluciones: z 5 + i, z 5 i x + i 5. Calcula el valor que debe tomar x para que el módulo de sea igual a. i x + i i (x +i)( + i) x +i + xi + i x + (x + )i x x + + i ( i)( + i) i + ( ) + ( ) x x + x x + Módulo x x x Hay dos soluciones: x, x x. Halla el lado del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas de i. z i Expresamos i en forma polar: r ( ) +( ) 8 tg a 8 a z k i 8 0 z 0 z 0 z 50 A z O B z C z En el triángulo AOB conocemos dos lados, OA OB, y el ángulo comprendido, 0. Aplicando el teorema del coseno, obtenemos el lado del triángulo, AB: AB + cos 0 8 AB u 8 Unidad. Números complejos

49 UNIDAD 7. Representa gráficamente. a) Ì Im z Ì 5 b) z c) z + z a) 5 b) c) a + bi + a bi 8 a 8 a 8. Halla dos números complejos tales que su cociente sea 50 y su producto r a r 50 8 ; a b 50 s b s r a s b r s 8; a + b 90 Resolvemos los sistemas: r/s r s 8 Obtenemos: r s a b 50 a + b 90 a 0 b 0 0 Los números son 0 y 0. Otra posible solución es: 00 y 50. Unidad. Números complejos 9

50 9. Demuestra que z z z. z a + bi z a bi z z (a + bi)(a bi) a b i a + b z a + b 8 z z (a + b ) a + b z ( a + b ) a + b z z z 0. Calcula cos 0 y sen 0 a partir del producto (cos 90 + i sen 90 ) (cos 0 + i sen 0 ) i + i ( + i ) (cos 0 + i sen 0 ) + i 8 8 cos 0 ; sen 0. Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo + i mediante un giro de 0º con centro en el origen. + i Multipicamos por 0 (cos 0 + i sen 0 ). z ( + i) 0 ( + i) ( + i ) z + i + i + i + z + i 50 Unidad. Números complejos