1. Álgebra de Números Complejos.

Transcripción

1 1. Álgebra de Números Complejos. Los números complejos se pueden introducir en el proceso de búsqueda de soluciones para ecuaciones polinomiales como x = 0 ó x 2 + 4x + 13 = 0. En general un valor complejo tiene la forma z = a + jb, donde j es la unidad imaginaria, a y b son las componentes real e imaginaria de z respectivamente: j 2. = 1 a = Re{z} b = Im{z} Si a es igual a cero el número complejo será real puro y si b es igual a cero el número complejo será imaginario puro; el número complejo z es igual a cero solo si sus partes real e imaginaria son simultaneamente cero. z = 0 + j0 (Re{z} = 0,, Im{z} = 0) 1.1. Propiedades de los números complejos. Dos números complejos z 1 y z 2 son iguales si y solo si sus partes reales son iguales entre si y sus partes imaginarias son iguales entre si, es decir, si z 1 = a + jb y z 2 = c + jd, la igualdad entre los complejos, z 1 = z 2 se da solo cuando a = c y b = d. la suma y multiplicación entre números complejos se definen como sigue: z 1 + z 2 = (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) z 1 z 2 = (a + jb)(c + jd) = ac + jad + jbc + j 2 bd = (ac bd) + j(ad + bc) Estas definiciones y las propiedades que se presentan a continuación, se basan en las propiedades de los números reales y en la condicion j 2 = 1 (con la que se define la unidad imaginaria). El elemento identidad (o módulo) para la suma es el número complejo 0 = 0 + j0, ya que: (a + jb) + (0 + j0) = (a + 0) + j(b + 0) = a + jb Para la miltiplicación, el elemento identidad es el número 1 = 1 + j0, esto se deduce del siguiente resultado (a + jb)(1 + j0) = a 1 + ja 0 + jb 1 b 0 = a + jb Las operaciones de suma y multiplicación de complejos son conmutativas (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) = (c + a) + j(d + b) = (c + jd) + (a + jb) (a + jb)(c + jd) = a(c + jd) + jb(c + jd) = (c + jd)a + (c + jd)jb = (c + jd)(a + jb) 1

2 Si z, z 1 y z 2 son números complejos (z, z 1, z 2 C), las propiedades hasta ahora mencionadas pueden expresarse de forma resumida como sigue z + 0 = z z 1 = z z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1 Esta presentación resulta más conveniente y se usará en el resto del documento. La suma y multiplicacion de complejos son operaciones asociativas: z 1 + z 2 + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 = (z 1 + z 3 ) + z 2 z 1 z 2 z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 = (z 1 z 3 )z 2 La siguiente es la propiedad distributiva del producto con respecto a la adición z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Los complejos satisfacen la propiedad cancelativa tanto para la suma como para la multiplicación: si z 1 + z 2 = z 1 + z 3, entonces z 2 = z 3. si z 1 z 2 = z 1 z 3, y z 1 0, entonces z 2 = z 3. Dado z C, su inverso aditivo es z y su inverso multiplicativo es z 1 ya que: z + ( z) = 0 z z 1 = 1 Si se acepta la igualdad j = 1 como consecuencia de la definición j 2 = 1, las potencias enteras positivas de j se pueden obtener como sigue j 1 = j j 2 = 1 j 3 = j 2 j = j j 4 = j 3 j = 1 j 5 = j 4 j = j j 6 = 1 j 7 = j Es claro que para un entero positivo n, j n toma solo cuatro posibles valores: j, 1, j y 1. Por tanto, si m es el residuo de la división n 4, con n Z +, entonces m toma los valores 0, 1, 2 y 3 (recordar la operación módulo) y se puede establecer la relación j n = j m, n Z +, m {0, 1, 2, 3} 2

3 1.2. El conjugado de z A todo z C se le asocia el número z o z, llamado su complejo conjugado, el cual se define como sigue: z = z = (a + jb) = a jb El conjugado de z es entonces un complejo con la misma parte real y con la parte imaginaria cambiada de signo. Se propone como ejercicio comprobar que dados z, z 1, z 2 C, la operación de conjugación cumple las siguientes propiedades 1.3. La división en C z = z z + z = 2Re{z} z z = 2jIm{z} z z = Re 2 {z} + Im 2 {z} z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 /z 2 = z 1 /z 2 Dados los números complejos z 1 = a + jb y z 2 = c + jd, la división z 1 /z 2, con z 2 0 debe ser también un valor complejo, por ejemplo z 3 = x + jy. Para encontrar el número z 3 se propone el siguiente procedimiento a + jb c + jd = x + jy Multiplicando ambos miembros por c + jd se obtiene a + jb = (c + jd)(x + jy) a + jb = (cx dy) + j(dx + cy) De igualar las partes reales e imaginarias resulta el sistema de ecuaciones cx dy = a dx + cy = b cuya solución genera las componentes real e imaginaria del complejo z 1 /z 2, esto es: a + jb c + jd ac + bd bc ad = x + jy = + j c 2 + d2 c 2 + b 2 Se ha comprobado con el anterior procedimiento que la división entre complejos existe y es tambien un complejo. Un cálculo más directo se obtiene al multiplicar por el conjugado del denominador para generar la división por un valor real, lo que facilita la separación de las componentes del resultado: z 1 = a + jb (a + jb)(c jd) = z 2 c + jd (c + jd)(c jd) ac + bd bc ad = + j c 2 + d2 c 2 + b 2 3 = ac + bd + j(bc ad) c 2 + d 2

4 Como caso particular, el inverso multiplicativo del número complejo z = a + jb está dado por z 1 = 1 z = z z z = a jb a 2 + b 2 Queda como ejercicio para el lector verificar la identidad 1/j = j, que es muy usada en el álgebra de complejos. En la siguiente sección se presenta una forma alternativa para calcular el producto y la división de dos complejos Representacion geométrica: Formas rectangular y polar. Las componentes real e imaginaria de un número complejo z son independientes, esto permite establecer una correspondencia con un punto (o vector) del espacio R 2 como se muestra en la figura 1(a). Se define entonces la equivalencia a + jb (a, b) Figura 1: (a) Representacion geométrica de z = a + jb. (b) Suma en el plano complejo. En el eje X (abscisas) se ubica la parte real de z y en el eje Y (ordenadas) la parte imaginaria. Por lo tanto en adelante estos recibirán el nombre de eje real y eje imaginario respectivamente. Como consecuencia directa, la suma de dos complejos z 1 y z 2 satisface la ley del paralelogramo (figura 1(b)), de la cual se deduce además la desigualdad triangular: z 1 + z 2 z 1 + z 2, donde z representa la magnitud, módulo o valor absoluto del número complejo z, la cual, en concordancia con la representacion en el plano, se define como z = Re 2 {z} + Im 2 {z} Para el número complejo z = a+jb de la figura 1(a), la magnitud es entonces z = a 2 + b 2, que se asocia directamente con la norma de un vector de R 2. Las siguientes son algunas propiedades de la magnitud de los complejos (la demostración se propone como ejercicio) z 0 z 0 z = 0 z = 0 z = z 4

5 z z = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 si A R Az = A z z 1 /z 2 = z 1 / z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 Con base en la representación geométrica, la propiedad z = z puede deducirse del hecho de que los puntos (a, b) y (a, b) están a la misma distancia del origen. La representación z = a + jb se conoce como la forma rectangular o cartesiana del número z. Usando las coordenadas polares y luego la identidad de Euler, es posible dar representaciones alternativas más convenientes en ciertas operaciones, definiciones y demostraciones. La figura 2 muestra el número z en el plano complejo con sus componentes real e imaginaria y también se señalan las coordenadas polares (r, θ). Si se conocen las componentes a y b de la forma rectangular, las coordenadas r y θ quedan definidas como r = a 2 + b 2 = z θ = tan 1 b a En la expresión para el ángulo se debe tener en cuenta el signo de a para establecer el cuadrante en el cual se encuentra z. De otro lado, conocidos r y θ, las componentes rectangulares se definen como a = r cos θ = z cos θ b = r sen θ = z sen θ Figura 2: Forma rectangular y forma polar. Es importante resaltar que debido a la periodicidad de las funciones seno y coseno, existen muchos posibles valores para el ángulo θ y por lo tanto, la forma polar de un número complejo no es única, ya que los ángulos θ y θ + 2kπ (con k Z) son equivalentes: cos(θ + 2kπ) = cos θ sen(θ + 2kπ) = sen θ El ángulo θ se conoce como argumento o fase de z. En muchas aplicaciones se define un intervalo de trabajo que puede ser [0, 2π) o ( π, π] sobre el cual se toma el valor principal de θ, sin embargo, la representación múltiple tiene algunas ventajas como la posibilidad de 5

6 obtener diferentes valores para la raiz n-esima de un complejo (ya que dos números complejos son iguales si tienen la misma magnitud y la diferencia entre sus ángulos es un múltiplo entero de 2π). De la relación entre las componentes rectangulares y polares se obtiene z = a + jb = z cos θ + j z sen θ z = z (cos θ + j sen θ) = z θ La expresión z θ constituye una notación reducida para la forma polar y su uso es bastante común en el análisis fasorial de circuitos. Para la variable real t, las funciones e t, cos t y sen t, tienen los siguientes desarrollos en serie de Taylor alrededor de t = 0: Si la serie para e t se evalua en t = jθ resulta e t = 1 + t + t2 2 + t3 3! + = t k k! k=0 cos t = 1 t2 2 + t4 4! = ( 1) k t2k (2k)! k=0 k=0 sen t = t t3 3! + t5 5! = ( 1) k t 2k+1 (2k + 1)! e jθ = 1 + jθ + (jθ)2 2 + (jθ)3 3! + retomando las potencias de j que se analizaron anteriormente, la serie para e jθ se puede expresar como e jθ = e jθ = 1 + jθ θ2 2 j θ3 3! + θ4 4! + j θ5 5! ) ) (1 θ2 2 + θ4 4! + j (θ θ3 3! + θ5 5! +... Se puede notar que los términos en los parentesis corresponden a las series para cos θ y sen θ, con lo que se ha deducido la conocida identidad de Euler: e jθ = cos θ + j sen θ Este resultado permite dar la siguiente expresión exponencial para la forma polar de un número complejo: z = a + jb = z (cos θ + j sen θ) = z e jθ Cambiando θ por θ en la identidad de Euler y, considerando que cos θ es una función par y sen θ es impar, se obtiene e jθ = cos( θ) + j sen( θ) = cos θ j sen θ e jθ = e jθ Como consecuencia, si z = z e jθ = z θ, entonces su conjugado es z = z e jθ = z θ. La siguiente sección presenta la venteja de la forma polar o exponencial cuando se realizan las operaciones producto, divisíon, potenciación, radicación y en los logaritmos. 6

7 1.5. Operaciones con complejos en la forma polar Dados z 1, z 2 C, con su expresión polar z 1 = z 1 e jθ 1 z 2 = z 2 e jθ 2 El producto y la división, aprovechando las propiedades de la función exponencial, están dados por z 1 z 2 = ( z 1 e ) ( jθ 1 z 2 e ) jθ 2 = ( z 1 z 2 ) e j(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = z 1 e jθ1 z 2 e jθ 2 = ( z1 z 2 ) e j(θ 1 θ 2 ) Estos resultados se pueden expresar en palabras como sigue: El producto de dos números complejos tiene como magnitud el producto de las magnutudes y como ángulo la suma de los ángulos. La magnitud de la división es igual a la división de las magnitudes y su ángulo es la resta de los ángulos de los complejos (ángulo del numerador menos ángulo del denominador). Usando la notación fasorial, los resultados toman la siguiente forma z 1 = z 1 θ 1 z 2 = z 2 θ 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 θ 1 + θ 2 z 1 z 2 = ( z 1 / z 2 ) θ 1 θ 2 La potencia n-ésima del complejo z = z e jθ, se obtiene de forma sencilla como sigue z n = ( z e jθ) n = z n e jnθ Debe notarse la diferencia con el uso del complejo en la forma rectangular, ya que el cálcula de (a + jb) n es en general menos directo. Considerando el caso paricular en el cual z = 1 y usando la identidad de Euler, se obtiene la conocida fórmula de D Moivre (cos θ + j sen θ) n = cos(nθ) + j sen(nθ) la cual permite obtener algunas identidades trigonométricas interesantes y además se usa en la deducción de la expresión para las raies z. La raiz n-esima del comlpejo z es un número complejo w que cumple la condición w n = z. Si ambos valores se representan en su forma polar: z = z e jθ, w = w e jϕ ; se obtiene w n = z w n e jnϕ = z e jθ Esta igualdad entre complejos se satisface si las magnitudes son iguales y la diferencia entre loa ángulos es un múltiplo entero de 2π, es decir w n = z = w = n z nϕ = θ + 2kπ = ϕ k = θ + 2kπ n 7

8 Se obtienen valores distintos de ϕ si k varía entre cero y n 1. Estos resultador pueden plasmarse en una única expresión para la raiz n-esima del complejo z = z e jθ como se muestra a continuación: ( n z = z 1/n exp j θ + 2kπ ) ; k = 0, 1, 2,..., n 1 n Estas raices se encuentran distribuidas de manera uniforme sobre una circunferencia de radio n z, la separación angular entre dos raices adyacentes es ϕ = 2π/n. Este hecho será ilustrado en los ejemplos. El logaritmo de un valor complejo se puede obtener al aplicarlo sobre la expresión exponencial z = z e j(θ+2kπ) como se muestra a continuación (se usa la propiedad log(ab) = log a + log b): ln z = ln ( z e j(θ+2kπ)) = ln z + j(θ + 2kπ), k Z Puede notarse que esta función toma múltiples valores, sin embargo es común trabajar con su valor principal, el cual resulta al considarar k = 0: ln z = ln z + jθ Por simplicidad se usa la base e pero podría calcularse el logaritmo en otra base (por ejemplo diez). En el análisis de la respuestra en frecuencia de un circuito lineal se aplica el logaritmo a una función de variable compleja para obtener una gráfica llamada diagrama de Bode Ejemplos ejmplo 1 Dados los complejos z 1 = 2 + j y z 2 = 4 j3 calcular z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2, z 2 /z 1. Solución Usando las definiciones dadas para estas operaciones se obtiene z 1 + z 2 = (2 + j) + (4 j3) = (2 + 4) + j(1 3) = 6 j2 z 1 z 2 = (2 + j) (4 j3) = (2 4) + j(1 ( 3)) = 2 + j4 z 1 z 2 = (2 + j)(4 j3) = 8 j6 + j4 j 2 (3) = 11 j2 z 2 = 4 j3 z j (4 j3)(2 j) = (2 + j)(2 j) = 5 j = 1 j2 ejmplo 2 Demostrara que: Re{z} = (z + z)/2, e, Im{z} = (z z)/(j2) para todo z C. Solución Sea z = a + jb. Como consecuancia z = a jb y por tanto 8

9 ejmplo 3 z + z = (a + jb) + (a jb) = (a + a) + j(b b) = 2a a = Re{z} = z + z 2 z z = (a + jb) (a jb) = (a a) + j(b ( b)) = 2jb b = Im{z} = z z j2 Para el complejo z = a + jb con a, b > 0, calcular y representar en el plano los números j n z para n = 0, 1, 2,.... Solución Dado que las partes real e imaginaria de z son positivas, el punto (a, b) está en el primer cuadrante. { j 0 z = z = a + jb Si n = 0 j 0 z = a 2 + b 2 = z { j 1 z = jz = j(a + jb) = b + ja Si n = 1 j 1 z = ( b) 2 + a 2 = a 2 + b 2 = z { j 2 z = z = a jb Si n = 2 j 2 z = z { j 3 z = jz = j(a + jb) = b ja Si n = 3 j 3 z = z Para n 4 los valores de j n z se repiten de forma cíclica debido a la periodicidad de las potencias enteras de j. Notar que en todos los casos j n z = z ; esto implica que la distancia desde el origen hasta el punto j n z en el plano complejo es igual a z para todo entero n. Si al valor z = a + jb se le asocia el vector A del plano, el vector correspondiente a jz es B = ( b, a); Al realizar el producto punto entre ellos se obtiene A B = (a, b) ( b, a) = 0 Esto implica que el ángulo entre ellos es 90. En la figura 3 se resumen estos resultados de forma gráfica. Notar que cada multiplicación por j produce una rotación de 90 en sentido positivo (antihorario) y la magnitud no se modifica. 9

10 Figura 3: Producto entre un complejo y potencias enteras de j. ejmplo 4 Si z C, dar una interpretación geométrica (gráfica) para el producto (a + jb)z, donde a, b R. Solución Usando la propiedad distributiva se obtiene (a + jb)z = az + jbz La componente az está en la misma línea que une al origen con el punto z, mientras que la componente jbz está sobre una línea que pasa por el origen y es perpendicular a la anterior (ver ejemplo 3). La resultante az + jbz queda definida por la diagonal del rectángulo con lados az y jbz como se muestra en la figura 4 (en esta se ha considerado el caso a, b > 1). Figura 4: Geometría del producto en C. 10