Números complejos. Números complejos 28/02/2016 CURSO

Transcripción

1 Números complejos CURSO Números complejos 1) Definición números complejos 2) Representación gráfica de un número complejo ( Afijo, módulo, argumento). Conjugado 3) Operaciones con números complejos. Propiedades 4) Forma polar y trigonométrica de un número complejos 5) Radicación de un número complejo 6) Teorema fundamental del algebra. Raíces de una ecuación polinómica. Descomposición 1

2 Se plantea este problema Dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos Construye un rectángulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos Su área sea 40. Construye y resuelve la ecuación que plantea el problema x(10 x) = 40. Esto se lo planteo un matemático llamado Cardano. Cardano admite que el problema no tiene solución. Cardano obtiene y 5 15 como longitudes de los segmentos. Soluciones imposibles Sin embargo, si uno las multiplica, = 40 Así que concluye Cardano que, de alguna manera sutil ambas expresiones son solución de la ecuación, pero se apresura a denominar como numero formal, a la expresión 15 Introducción A lo largo de la Historia de la Humanidad hemos necesitado contar objetos y seres, representar medidas reales con símbolos, etc, a medida que las necesidades de las Sociedades humanas se iban haciendo mayores. Habitualmente, presentamos los diferentes conjuntos de números de una manera didáctica. Construimos los conjuntos y los dotamos de unas propiedades. Luego, planteamos un problema Su solución es la construcción de un nuevo conjunto que amplíe el anterior, respetando su estructura y propiedades. 2

3 Ejemplo: Números naturales les damos una estructura( propiedades). nos planteamos un problema que este conjunto no puede dar solución ( 4-6=?) Números enteros ( aplicación de los números naturales) les damos una estructura que amplia las propiedades del conjunto anterior nos planteamos un problema ( 4/3) Números racionales (ampliación de los enteros) les dotamos de una estructura nos planteamos un problema 0, =a/b? Números reales ( unión de racionales e irracionales) les dotamos de una estructura nos planteamos un problema?????????????????????????????????? Números reales ( unión de racionales e irracionales) les dotamos de una estructura nos planteamos un problema?????????????????????????????????? Conjunto no soluciona la ecuación x = 0. x 2 = 1 x = ± 1 = ±i (número imaginario ) El concepto de número complejo no surge como una necesidad real del hombre para conocer y observar el universo; sino de una necesidad puramente algebraica, para la resolución de ecuaciones. El desarrollo de la Teoría de Números Complejos y la Teoría de Funciones Complejas tienen en la actualidad numerosas aplicaciones en la Física y la Ingeniería Ejemplo Para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas En la ecuación de onda de Schrödinger, fundamental en la teoría cuántica del átomo En el diseño de alas de avión 3

4 1) Definición números complejos Euler introdujo el número i = 1 llamado número imaginario Gauss definió los números complejos C como el conjunto de números que dan solución a todas las ecuaciones polinómicas con coeficiente real. Con la definición anterior se saca como conclusión: 4

5 2) Representación gráfica de un número complejo 5

6 Conjugado de un número complejo El conjugado de z = a + bi es el numero complejo a bi, se representa por z De la definición se deduce Los afijos de z y de z son simétricos respecto del eje de abscisas Re z = Re z Im z = Im z z = z Arg z = 360 Arg z Ejercicios 6

7 Ejercicios Opuesto de z 1 conjugado z 1 Opuesto de z 2 conjugado de z 2 7

8 3) Operaciones con números complejos. Propiedades Suma o resta Multiplicación por una constante Multiplicación de dos números complejos ( se aplica la propiedad conmutativa) 8

9 Potencias de un número complejo ( tener en cuenta identidad notable y potencias del número imaginario) Cociente de dos números complejos ( aplicar el conjugado del denominador) 9

10 Trabajo cooperativo. Entrega z + z =? z z =? z z =? z 1 ± z 2 =? z 1 z 2 =? z 1 = demostrarlo z z 2 z 0 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 0 z z + + z z = =? 2Re(z) z + z = a + bi + a bi = 2a = 2Re(z) z z = =? 2Im(z) z z = a + bi a bi = 2bi = 2Im z i 10

11 z z =? z 2 z z = a + bi a bi = a 2 bi 2 = a 2 + b 2 = z 2 z 1 + z 2 =? = z 1 + z 2 z 1 + z 2 = a + bi + c + di = a + c + b + d i = a + c b + d i = = a + c bi di = a bi + c di = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 Idem 11

12 z 1 z 2 =? = z 1 z 2 z 1 z 2 = a + bi c + di = ac bd + ad + bc i = = (ac bd) ad + bc i z 1 z 2 = a bi c di = (ac bd) ad + bc i z 1 = z z 2 z 0 z 1 = 1 z = 1 a + bi = 1 a bi a + bi a bi = a bi a 2 + b 2 = z z 2 z 0 Otra forma z 1 = 1 z = z = z z z z 2 z 0 12

13 z 1 z 2 = z 1 z 2 z

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15 4) Forma polar de un número complejos Una forma alternativa a la binómica para caracterizar un número complejo ( afijo) es dar su módulo y su argumento La expresión z = z α se conoce como forma polar de z z = 1 + i z = 1 + i z = 3i z = 5 z = 2 45 z = z = 3 90 z = Realiza las operaciones y exprésalas de forma binómica y polar = i 4 + i + i i 4 = 1 2 (1 + 1 i 4 + i + 1 i 3) = 1 2 ( i + 1 i ) = 1 ( i + i) 2 = 1 (2 + 2i) = 1 + i = 2 15

16 4) Forma trigonométrica de un número complejos A partir de la expresión polar de z = r α, se obtiene fácilmente la forma binómica ya que: a = rcosα b = rsenα De esa relación se sigue que z = a + bi = rcosα + rsenα i = r(cosα + isenα) z = r(cosα + isenα) Forma trigonométrica de un número complejo z = 1 + i z = 2 45 z = 1 + i z = z = 3i z = 3 90 z = 5 z = z = 2(cos45 + isen45 ) z = 2(cos135 + isen135 ) z = 3 (cos90 + isen90 ) z = 5 (cos180 + isen180 ) 16

17 Producto y potencias en forma polar Si z 1 = r α y z 2 = s β entonces la multiplicación de z 1 z 2 se calcula: z 1 z 2 = r s α+β Si z = r α entonces la potencia de exponente 2 de z 2 se calcula: (demuestra) z 2 = z z = r r α+α = r 2 2α Si z = r α entonces la potencia de exponente 3 de z 3 se calcula: (demuestra) z 3 = z z z = r r r α+α+α = r 3 3α... Si z = r α entonces la potencia de exponente n de z n se calcula: z(demuestra) n = r n nα Producto y potencias en forma trigonométrica Si z 1 = r(cosα + isenα) y z 2 = s(cosβ + isenβ) entonces la multiplicación de z 1 z 2 se calcula: r(cosα + isenα) s(cosβ + isenβ) =?????????????????? z 1 z 2 = r s(cos α + β + isen α + β ) Si z = r(cosα + isenα) entonces la potencia de exponente 2 de z 2 se calcula: (demuestra) z 2 = z z =??????? Si z = r(cosα + isenα) entonces la potencia de exponente 3 de z 3 se calcula: (demuestra) z 3 = z z =??????... Si z = r(cosα + isenα) entonces la potencia de exponente n de z n se calcula: (demuestra) z n =????????? 17

18 División en forma polar Si z 1 = r α y z 2 = s β entonces división de z 1 z 2 se calcula: (demuestra) 18

19 Radicación de un número complejo 19

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