(MAT021) 1 er Semestre de z + e = (x + iy) + (e 1 + ie 2 ) = (x + e 1 ) + i(y + e 2 ) = x + iy

Transcripción

1 (MAT01) 1 er Semestre de Números Complejos Se define el conjunto de los números complejos como: C = {a + bi / a, b R, i = 1} Definición 1.1. Sea z, w C tal que z = x + iy en donde x, y R. Se define: 1. La parte real de z, denotado por Re{z}, al número real x. Esto es Re{z} = x.. La parte imaginaria de z, denotado por Im{z}, al número real y. Esto es Im{z} = y. 3. z = w si Re{z} = Re{w} e Im{z} = Im{w}. 1.1 Operatoria Sean z 1, z C de modo que z 1 = x 1 + iy 1 y z = x + iy con x 1, x, y 1, y R. Se define: 1. La suma de z 1 y z como: z 1 + z = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ).. La multiplicación de z 1 y z como: z 1 z = (x 1 x y 1 y ) + i(x 1 y + x y 1 ) Elemento Neutro para la Suma Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. Sea e C de modo que e = e 1 + ie con e 1, e R, y que z + e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la suma. z + e = (x + iy) + (e 1 + ie ) = (x + e 1 ) + i(y + e ) = x + iy Esto quiere decir que x + e 1 = x y que y + e = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la suma viene dado por e = 0 + i0 = 0. Elemento Neutro para la Multiplicación Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. Sea e C de modo que e = e 1 + ie con e 1, e R, y que z e = z, es decir, que e es el elemento neutro para la multiplicación. z e = (x + iy) (e 1 + ie ) = (xe 1 ye ) + i(xe + e 1 y) = x + iy Esto quiere decir que xe 1 ye = x y que xe + e 1 y = y. De esta manera se concluye que el elemento neutro para la multiplicación viene dado por e = 1 + i0 = 1. MAT01 (Complemento) - Paralelo 1 1

2 Elemento Inverso para la Suma Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. Sea w C de modo que w 1 + iw con w 1, w R, y que z + 0, es decir, que w es el elemento inverso para la suma. z + (x + iy) + (w 1 + yw ) = (z + w 1 ) + i(y + w ) = 0 + i0 Esto quiere decir que x + w 1 = 0 y que y + w = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la suma viene dado por ( x) + i( y). Este elemento será denotado por z. Elemento Inverso para la Multiplicación Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. Sea w C de modo que w 1 + iw con w 1, w R, y que z 1, es decir, que w es el elemento inverso para la multiplicación. z (x + iy) (w 1 + iw ) = (xw 1 yw ) + i(xw + w 1 y) = 1 + i0 Esto quiere decir que xw 1 yw = 1 y que xw + w 1 y = 0. De esta manera se concluye que el elemento inverso para la multiplicación viene dado por x x + y + i y x + y Este elemento será denotado por z 1 = 1 z. Se puede demostrar que (C, +, ) cumple con los axiomas de cuerpo. Ejercicio 1.1. Encontrar las partes real e imaginaria de z 3 si z = x + iy con x, y R Ejercicio 1.. Calcular i i 45 + i 00 + i 1. Conjugado y Módulo Definición 1.. Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. Se define el conjugado de z como z = x iy. y Notar que siempre se cumplirá que z + z = Re (z) y que z z = Im (z) i. Así Re (z) = z + z Im (z) = z z i A partir de esta definición se tendrán las siguientes propiedades. Propiedades 1.1. Sean z, w C. Entonces se cumple que: MAT01 (Complemento) - Paralelo 1

3 1. z = z.. z + z + w. 3. z z w. 4. Si w 0 entonces ( ) z z w. 5. (z n ) = (z) n. 6. Si z 0 entonces z 1 = z z z. 7. z = z z R. Definición 1.3. Sea z C. Se define el módulo de z (la norma de z) como z = z z. Notar que si z = x + iy con x, y R entonces se tendrá que z = x + y. Con esta observación se puede concluir que Re (z) z y que Im (z) z. A continuación se presentan algunas propiedades de la norma de un número complejo. Propiedades 1.. Sean z, w C. Entonces se cumple que: 1. z 0 y z = 0 z = 0.. z w = z w. 3. z = z z 4. z = z 5. Si w 0, z z w 6. z w z + w z + w. 1.3 Forma Polar de un Número Complejo Sea z C de modo que z = x + iy con x, y R. De aquí se observa que x = R cos θ, y = R sin θ y R = z = x + y. Además se tendrá que tan θ = y/x. A partir de esto: MAT01 (Complemento) - Paralelo 1 3

4 arctan y x, si x 0 z está en el primer o cuarto cuadrante θ = arctan y x + π π π, si x 0 z está en el segundo o tercer cuadrante, si x = 0 y > 0, si x = 0 y < 0 Notar que z = x + iy = z (cos θ + i sin θ). Si se define cis θ = cos θ + i sin θ, entonces todo número complejo podrá ser expresado de la forma z = z cis θ. Propiedades 1.3. Sean z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 y z = z cis θ. Entonces se tiene que: 1. z 1 z = z 1 z cis (θ 1 + θ ).. z 1 z = z1 z cis(θ 1 θ ). 3. z 1 = z 1 cis( θ 1 ). 4. z 1 1 = 1 z 1 cis ( θ 1), si z 0. Ejemplo 1.1. Como ejemplo de una aplicación de esta forma de representar a los números complejos, considere la función φ : C C definida por φ(z) = iz. Esta función representa una rotación en el plano complejo. En efecto, se tiene que z = z cis θ e i = cis π, luego φ(z) = z cis ( θ + π ). 1.4 Teorema de Moivre Sean z 1, z C de modo que z 1 = z 1 cis θ 1 y z = z cis θ. Si z 1 = z entonces se tendrá que z 1 = z y que cis θ 1 = cis θ. Por la igualdad de números complejos se concluye que θ 1 = θ + kπ con k Z. Teorema 1.1. Sea z C de modo que z = z cis θ, y n N. Entonces se cumple que z n = z n cis(nθ). La demostración de este teorema es por inducción sobre n. Una aplicación de este teorema es la obtención de las raíces n-ésimas de un número complejo (en particular, un número real). Para ilustrar esto primero se considerará un ejemplo y luego se dará una formulación general. Ejemplo 1.. Obtener las raíces n-ésimas de la unidad. Resolver este problema es encontrar n números w, de modo que w n = 1. Por notación se tendrá que n 1. Se tiene que w cis θ y que 1 = cis 0. Por el teorema de Moivre, w n = w n cis(nθ). Por hipótesis tenemos que w n = 1 cis 0, luego se concluye que w n = 1 y cis(nθ) = cis 0. De aquí: w = 1 y nθ = kπ con k Z. k = 0, θ 0 = 0, w 0 = 1 k = 1, θ 1 = π/n, w 1 = cis(π/n) k =, θ = 4π/n, w = cis(4π/n).,.,. k = n 1, θ n 1 = (n 1)π/n, w n 1 = cis((n 1)π/n) k = n, θ n = π, w n = 1 MAT01 (Complemento) - Paralelo 1 4

5 Notar que para k = n se empieza a repetir la solución. Luego las raíces de la unidad vienen dadas por: w n = cis( kπ n ) con k = 0, 1,..., n 1. Sea z C y n N. Se calculará la raíz n-ésima de z, esto es, encontrar n números w de modo que w n = z. Se tiene que z = z cis θ z y w cis θ w. Por el teorema de Moivre, w n = w n cis(nθ w ). Luego w n = z y nθ θ z + kπ con k = 0, 1,..., n 1. Las raíces n-ésima de z, n z, vienen dadas por: ( n z cis θz+kπ ) con k = 0, 1,..., n 1. n Ejercicios Propuestos 1. Exprese los siguientes números complejos en su forma polar, y luego ubíquelos en el plano complejo. a) i b) 1 + 3i c) + i d) i e) 3 i f) 3 3i g) 7 h) 1 + i i) 3 + 3i. Resuelva las siguientes ecuaciones en el campo de los números complejos. a) z 4 + 8iz = 0 b) z 4 + z + = 0 c) z 3 + 3z + z 5 = 0 d) 9z + 6(4 3i)z (1 + 9i) = 0 e) z i = 0 f) z 4 + z z + 1 = 0 (raíz cúbica de la unidad es una raíz) 3. Calcule: a) ( 3 i) 1 b) ( 4 + 4i) 1 5 c) ( + 3i) 1 3 d) ( 16i) 1 4 e) 3 8 f) 4 16 g) ( 8 8 3i) 1 4 h) i 4. Encuentre z C que cumpla con θ [π, 3π/], Re(z) = 3 Im(z) y que z + 3 z z 4 = Pruebe las siguientes identidades trigonométricas utilizando la forma compleja del seno y del coseno. (a) sin 3 θ = 3 4 sin θ 1 sin 3θ. 4 (b) cos 4 θ = 1 8 cos θ + 1 cos θ MAT01 (Complemento) - Paralelo 1 5