MATEMÁTICAS I EJERCICIOS NÚMEROS COMPLEJOS

Transcripción

1 . De los siguientes números complejos, indica: a) z 5 i Su opuesto: z b) z + i Su conjugado: z c) z i Su parte real: Su parte imaginaria: d) z 5i Su afijo: (, ). Expresa como números complejos: a) 4 b) c). Representa sobre estos ejes los siguientes números complejos: a) z + i b) z 4 + i c) z i d) z 4 5i

2 4. En un color diferente, representa también los opuestos y los conjugados de los números complejos de la actividad. 5. Dados los números complejos z + i, z 4 + i y z i, calcula las siguientes operaciones: a) z + z z b) (z ) (z ) c) z z d) z z e) z z f) z z 6. Calcula 649 i, i, i, i + i 5 + i Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: i y + i. 8. Calcula el valor de a para que la operación ( a + i ) ( + i ) dé como resultado: a) Un número real. b) Un número imaginario puro. c) Su afijo esté contenido en la bisectriz del primer cuadrante. 9. Calcula a y b para que se cumpla: (a + i)( + bi) 8b + 4i. 0. Halla el módulo y el argumento de los siguientes números: a) b) i + i 0 i i i i 64 6

3 . Dados los números complejos en forma polar z 0º y z 60, calcula las siguientes operaciones: a) z z c) z b) z z d) z. Completa la siguiente tabla expresando los números complejos en las formas indicadas. Forma binómica Forma polar Forma trigonométrica + i 5º ( cos 60º + isen 60º ). Calcula las potencias de exponente 4 de los siguientes números complejos: a) π b) π 6 4. Calcula las siguientes potencias: a) +i b) ( i ) Calcula las siguientes raíces: a) 64i b) 4 640º

4 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 0 c) x 0x b) x + x + 0 d) x 5x Escribe ecuaciones que den como resultado los siguientes valores: a) x i, x + i b) x ; x i, x + i 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 8 0 c) x b) x d) x + i 0 9. Calcula dos números complejos tales que el producto de ambos dé como resultado 8 y uno de ellos sea el cuadrado del otro. 0. Calcula el área del triángulo determinado por los afijos de las tres soluciones de la ecuación: x x + 9x Si el afijo de un número complejo z es (, ): a) Su parte real es: b) Su parte imaginaria es: c) Su conjugado es: d) Su opuesto es: e) Este número puede expresarse como: z + i Forma z Forma z ( cos + isen ) Forma. Escribe las cuatro primeras potencias de i: i i i i 4 Qué ocurre con las potencias sucesivas?

5 . Sobre el siguiente dibujo, y a partir del número complejo z a + bi,, analiza dónde se representan los siguientes valores asociándolos con el significado geométrico de la forma polar y trigonométrica de un número complejo: a + b, a + b b arctg a, senα y a + b cosα

6 . a) z 5 i Su opuesto: z 5 + i b) z + i Su conjugado: z i c) z i Su parte real d) z 5i Su afijo: (, 5) SOLUCIONES Su parte imaginaria. a) 4 i b) + + i c) i. y a) 0i b) 6 4i c) 5 d) 6i e) i f) 7 + 9i 7

7 6. i i i 649 i +i i i 5 + i 5 i 7. x 6x a) a b) a c) a 9. Dos soluciones: a 5, b a 5, b 0. FORMA BINÓMICA FORMA POLAR FORMA TRIGONOMÉTRICA i 0º ( cos 0º + isen 0º ) + i 5º ( cos 5º + isen 5º ) + i 60º ( cos 60º + isen 60º ). a) módulo: argumento: 65º b) módulo: argumento: 70º. a) 90º b) 0º c) 0º d) 00º

8 . a) π 4 b) 6 π 4. a) i b) a) 40º, 450º, 470º b) 0º, 00º, 90º, 80º 6. a) x i, x i x i x i b) x, x i x + i x i c) x 5 + 5i; x 5 5i x 5 + 5i x 5 5i d) x x i x i 7. a) x x b) x 5x + 9x a) x x π x 4 π x x x x b) π π 5π 7π c) x x x x π π π x x x d) π 7π π ( 60º, 40º ), ( 80º, 4 ), ( 00º, 440º ) 0. Afijos: (0, ), (0, ), (, 0) Área: 9 u. a) Su parte real es: b) Su parte imaginaria es: c) Su conjugado es: d) Su opuesto es: e) Este número puede expresarse como: z + i Forma binómica z 0º Forma polar z ( cos 0º + isen 0º ) Forma trigonométrica

9 . i i i i i i 4 i Se repiten sucesivamente de cuatro en cuatro.. a + b es el módulo del z, representa la distancia del afijo de z al origen. b arctg a es el argumento de z, representa el ángulo que forma el vector que representa z tomando como sistema de referencia el semieje positivo de OX. Con estos valores identificamos en un sistema de referencia polar cada número complejo. a + b sen α representa la coordenada y del afijo de z. a + b cos α representa la coordenada x del afijo de z. Con estos dos valores podemos identificar de forma única cada número complejo, tomando como referencia propiedades trigonométricas.