Números complejos y Polinomios

Transcripción

1 Semana 13 [1/14] 23 de mayo de 2007

2 Forma polar de los complejos Semana 13 [2/14] Raíces de la unidad Raíz n-ésima de la unidad Sean z C y n 2. Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si z n = 1 Si escribimos en forma polar z = re iθ, entonces (gracias a la fórmula de Moivre) z n = r n e inθ Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse r n = 1 ( k ) nθ = 2kπ Como r 0 es un número real, debe tenerse que r = 1. La condición sobre θ es: ( k ) θ = 2kπ n Obtenemos que todos los complejos de la forma z = e i 2kπ n son raíces n-ésimas de la unidad. Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos r {0,...,n 1} tal que k n r, es decir que k = r + nl con l. Entonces e i 2kπ n = e 2rπ i( n +2lπ) = e i 2rπ n e i 2lπ = e i 2rπ n 1 = e i 2rπ n Así, todos los posibles valores de θ dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son e i 2rπ n (r = 0,...,n 1) Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad.

3 Forma polar de los complejos Semana 13 [3/14] Raíces de un complejo cualquiera Raíces de un complejo cualquiera Sean w C \ {0} y n 2. Diremos que z es una raíz n-ésima de w si z n = w Escribiendo las formas polares z = re iθ y w = Re iφ, entonces debe cumplirse r n e inθ = Re iφ Como r 0 es real, esta vez obtenemos que r = n R, y la condición se reduce a e inθ = e iφ lo que equivale a ( e i(θ φ n ) ) n = 1 es decir, v = e i(θ φ n ) debe ser una raíz n-ésima de la unidad. Así, existe r {0,...,n 1} tal que θ φ n = 2rπ n Nuestra condición para θ es, finalmente, ( r {0,...,n 1}) θ = φ + 2rπ n

4 Forma polar de los complejos Semana 13 [4/14] Raíces de un complejo cualquiera Concluimos que w tiene también exactamente n raíces n-ésimas, las cuales son n R e i φ+2rπ n (r = 0,...,n 1) Gracias a este análisis, sabemos ahora que la ecuación z 2 = 1 posee exactamente dos soluciones en C: las dos raíces cuadradas de -1. La forma polar de -1 es e iπ, por lo que las mencionadas raíces son y e i π 2 = cos π 2 + i sin π 2 = i e i π+2π 2 = cos 3π 2 + i sin 3π 2 = i

5 Forma polar de los complejos Semana 13 [5/14] Ejercicio: suma de las raíces de la unidad Propiedad Sea n 2. La suma de las n raíces n-ésimas de la unidad vale cero. Demostración. Las raíces n-ésimas de la unidad son e i 2rπ n (r = 0,...,n 1) Su suma es, entonces, ( ) r, Observamos que e i 2rπ n = e i 2π n por lo que n 1 S = r=0 e i 2rπ n Como n 2, tenemos que e i 2π n 1, y así S = n 1 S = r=0 ( ) 0 ( ) n e i 2π n e i 2π n 1 e i 2π n ( ) r e i 2π n = e i 2π n = 0

6 Polinomios Semana 13 [6/14] Definición Polinomio Sea (Ã, +, ) un cuerpo, Ê ó C. Un polinomio es un tipo particular de función de à en Ã, dado por p : à à x p(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = n a kx k donde a 0, a 1, a 2,...,a n son constantes en Ã. Se llaman coeficientes del polinomio p. Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en à se le denota Ã[x]. Proposición Sean p, q dos polinomios en Ã[x]. Se tiene que Demostración. Por doble implicancia. ) Ésta es directa, y queda de ejercicio para el lector. ) Supongamos que p y q son iguales Sus coeficientes son iguales p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m Notemos que podemos suponer que m = n. En efecto, si m < n, entonces podemos escribir q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n tomando b m+1 = 0, b m+2 = 0,..., b n = 0. Se procede de modo similar si m > n. Continúa...

7 Polinomios Semana 13 [7/14] Igualdad de polinomios Continuación demostración. Debemos demostrar, entonces, que ( k = 0,...,n) a k = b k. Lo haremos siguiendo un argumento de tipo inductivo (similar a la segunda forma del principio de inducción): Caso base k = 0: Sabemos que los polinomios p y q son iguales (como funciones), por lo que p(0) = q(0). Pero p(0) = a 0 y q(0) = b 0, con lo que concluimos que a 0 = b 0. Paso inductivo: Sea k {1,...,n}, y supongamos que a 0 = b 0, a 1 = b 1,...,a k 1 = b k 1. Debemos demostrar que a k = b k. Como p y q son iguales, entonces para cualquier x Ã: a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n Usando la hipótesis inductiva, podemos cancelar los primeros k términos a cada lado, y obtener Podemos a ambos lados factorizar x k : Así, para todo x à \ {0} tenemos a k x k a n x n = b k x k b n x n x k (a k a n x n k ) = x k (b k b n x n k ) a k a n x n k = b k b n x n k pues podemos dividir por x k. Recordando que à es Ê ó C, podemos tomar el límite x 0 a ambos lados de la última igualdad, y así a k = b k. Por lo tanto, los coeficientes de ambos polinomios son iguales.

8 Polinomios Semana 13 [8/14] Grado de un polinomio Grado de un polinomio Sea p(x) = a 0 + a 1 x a n x n un polinomio. Diremos que es de grado n si a n 0, en cuyo caso notaremos gr(p) = n. Si p(x) = 0 (el llamado polinomio nulo), diremos que es de grado, y lo notaremos por gr(p) =. Es decir, gr(p) es el k más grande posible tal que a k es no nulo. Respecto de, se usa las siguientes convenciones: para cualquier n Æ y además n + ( ) = n > ( ) + ( ) = Ejemplos gr(1 + 5x + 18x 4 ) = 4 gr(x + 3) = 1 gr(37) = 0 gr(0) =

9 Polinomios Semana 13 [9/14] Grado de un polinomio Importante Los polinomios de grado 0 son exactamente los polinomios constantes (que no dependen de x) p(x) = a 0 con a 0 0. Sea p Ã[x] un polinomio. Diremos que p es mónico si a n = 1 donde n = gr(p) es decir, si el coeficiente asociado a la potencia de x más grande vale 1. Ejemplos Son polinomios mónicos: x + x x 2 x 5 + 5x 2 25

10 Polinomios Semana 13 [10/14] Operaciones entre polinomios Sean p, q Ã[x] dos polinomios: p(x) = n a k x k, q(x) = n b k x k (recordar que eventualmente hay que rellenar con ceros para que ambos polinomios tengan la misma cantidad de coeficientes) Definimos la suma y multiplicación de polinomios del modo siguiente: Suma y multiplicación de polinomios El polinomio suma se define como el polinomio formado por la suma de los coeficientes de p y q. (p + q)(x) = n (a k + b k )x k El polinomio producto tiene una definición en apariencia más complicada. ( 2n k ) (p q)(x) = a i b k i x k i=0 Sin embargo, ésta corresponde a la forma intuitiva de multiplicar distribuyendo: (1 x + 3x 2 ) (x 2 x 4 ) = 1(x 2 x 4 ) x(x 2 x 4 ) + 3x 2 (x 2 x 4 ) = x 2 x 4 x 3 + x 5 + 3x 4 3x 6 = x 2 x 3 + 2x 4 + x 5 3x 6

11 Polinomios Semana 13 [11/14] Operaciones entre polinomios: Consideraciones de grado Estas operaciones cumplen: gr(p + q) m«ax{gr(p), gr(q)} gr(p q) = gr(p) + gr(q) Es importante recalcar que en el caso de la suma sólo tenemos una desigualdad, y no una igualdad. Un posible ejemplo es considerar p(x) = 1 + 5x + 7x 2 y q(x) = 2 + 8x 7x 2. Se tiene que gr(p) = gr(q) = 2, pero gr(p + q) = gr(3 + 13x) = 1. Observemos que la fórmula para calcular el grado de un producto también es válida cuando alguno de los polinomios es el polinomio nulo: en efecto, si p(x) = 0, entonces (p q)(x) = 0, por lo que y ambos lados valen. gr(0) = gr(p q) = gr(p) + gr(q) = ( ) + gr(q)

12 Polinomios Semana 13 [12/14] Estructura de Ã[x] Propiedad (Ã[x], +, ) es un anillo conmutativo con unidad, que no posee divisores de cero. Demostración. Esta demostración queda como ejercicio para el lector, aquí revisaremos sólo algunas partes. La unidad de (Ã[x], +, ) es el polinomio constante p(x) = 1. Observemos que los coeficientes de este polinomio son { 1 k = 0 a k = 0 k 0 Así, si q = b 0 + b 1 x b n x n Ã[x] es de grado n Continúa... (p q)(x) = = = = 2n 2n 2n 2n ( k ) a i b k i ( ( i=0 a 0 b k + 1 b k + b k x k x k ) k a i b k i i=1 x k ) k 0 b k i i=1 x k

13 Polinomios Semana 13 [13/14] Estructura de Ã[x] Continuación demostración. Como q es de grado n, entonces b k = 0 para k = n + 1,...,2n. Entonces (p q)(x) = n b k x k = q(x) (Ã[x], +, ) no posee divisores de cero. En efecto, si p, q Ã[x] son tales que p q = 0, entonces obtenemos que gr(p) + gr(q) = Dadas las reglas de suma que definimos, al menos uno de los dos grados debe valer, es decir al menos uno de los dos polinomios debe ser igual a cero.

14 Polinomios Semana 13 [14/14] Es (Ã[x], +, ) cuerpo? Veremos que (Ã[x], +, ) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad sin divisores de cero, que sin embargo no es cuerpo. ( Qué anillos conmutativos con unidad sin divisores de cero sí son cuerpos?) Proposición En (Ã[x], +, ), los únicos polinomios que poseen inverso son las constantes no nulas, es decir los polinomios de grado 0. Demostración. Sea p Ã[x] de grado 0. Entonces p(x) = a 0 con a 0 0. Es fácil ver que p posee inverso, el cual es q(x) = 1 a 0. Sea ahora p Ã[x] tal que posee un inverso q Ã[x]. Entonces p q = 1, con lo que gr(p) + gr(q) = 0 Como el grado de un polinomio es siempre positivo (con la excepción de que valga ), debe tenerse en particular que gr(p) = 0.