1. Conjuntos de números

Transcripción

1 1.2. Números complejos FORMA BINÓMICA Números complejos en forma binómica Se llama número complejo a cualquier expresión de la forma z = x + yi donde x e y son números reales cualesquiera e i = 1 se llama unidad imaginaria. Se representa por: C = {z = x + yi : x, y R}. En la expresión z = x + yi, llamada forma binómica del complejo z, los números reales x e y se llaman, respectivamente, parte real y parte imaginaria de z, y se representan por: Re(z) = x e Im(z) = y. Dos números complejos son iguales sí y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes imaginarias. Observaciones Cuando la parte imaginaria es cero, el número complejo x+0i = x es un número real y, como consecuencia, el conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los números complejos: R C. Cuando la parte real es cero, el número complejo 0 + yi = yi se llama imaginario puro. En el conjunto de los números complejos existen las raíces cuadradas de los números negativos y, como consecuencia, todas las ecuaciones de segundo grado tienen solución. El plano complejo Los números complejos también se pueden expresar como un par ordenado de números: z = x + yi = (x, y). Esta expresión se llama forma cartesiana y permite identificar el conjunto de los números complejos con el plano R 2. El plano cartesiano en el que se representan los números complejos, se llama plano complejo. El número complejo z = x + yi se representa en el plano complejo por el vector que va del origen al punto (x, y), que se llama afijo del número complejo. eje imaginario y (x, y) z = x + yi O x eje real Operaciones elementales en forma binómica Suma o diferencia: z 1 ± z 2 = (x 1 + y 1 i) ± (x 2 + y 2 i) = (x 1 ± x 2 ) + (y 1 ± y 2 )i Producto: z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = x 1 x 2 + x 1 y 2 i + y 1 x 2 i + y 1 y 2 i 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i División: se multiplican numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador. Potencias de i: Puesto que i 4 = 1, la potencia n de i coincide con la potencia de exponente igual al resto de la división de n por 4. Potencias: z n = (x + yi) n = n ( n ) k=0 k x n k (yi) k = n ( n ) k=0 k x n k y k i k Complejo conjugado Se llama complejo conjugado de z = x + yi al número complejo z = x yi. Obviamente: z = z Im(z) = 0 z R. Otras propiedades: z = z z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 /z 2 = z 1 /z 2 Re(z) = z + z 2 1. Calcula: (a) (2 3i)(1 + 2i) (2 i) 2 ; (b) 2. Halla x, y R para que: 3+xi 1+2i = y + 2i. (2 3i)i (1+2i)(3+i) ; (c) i3215 ; (d) (1 2i) 5. Im(z) = z z 2i

2 1.2. Números complejos MÓDULO Y ARGUMENTO Módulo de un número complejo Se llama módulo del número complejo z = x + yi al número real: z = x + yi = x 2 + y 2. El módulo de un número complejo es la distancia que hay entre el origen y su afijo, así como con la longitud el vector que lo representa. La distancia entre dos números complejos es: d (z 1, z 2 ) = z 1 z z 0 ; y z = 0 si y sólo si z = 0 4. zz = z 2, o también: z = zz 2. z = z = z 5. z 1 z 2 = z 1 z 2 y z 1 /z 2 = z 1 / z 2 3. Re(z) z y Im(z) z 6. z 1 z 2 z 1 ± z 2 z 1 + z 2 Argumento de un número complejo Se llama argumento del complejo z = x + yi 0 a cualquier ángulo θ que verifica: cos θ = x z y sin θ = y z. Se representa por arg(z). Cada número complejo tiene infinitos argumentos, pero sólo uno en la primera circunferencia, θ [0, 2π), que se llama argumento principal y se representa por Arg(z). y z = x + yi z y O θ x x arg(z) = Arg(z) + 2kπ, k Z El argumento principal θ de z = x + iy se puede determinar, a partir del signo de x e y, con la condición: tan θ = y x 1. Obtén el módulo, el argumento y el argumento principal de los siguientes números complejos: (a) z = 1 + 3i (b) z = 3 3i (c) z = 3 (d) z = i

3 1.2. Números complejos FORMAS POLAR Y DE EULER Formas trigonométrica y polar de un número complejo Cada número complejo z = x + yi queda definido unívocamente por su módulo z y cualquier argumento θ, pudiéndose expresar en función de ellos en la llamada forma trigonométrica: z = z (cos θ + i sin θ). La expresión simbólica z = z θ se llama forma polar del número complejo. En forma polar o trigonométrica, es decir, en función del módulo y del argumento, dos números complejos son iguales sí y sólo si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un número entero de circunferencias: z θ = w ϕ z = w y θ ϕ = 2kπ, k Z Operaciones elementales en forma polar z 1 θ1 z 2 θ2 = ( z 1 z 2 ) θ1 +θ 2 z 1 θ1 z 2 θ2 = ( ) z1 z 2 θ 1 θ 2 ( z θ ) n = ( z n ) nθ Observación: Al multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad se obtiene el número complejo resultante de girar el primero, con centro en el origen, un ángulo igual al argumento del segundo: z θ 1 ϕ = z θ+ϕ Forma exponencial de un número complejo Las propiedades de las operaciones de los números complejos con respecto al módulo y argumento hacen que tenga sentido expresar los números complejos como: que se llama forma exponencial o forma de Euler. Propiedades 1. Operaciones: ( r 1 e iθ 1) ( r2 e iθ 2 z = z (cos θ + i sin θ) = z e iθ ) = r1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) ; r 1e iθ 1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) ; ( re iθ) n = r n e inθ. 2. Si z = re iθ entonces: z = re i(θ+π) ; z = re iθ y 1 z = 1 r e iθ. 3. Los números complejos de módulo unidad son z = e iθ, donde θ R es uno de sus argumentos. 4. Para cualquier k Z, e i2kπ = 1 y, en consecuencia: e i(θ+2kπ) = e iθ. { 5. Igualdad en forma exponencial: r 1 e iθ 1 = r 2 e iθ 2 r 1 = r 2 θ 1 θ 2 = 2kπ, k Z. 6. Usando la forma exponencial: cos θ = eiθ +e iθ 2 y sin θ = eiθ e iθ 2i. 1. Obtén la forma polar de: (a) z = 1 + 3i; (b) z = 3 3i; (c) z = 3; (d) z = i. 2. A partir del módulo y argumento de z, obtén la forma polar de z, z y 1/z. 3. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son A( 2, 1) y B(3, 3). Sabiendo que el cuadrado está en semiplano y 0, halla sus otros dos vértices. 4. Si z = 3 + i y w = 1 + 3i, usa la forma exponencial para calcular: (a) zw; (b) z w ; (c) z10.

4 1.2. Números complejos RAÍCES Y CONJUNTOS Raíces enésimas de números complejos Se llama raíz enésima de z a cualquier número complejo cuya potencia enésima es z. Cualquier número complejo no nulo tiene exactamente n raíces enésimas distintas que se hallan recurriendo a la forma exponencial: Observaciones z = re iθ = n z = n re iθ = n re i θ+2kπ n = n re i( θ n + 2π n k) = w k, k = 0, 1, 2,..., n 1 Todas las raíces enésimas tienen el mismo módulo: w k = n r. La diferencia entre los argumentos de cada dos raíces consecutivas es constante: w k w k 1 = 2π n. Los afijos de las n raíces enésimas de un número complejo no nulo son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el origen. Conjuntos geométricos en forma compleja La identificación del plano complejo C con el cartesiano R 2 permite expresar muchos conjuntos del plano en forma compleja que es, en muchos casos, más sencilla. Algunos ejemplos son los siguientes: Circunferencia de centro z 0 y radio r > 0: z z 0 = r. Interior de la circunferencia de centro z 0 y radio r > 0: z z 0 < r (Exterior: z z 0 > r). Mediatriz del segmento de extremos z 1 y z 2 : z z 1 = z z 2. Elipse con focos en z 1 y z 2 : z z 1 + z z 2 = k, con k > z 1 z 2. Hipérbola con focos en z 1 y z 2 : z z 1 z z 2 = k, con 0 < k < z 1 z 2. La ecuación cartesiana del conjunto se puede obtener sustituyendo z = x + iy y operando. 1. Halla las siguientes raíces de números complejos: (a) 3 i; (b) 4 16; (c) 4i. 2. Halla los vértices de un hexágono regular. 3. Qué soluciones de la ecuación z = 0 caen dentro del recinto del plano definido por z + 1 < 2.

5 1.2. Números complejos POLINOMIOS COMPLEJOS Polinomios Un polinomio de grado n es cualquier expresión de la forma: P n (z) = a n z n + a n 1 z n a 2 z 2 + a 1 z + a 0, con a n 0 donde a i C, 0 i n, se llaman coeficientes. Se llama raíz del polinomio a cualquier valor de z que lo anula, es decir: z = z 0 es raíz de P n (z) P n (z 0 ) = 0 P n (z) = (z z 0 )P n 1 (z) Mientras el polinomio cociente se anule en z 0, se puede seguir dividiendo por z z 0, y se dice que: z = z 0 es raíz con multiplicidad m de P n (z) P n (z) = (z z 0 ) m P n m (z) y P n m (z 0 ) 0 También se llaman raíces simples a las de multiplicidad 1, dobles a las de multiplicidad 2, y así sucesivamente. Teorema fundamental del álgebra Si cada raíz se cuenta tantas veces como indica su multiplicidad, todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces reales o complejas, es decir: P n (z) = a n (z z 1 ) m 1... (z z p ) mp, con p m i = n i=1 Observaciones Si los coeficientes son todos reales, cuando hay una raíz compleja también está su conjugada con la misma multiplicidad. Todo polinomio de coeficientes reales y grado impar tiene, al menos, una raíz real. 1. Sabiendo que z = i es solución de z 7 + z 5 z 2 1 = 0, calcula todas sus raíces.

6 1.2. Números complejos EJERCICIOS 1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Los números reales no son complejos. (b) Los números complejos de módulo 1 son menores que los números complejos de módulo 2. (c) El inverso de un número real es complejo. (d) Si z < w entonces z < w. (e) Las raíces enésimas de un número complejo tienen todas el mismo módulo. (f) Las raíces de la ecuación z 5 + 2i = 0 son los vértices de un pentágono regular. (g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una raíz real. 2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas: (a) i 2723 (c) (2 3i)(1 + i) (1 + 2i) 2 2i(3 + i) + (1 i)(2 + i) (e) i 3 (1 + 2i) (b) i 221 (d) (3 2i)(1 + 3i)(2 i) (f) i + i2 + i 3 + i 4 + i i (g) (2 i) 5 (h) (1 + i)3 (1 i) 3 3. Calcula: (a) 100 k=0 ik ; (b) i. 4. Resuelve en C las ecuaciones: (a) z 2 + i + 3z i 3 i = 3; (b) = 4 + 2i; (c) x 2 + 2x + 5 = 0. 2 i z 5. Halla, en cada caso, el valor de a R para que el número complejo z = a+3i 1+i : (a) Sea imaginario puro; (b) Esté sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. 6. Encuentra dos números complejos tales que su suma es un número real, su diferencia y cociente sean imaginarios puros, y su producto sea igual a Halla a R para que: a+2i = 2. 1 i 8. Expresa en forma polar y exponencial los números complejos: 3 + 3i, 1 + 3i, 1, 2i y 2 2 3i. 9. Calcula: (a) (1 + i) 20 ; (b) ( 3 i) Dos vértices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos vértices. Es único? 11. Halla todos los complejos z C tales que z 3 z 2 = Halla las siguientes raíces: (a) 3 1; (b) 3 i; (c) 4 1; (d) 1 i; (e) i; (f) 6 1 3i. 13. Halla la suma y el producto de las raíces enésimas de la unidad. 14. Qué curva o conjunto geométrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) z 1 + 2i = 3 (b) z i < z + i (c) z i + z + i = 4 (d) z 2 z + 2 = 2 Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 15. Halla el lugar geométrico de todos los números complejos de la forma: z = a i 1+i, a R. Encuentra, si existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y 1 = Sabiendo que 1 + i es solución de z 4 4z 3 + 5z 2 2z 2 = 0, calcula todas sus raíces. 17. Estudia si la ecuación ax 5 + bx 4 + cx 3 ix 2 i = 0, con a, b, c R, tiene soluciones reales.