TEMA 7 NÚMEROS COMPLEJOS

Transcripción

1 TEMA 7 NÚMEROS COMPLEJOS La unidad imaginaria i. Hay ecuaciones que no se pueden resolver en. Por ejemplo: x + 1 = 0 x = - 1 x = ± -1 En el siglo XVI se inventaron un número para resolver esta i = -1 ecuación. Lo llamaron la unidad imaginaria, i. Desde entonces estos números se conocen como imaginarios. Euler llamó i = -1 a los números imaginarios. Posteriormente Gauss los llamó números complejos,. Por tanto, x= -1 x i podemos definir un nuevo conjunto en el que sí tiene solución. Los números complejos. Números complejos se denotan con la letra y verifican: i = -1 i 1 Los números complejos se pueden expresar de la forma: z = a + bi, donde a y b son números reales (forma binómica). Posee las operaciones de suma y multiplicación, con las misma reglas que en. NOTAS. Se llama parte real de z = a + bi al número real a, que se denota Re(z), y parte imaginaria de z = a + bi, al número real b, que se denota Im(z). Dos números complejos z 1= a + bi y z = c + di son iguales si y solo si a = c y b = d El opuesto de z 1 = a + bi es z = - a - bi. Si b = 0: el número complejo es en realidad un número real. Si a = 0: el número se llama complejo o imaginario puro. Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1

2 Representación gráfica de un número complejo. Se llama afijo de z = a + bi al punto P(a, b) del plano. A las coordenadas de P se les llama, respectivamente: Parte real: Re(z) = a. Parte imaginaria: Im(z) = b. El eje OX se llama eje real. El eje OY se llama eje imaginario. A esta representación geométrica se la conoce como el Diagrama de Argand. Modulo de z: es el módulo del vector u = (a, b) asociado a z: z = a + b. Argumento de z: es el ángulo formado por el semieje positivo de las z = a + b x y la semirrecta OP, medido en sentido antihorario. Se representa: b Arg(z) = = arctg a b Arg(z) = = arctg a Se llama argumento principal al ángulo de la primera vuelta. Operaciones en forma binómica Las operaciones de suma y producto definidas en los números reales se pueden extender a los números complejos. Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Producto: (a + bi) (c + di) = (a c b d) + (a d + b c) i El conjugado del número complejo z = a + bi, se define como: z = a -bi. División. Para dividir números complejos se multiplica, numerador y denominador por el conjugado del denominador. Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias -

3 Realiza: EJEMPLO i 0 =1; i 1 =i (-i) -i -i i = = = = = -i i i(-i) -i 1 i = -1. i 3 = i i = -1 i = -i. i = i i = (-1) (-1) = 1. Cuando el exponente es mayor de, basta dividirlo entre y quedarnos con el resto. i 3 = i 3 = i i = -1 i = -I (3 + 5i) + (7 i) = i (3 + 5i) (7 i) = 1 6i + 35i 10 i = i 3 3 ( - i) 6-3i 6-3i 6-3i 6 3 = = = = = - i + i ( + i) ( - i) - i - (-1) (1 + i) = i + 1 i + 1 i + i = 1 + i 6 i + 1 = Ejercicios finales 1 y Propiedades de las operaciones con complejos conjugados 1) z = z 5) z z = z z 1 1 ) z + z = Re(z) 6) z z = z z 1 1 z1 z1 3) z - z = Im(z) i 7) = ; z 0 z z -1 z ) z z = z 8) z = ; z 0 z Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 3

4 Demostraciones. 1) z = a + bi = a - bi = a + bi = z ) z + z = (a + bi) + (a - bi) = a = Re(z) 3) z - z = (a + bi) - (a - bi) = bi = Im(z) i ) z z = (a + bi)(a bi) = a + b + i (ba ab) = a + b = z 5a) z1 z = (a + bi) (c + di) = (a + c) (b + d)i = (a + c) (b + d)i = = (a - bi) + (c - di) = z1 z 5b) z1 z = (a + bi) - (c + di) = (a - c) (b - d)i = (a - c) (b - d)i = = (a - bi) - (c - di) = z1 z 6) z1 z = (a + bi) (c + di) = (a c - b d) + (a d + b c) i = (a c - b d) - (a d + b c)i z1 z = (a + bi) (c + di) = (a - bi) (c - di) = (a c - b d) - (a d + b c)i Desde ambos miembros de la igualdad llegamos al mismo resultado. Se cumple. z z z z z z z z 7) 1 = = 1 ;z 0 z z z z z z z z Ejercicios finales 3 Complejos en forma polar y trigonométrica. Para obtener la forma polar de un número complejo hay que calcular su módulo y su argumento. Unidad 7 Números Complejos a + b = Arg(z) = arctg b a Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - IES Huarte De San Juan - Linares r = z = a + b z = a + bi = r, donde : b = Arg(z) = arctg a z =

5 Expresa los números complejos z = 1 - i y z = -1 + i en forma polar EJEMPLO Binómica Polar r = z = = z = 1 - i -1 z = 315º = arctg = 315º 1 r = z = = z = -1 + i 1 z = 135º = arctg = 135º -1 Qué es la forma trigonométrica? Del esquema de la derecha a cos = a = r cos r podemos concluir: b sen = b = r sen r r = z Así pues, para pasar de forma polar a forma binómica: a = r cos z = r, donde : b = r sen La forma trigonométrica de un número complejo z se calcula de la siguiente forma: z = a + bi = r cos + (r sen )i = r (cos + isen ) a = r cos b = r sen Expresa el número complejo z = 1 + i en forma polar y trigonométrica: EJEMPLO Binómica Polar Trigonométrica z = 1 + i r = z = = 1 z = = arctg = 5º 1 5º z = (cos 5 º + i sen 5 º ) Ejercicios finales al 13 Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 5

6 Operaciones en forma polar Usaremos la forma polar para multiplicar, dividir y hacer raíces. Producto: r s r s + Potencias: División: r : s r : s n n n r = r n r (cos n + i sen n) - Fórmula de Moivre n (cos + isen ) = = (cos n + i sen n) Raíces. Las raíces n-ésimas de un complejo z = a + bi = r n s = r tienen la forma: s, donde: + 360º k = ;k = 0,1,...,n - 1 n Un ángulo puede expresarse en grados o en radianes. Demostraciones Producto r s r (cos + isen ) s (cos + isen ) r s [(cos cos - sen sen ) + i(sen cos + cos sen )] = r s [cos( + ) + i sen( + )] = r s + Potencias n n n r = (r (cos + isen )) r (cos n + i sen n) = r Moivre n n División r : s r (cos + isen ) : s (cos + isen ) cos + isen cos - isen r : s cos + isen cos - isen cos cos i cos sen + i sen sen - i sen cos cos - i sen cos ( - ) + i sen ( ) cos ( - ) + i sen ( ) cos +sen 1 r : s - Raíces. No la demostraremos. Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 6

7 Realiza las raíces sextas de la unidad: El número 1 es un número real, luego su parte imaginaria vale cero. En forma compleja será: z = 1 + 0i, y al pasarlo a forma polar resulta: EJEMPLO r = z = = 1 0 z = 1 0 = arctg = 0º 1 Sus raíces sextas tienen la forma: s, donde: Por tanto: º 6 s = º +360º k = ;k = 0,1,..., º 0 1 = 0º z 1 = 1 6 0º 360º 1 = 60º z = º 3 = 10º z 3 = 1 0 º +360º k 6 = ;k = 0,1,..., º 3 = 180º z = º 5 = 0º z 5 = º 5 6 = 300º z 6 = º 10º 180º 0º 300º De donde obtenemos el gráfico siguiente (siempre es un polígono regular): Ejercicios finales 1 al final Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 7

8 Teorema fundamental del álgebra. Ecuaciones. El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio n n-1 P(z) = anz + an-1z a1z + a 0 con coeficientes complejos de grado n > 0, tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. Entonces: P(z) = a n(z - z 1)(z - z )...(z - z n). Factoriza 3 P(z) = z - z + z - EJEMPLO Tiene tres raíces. Probamos con las posibles raíces reales: {±1, ±, ±} z - z + z - = (z -1)(z + ) z + = 0 z = ± - = ± i Por tanto: P(z) = (z - 1) (z - i) (z + i) Notas Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales, tiene al menos una raíz real. En los polinomios con coeficientes reales, las raíces complejas aparecen por parejas. Quiere decir que si una raíz es compleja, su conjugada, también es raíz del polinomio. Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 8

9 Regiones del plano. Notas: Semiplanos. Re(z) > n Recuerda que el trazo debe ser discontinuo si la desigualdad es estricta (<, >) y continuo en caso contrario (, ). Im(z)>n Re(z) es el eje OX. Im(z) es el eje OY. La circunferencia: El círculo: Si la desigualdad es estricta, el borde no formaría parte del lugar geométrico y se dibujaría con trazo discontinuo. Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 9

10 Representa las regiones del plano: z < 1 y z > 1 EJEMPLO Están centradas en (0,0) y de radio 1. Así: Representa las regiones del plano: z y z - i > La primera está centrada en (1,0), con radio 1. La segunda en (0,1), con radio. Así: Representa las regiones del plano: z + 3i y Re(z) + Im(z) > 3. Está centrada en el punto (,-3), con radio. Así: Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 10

11 EJERCICIOS DEL TEMA 1. Realiza: a. ( i) (1 + i) b. ( + i) i (1 i) c. (3 i) (3 + i) d. i 1 + i e. (1 i) f. g. 3i 1 5i i - i i i. Representar en el plano (afijo y vector) los números complejos: a = - i, b = -3i, c = 1 i y d = -3. Soluciones f) a) + 3i b) 0 c) 13 d) i e) i g) - 3. Demostrar que: si z 0, entonces z -1 z = z. Calcula el modulo y el argumento principal de los siguientes números complejos: a. 3 - i b. i c. -3i 5. Escribe el complejo z en forma polar y trigonométrica a i b. c. 3i 6. Escribe en forma polar los complejos: a. + 3i b i; c. 5-1i. a)5 71,56º ; b) 135º ; c) 13 9,6º Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 11

12 7. Determinar el valor de k, real, para que z = -3 -i + ki : a. sea un número real. b. sea un número imaginario puro. c. tenga módulo igual a Realiza: 1 + 3i Resuelve y simplifica: a. b. (1 + i)² i 35 (3 - i) - ( + i) -1 ( + i) ( + i)² 3 i (3 - i) 10. Calcular z sabiendo que -1 iz = - i c) a) k = -3/ b) k = 6 10 k = ± a) i 7 b) i i Realiza: (1 i) (1 i) 0 1. Demuestra la fórmula de Moivre para n =. 13. Calcula el módulo y el argumento de 1. Calcula los valores de a y b para que: a. (a + i) (b 3i) = 7 11i 3 - a i b. = b + i 1 + i 15. Hallar los números complejos tales que su cuadrado es igual a su conjugado (en forma polar). 16. Realiza 1i z = ; arg(z) = 35º z i Más fácil pasando a forma polar z 1 = 1; z = 1 10º, z 3 =1 0º a. b. 5º 15º 3 630º 3 310º 1 30º 60º 300º 5º 15º c. 90º a) 1 30º ; b) 30º ; c) 1 330º Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1

13 17. El complejo de argumento 80º y módulo 1 es el producto de dos complejos; uno de ellos tiene de módulo 3 y argumento 50º. Escribe el otro complejo en forma binómica. 18. Calcula las potencias: a. [3(cos 35º + i sen 35º)] b. ( 30º ) 6 c. [ 3 3 (cos 10º + i sen 10º)] 6. a) º b) 8 180º = -8 c) 9 60º 19. Calcula las raíces quintas de la unidad. Represéntalas. 1 0º ; 1 7º ; 1 1º ; 1 16º ; 1 88º 0. Calcula y representa: 3 a. 3 3i b. i c. 5 1 i 1. Halla las coordenadas polares de los vértices de un hexágono regular de radio 3 u, sabiendo que un vértice está situado en el eje OX.. Describe el conjunto de los números complejos que cumplen que z + i = º 18165º 1885º a),, b) 1, 1, 1, 1, 5º 11, 5º 0, 5º 9, 5º c),,,, º 99 º 171º 3º 315º 3 0º, 3 60º, 3 10º, 3 180º, 3 0º, 3 300º Circunferencia de centro (0,-) y radio 10 u 3. Describir el lugar geométrico de los puntos del plano z = x + iy que verifican: a. Re(z) > 3 b. Im(z) -1 c. Re(z) + Im(z) d. z< 3 e. z + 3= f. z + i> 1 g. z 1 + i. Resuelve: z 3 8 = 0. Expresa las soluciones en forma polar y binómica. 0º =, 10 º = i, 0º -1-3i Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 13

14 5. Resuelve, dando las soluciones en forma polar: a. z = 0 b. z 3 7 = 0 6. Resolver: a. z - z + 13 = 0 b. z 3 + z + 9z + 36 = 0 c. z z + 5 = 0 d. z 6z + 13 = 0 e. z z + 5 = 0 a),,,,, 30º 90º 150º 10º 70º 330º b) 3; 3 10 ; 3 0 a) z 1 = + 3i; z = - 3i b) z 1 = -; z = 3i, z 3 = - 3i c) 1+i, 1-i d) 3+i, 3-i e) +i, -i 7. Resolver el siguiente sistema, donde x e y son números complejos: a. b. c. ( + i) x + y = 1 + 7i (1 - i) x + i y = 0 xi + ( + i) y = i ( - i) x + ( + i) y = 5 + 3i (1 + i)x + (1 + i) y = 5 + 5i ( + i) x + i y = + i a) x = 1 + i; y = i b) x = 3 + i; y = i c) x = 1 - i; y = 3 + i Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 1

15 FÓRMULAS TEMA 7 NÚMEROS COMPLEJOS Unidad imaginaria Complejos Forma binómica Forma polar Forma trigonométrica i = -1 z = a + b i z = r z = a + bi = r (cos + isen ) Afijo Parte real/imaginaria De binómica a polar De polar a binómica Fórmula de Moivre El afijo de z = a + bi es Parte real: Re(z) = a. r = z = a + b n a = r cos (cos + isen ) = el punto P(a, b). Parte imaginaria: Im(z) = b b = Arg z = arctg b = r sen = (cos n + i sen n) a Operaciones - Forma binómica Propiedades de los conjugados Operaciones - Forma polar Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Producto: r s r s + El opuesto de z 1 = a + bi es z = - a - bi. Producto: (a + bi) (c + di) = (a c b d) + (a d + b c) i El conjugado del número complejo z = a + bi, se define como: z = a -bi. División. Para dividir números complejos se multiplica, numerador y denominador por el conjugado del denominador. 1) z = z 5) z z = z z 1 1 ) z + z = Re(z) 6) z z = z z 1 1 z1 z1 3) z - z = Im(z) i 7) = ; z 0 z z -1 z ) z z = z 8) z = ; z 0 z Potencias: División: r : s r : s n n n r = r n r (cos n + i sen n) - Las raíces n-ésimas de un complejo z = a + bi = r tienen la forma: n s = r + 360º k = ; k = 0,1,...,n - 1 n s, donde: Unidad 7 Números Complejos Matemáticas I - 1.º Bachillerato Ciencias - 15