Práctico N o 1. Números Complejos

Transcripción

1 Práctico N o. Números Comlejos ) Clasi car los siguientes números comlejos en reales o imaginarios. Eseci car en cada caso cuál es la arte real y cuál es la imaginaria: a) 5 + 7i b) c) 5 d) i e) f) + g) i: ) Escribir tres números comlejos, tres imaginarios uros y tres reales. ) Efectuar las oeraciones indicadas y exresar el resultado en forma binómica. a) (5 + 7i) + (5 7i) i) ( + i) + (i ) b) ( + i) + ( i) j) ( + 5 i) + ( + 4i) ( i) 5 c) ( + 4i) ( + i) k) 5i + ( i) ( 5 i) + ( 4 5 i) d) i ( i) l) ( i):( i) 5 5i + i 4 e) + i i m) ( i) + ( + i) 5i 4 + ( i) f) ( i)( 4 ( i) (4 4i) i) n) 5 (i) 7 g) + 4i o) i49 (5 + i) + ( i) ( i) 4 Rta.:a) 0; b) 6i, c) + i; d) + 4 i; e), f) i; g) 5 0 i; h) ; i) + i; j) + i; 5 5 k) 6i; l) i, m) i, n) 4 i, o) i ) Reresentar grá camente los números comlejos; + 4i; i; + i; i; 4i y : 5) Reresentar grá camente el ouesto y el conjugado de los siguientes números: + 4i; i y : 6) Gra car z, z; z y z: Si z = + i qué relación geométrica existe entre ellos? 7) i) Probar las siguiente roiedades del conjugado de un número comlejo. z a) z = z e) = z w w b) z + w = z + w f) Si z = a + bi entonces: z z = a + b c) z w = z w g) z = z si solo si z R d) z w = z w h) z = z si solo si iz R Álgebra 00

2 ii) Veri que que, ara cualesquier números comlejos u y v, los números uv y uv son comlejos conjugados. 8) Resolver los siguientes roblemas: a) La arte real es el doble de la arte imaginaria y la suma de tales artes es 6, cuál es el comlejo? b) La suma de dos comlejos conjugados es 8 y la diferencia es 4i, cuáles son dichos comlejos? c) El roducto de un comlejo con su conjugado es 80. Si la comonente real es 4, cuál es la otra comonente? d) Determinar ara qué valores de x son reales las siguientes exresiones: i) + xi = 0 ii) (x )i = 0 Rta: d) i) x = 0; i d) ii) x = ; i. 9) Exresar en forma trigonométrica (o olar), los siguientes números comlejos: Reresentar grá camente. a) + i c) + i e) ei 4 g) 5 (cos 6 i sen6) b) i d) i f) (cos i sen405) h) e i 7 4 0) Exresar en forma canónica a + bi, donde a y b son números reales, los siguientes números comlejos: a) 4 cos + isen b) cos 5 i sen 5 c) e i d) e i ) Probar el Teorema, dado en la ágina 8. ) Calcular z z y z z, ara los números comlejos dado en cada caso. Exresar el resultado en forma canónica (o binómica). a) z = + i z = + i b) z = i z = i c) z = 4 4 i z = 4cis( ) ) Resolver usando el teorema de De Moivre y exresar el resultado en forma binómica. a) cos + i sin c) 4 cos 4 + i sin 4 b) ( + i) 8 d) Rta: b) 6 84; d) : 4) Demostrar: h + i i 0 a) Si z = r(cos + isen), su inverso multilicativo es z = (cos isen): r b) Si z = re i, su inverso multilicativo es z = r e i : 5) Dados u = + i y v = i : Usar la forma exonencial ara hallar: uv, v y u v. Álgebra 00

3 6) Determinar el valor de x, ara que z = ( i) ( + xi), sea un número real. Exresar z en forma exonencial. 7) Dados los siguientes comlejos: z = 4 + i z = i z = cis 7 4 z 4 = 4 cos 4 + isen 4 Resolver en forma exonencial: z 5 = i z 5 = e i 0 a) z 4 b) z 5 c) z 4 5 d) z + z z + z 4 e) (z z ) + z f) z + z 85 z + z 4 8) Reresentar grá camente el conjunto de números comlejos z tales que: a) z = a + bi con b > 0 d) jzj < g) z = re i ; con = y r R+ b) z = a + bi con a 0 y b 0 e) < jzj h) z = rcis; con < 5 y r R+ c) jzj = f) z = z i) z = z 9) Encontrar: a). Las dos raíces cuadradas de la unidad. Gra car. b) Las cinco raíces quintas de la unidad. Gra car. c) Si se encuentran las n raíces n esimas de la unidad, qué gura geométrica forman todas ellas?. 0) a) Resolver, en forma trigonométrica, ( + i) ( 4i) : b) Calcular las raíces cúbicas del resultado. Gra car. Rta: a) 50i; b) w k = 50 [cis (0 + 0k)] ; con k = 0; ;. ) Calcular el valor de i4 i 6i y las raíces cuarta del resultado. ) Hallar todas las soluciones reales y/o comlejas de las siguientes ecuaciones: a) z + z + = 0 d) z = i g) z = 0 b) z + z = 0 e) iz = ( + i) ( i) h) (z + 6) ( z + z ) = 0 c) z 4 + z 0 = 0 f) i + i z = i i) z + i = Rta: a) i; + i b) 0; i ; i c) ; ) a) De qué número comlejo z es raíz cúbica w = ( + i)? ; 5i; 5i d) i e) i;f) z = i: b) Si una raíz cúbica de un número comlejo z es w o = i: Calcular el número y las otras dos raíces. Gra car. Rta: a) i; b) z = 8i; w = (cos 0 + isen0) ; w = (cos 0 + isen0) Álgebra 00

4 Problemas de Alicación 4) Hallar las coordenadas olares y cartesianas de los vértices de un hexágono regular de radio ; sabiendo que un vértice esta situado en el eje x: 5) Hallar las coordenadas de los vértices de un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro en el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es + i: 6) Un estudiante de ingeniería electrónica se interesó en conocer el funcionamiento de las comutadoras en cuanto a cómo ueden mostrar un reloj de agujas en la antalla. Investigando, descubrió que el reloj odía ser reresentado en el lano cartesiano y que, ara cada instante, la osición del minutero reresenta un número comlejo. Por ejemlo, suoniendo que la aguja mide (es decir, el módulo del número es ), 0 minutos reresenta al número i, 5 minutos reresenta al número ; 0 minutos reresenta al número i, y reresenta 45 minutos. a) Por qué número comlejo se debe multilicar a i ara asar de 0 minutos a 5 minutos? Y ara asar de 0 minutos 45 minutos? b) Cuántos minutos desués de cero están reresentados or los números comlejos + i y i? 7) La imedancia comleja de un circuito eléctrico constituido or un resistor R, un caacitador C y un inductor L conectados en serie está dada or la siguiente exresión: z = R + j(wl wc ) 4 Álgebra 00

5 donde j equivale a la unidad imaginaria i, R, L y C son constantes ositivas ara un circuito dado, y es una variable real y se le llama ulsación angular de la señal alicada: a) Determinar! > 0 tal que Im(z) = 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito se comorta como resistivo uro. b) Determinar! > 0 tal que Im(z) > 0. Físicamente, se dice que en este caso el circuito s comorta como inductivo. c) Determinar! > 0 tal que Im(z) < 0: Físicamente, se dice que en este caso el circuito s comorta como caacitivo. d) Determinar! > 0 tal que Re(z) = Im(z): Nota: En electrónica se reemlaza la unidad imaginaria i or j, uesto que el símbolo i es emleado ara denotar intensidad de corriente. 8) Los ingenieros electricistas utilizan con frecuencia la forma trigonométrica de los números comlejos, ara descubrir la intensidad de la corriente I, el voltaje V y la resistencia R de circuitos eléctricos con corriente alterna. La resistencia es la oosición al aso de la corriente en un circuito. La relación entre esas tres cantidades es I = V R Calcular en cada caso la cantidad desconocida: a) Determinar el Voltaje: I = 0e i5 ; R = e i 6 : b) Determinar la Resistencia: V = 8 (cos 5 o + isen5 o ) ; I = 5 cos 4 + isen 4 : c) Voltaje real. La arte real de V reresenta el voltaje real entregado a un aarato eléctrico, en volts. Calcular aroximadamente ese voltaje cuando: I = 4 cos + isen ; R = 8 (cos 0 o + isen0 o ) : d) Módulo de la Resistencia: el módulo de resistencia jrj ; reresenta la oosición total al ujo de corriente en un circuito, y se mide en ohms. Calcular jrj, si R = 4 i: 5 Álgebra 00