Enunciados de problemas de números.

Transcripción

1 Nº. Enunciados de problemas de números. Hallar un número de 4 cifras que sea igual al cubo de la suma de las cifras. 2 Demostrar que si a, b y c son números racionales arbitrarios, los polinomios: n -2 y a+ b n+ c n 3 2 son primos entre sí. Probar que el conjunto E de los números reales de la forma: a + b () c ( 4 ) 3 ; a, b, c. es un cuerpo 3 Dados los números complejos z = 2 + î, z = 3 - î, determinar 3 números complejos: z 2, z 3 y z 4 tales que tales que los afijos de z, z 2, z 3 y z 4 formen un cuadrado de centro el afijo de z. 4 Demostrar que si n es par los números naturales n 2 - y 3 n + son primos entre sí. 5 Dada la ecuación x x 3-8 = 0, hallar: ) Sus raíces. 2) Representar sus afijos en el plano OXY. 6 Un número tiene 24 divisores, su mitad tiene 8 divisores y su triple 28 divisores. Hallar dicho número. 7 Hallar un número cuadrado perfecto de 5 cifras, sabiendo que el producto de esas 5 cifras es Hallar la condición que deben de cumplir los complejos a, b y c para que los afijos de la solución de la ecuación a z 2 + b z + c = 0 formen con el origen un triángulo equilátero 9 Dada la ecuación z 2-8 i z - (9-4 î) = 0 cuyas raíces son z y z 2, se pide: ) Hallar los complejos z 3, tales que los afijos de z, z 2 y z 3 formen un triángulo rectángulo isósceles, donde el vértice del ángulo recto sea el afijo de la raíz de mayor componente imaginaria. 2) Calcular el valor principal de ( ) z2 imaginaria. 0 Resolver la ecuación: cos z = 3, siendo z Probar que no es racional el número z , siendo z 2 el complejo de mayor componente

2 2 Hallar un número de 5 cifras diferentes que sea igual a la suma de todos los de 3 cifras que se pueden obtener formando todas las variaciones ordinarias de dichas 5 cifras, tomadas de 3 en 3. 3 Un número natural tiene 2 factores primos y 8 divisores naturales. La suma de los divisores es 320. Hallar el número. 4 Hallar dos números naturales sabiendo que su m.c.m. es.260 y la suma de sus cuadrados Escribir en el sistema decimal todos los números naturales que en el sistema de base 7 se escriben con 3 cifras, y en el de base 9 con las mismas cifras en orden inverso 6 ) Sea x. Qué condición debe de cumplir x para que existan y sean distintos x, x,,? x x 2) Sean xy, que cumplen la condición del apartado ), y además las siguientes condiciones: x<y; < x y. Indicar qué números son positivos del conjunto = x, x,,, y y,, x x y y. 3) Si además se cumple conjunto H {, 0,}. 7 Sea n un número natural. Sea A n = 2 n + 2 2n + 2 3n y = max { H}; < x, ordenar de menor a mayor los números del x ) Demostrar que n, A n+3 es congruente con A n módulo 7. 2) Encontrar para qué valores de n se verifica que A n sea divisible por 7 (utilizar el resultado del apartado ) 3) Los números que en base 2 se escriben: a) 0; b) 0000; c) son divisibles por 7?

3 8 ) Determinar 3 números complejos a, b, c tales que para todo elemento c, se tenga: z 3 + z 2 ( 5î 6 ) + z ( 9 24 î ) + 3 î + 8 = ( z + î ) ( a z 2 + b z + c ) 2) Resolver en la ecuación: z 3 + z 2 ( 5i 6 ) + z ( 9 24 î ) + 3 î + 8 = 0 3) Representar en el plano complejo los puntos A, B y C, imágenes de las soluciones de la ecuación anterior. 4) Considerando A, B, y C como vértices de un triángulo, de qué tipo es?. 9 Dados los números complejos: 2 z = x + y î, z = z + 3, z 2 = z î, z3 = z ; xy,. 2 Indicar las transformaciones geométricas que permitan pasar de cada uno de ellos al siguiente, determinar y construir los lugares geométricos de los afijos de z, z 2 y z 3 cuando los valores de z son tales que z =. 20 Si un número natural es cuadrado perfecto, demostrar: ) Si la cifra de las unidades es 6, la de las decenas es impar. 2) Si la cifra de las unidades es, la de las decenas es par. 3) Si la cifra de las unidades es 5, la de las decenas es 2. 2 Determinar el menor número en base cuyo producto por 9 se escribe en dicho sistema de numeración usando únicamente la cifra Para cada una de las relaciones que se dan, determinar el lugar geométrico del afijo de los complejos z que las verifican, haciendo una representación gráfica del lugar. ) z 2. 2) Re (z 2 ) = k. 3) Im (z 2 ) = k. 4) ( z 3) ( z + 3) = 2. 5) z Arg = k. z 2 23 Demostrar que la expresión n n 5 n +4 n con n siempre es divisible por 24.

4 24 Demostrar que el número (n es un cubo perfecto en cualquier sistema de numeración 25 Averiguar si es un número entero 26 Hallar dos números sabiendo que su m.c.d. es 20 y la diferencia de sus cuadrados Hallar dos números naturales sabiendo que su producto es y su m.c.m Hallar dos naturales sabiendo que su m.c.d. es 8 y el m.c.m Demostrar que n a = n 3n+ 3, n es múltiplo de Hallar los números naturales tales que, divididos por 2, 3, 4, 5 y 6 den como resto, 2, 3, 4 y 5 respectivamente. 3 Demostrar que 3 n, impar An = n n es divisible por Demostrar que n A ( ) 2 n = n +, 2 es divisible por Demostrar que n A = n 4, impar n es divisible por Hallar el menor número natural A tal que, dividido por 2 da de resto, dividido por 3 da de resto 2, por 4 el resto es 3, por 5 el resto es 4, por 6 el resto es 5, por 7 el resto es 6, por 8 el resto es 7 y por 9 el resto es Demostrar que n, impar An = n ( n + ) ( n + 2) ( n + 3) + es un cuadrado perfecto. 36 Hallar un número capicúa de 4 cifras que sea múltiplo de Con las cifras 6, 7, 8 y 9 ) Cuántos números de 6 cifras se pueden formar?. 2) Hallar la suma de todos ellos. 3) Hallar la suma de los que acaban en Cuántos números de 5 cifras sin que se repita ninguna de ellas, se pueden formar con las cifras 0,, 2, 3, 4?. Calcular su suma. 39 Cuántos números mayores que un millón se pueden escribir con las cifras 0, 2, 2, 3, 3, 3, 4?. 40 Si consideramos escritas en orden alfabético todas las permutaciones posibles de las letras A, B, C, D y E. Qué permutación ocupa el lugar 73?. Qué lugar ocupa la permutación CDABE?.

5 4 Demostrar: ) n n n 2. n = 0 n n n n n n n 2) ( n+ ) = ( n+ ) 42 Cuántas quinielas pueden hacerse en las que aparezcan sólo dos signos distintos?. 43 Las calles de una ciudad forman una cuadricula. si se designa por,2,3,..., las que van de N a S y por A, B, C,..., que van de W a E cuántos caminos distintos de longitud mínima pueden seguirse para ir del cruce de las calles A- al cruce de las calles D-7?. 44 Hallar el término general de las sucesiones: ) log,5 log,6 log,7 log, ) ,,,,, ) 3,7,3,2,3,43, 3) ,,,,, Hallar la suma de los 25 primeros términos de la sucesión: 4 a = n + 2 n + ; n n 46 Resolverla ecuación: V =20 V. 4 2 x x 47 Hallar el coeficiente M del término x 2 7 del desarrollo de (2 x x). 48 Un número natural N descompuesto en producto de factores primos es de la forma N = a x b y c z ; x 0, y 0, z 0. El número de divisores de N, N 2 y N 3 es, respectivamente 60, 35 y 90; el m.c.d. de todos los posibles valores de N es 900. Hallar todos los valores que puede tomar N. 49 Resolver en el cuerpo de los números complejos la ecuación: 3 5 tanz = 2 sen( 2 z) + 2 cos z

6 50 Escribir los divisores de 00. Si N = a 0 + a t a n t n y S = a 0 - a + a (-) n a n, donde t = 000 y cada coeficiente a p es entero. Demostrar que N y S son congruentes respecto al módulo 00. Deducir de ello un criterio de divisibilidad por 7,, ó 3 y aplicarlo al número Una bomba A trabaja de una de la madrugada a 6 de la tarde con un caudal de 20 metros cúbicos por hora, para alimentar un depósito de planta rectangular que mide 20 x 2,50 metros y 480 centímetros de altura. De este depósito toman agua 2 bombas B y C, cuyos caudales por minuto son 250 litros y 3750 litros, respectivamente. La bomba B, automáticamente, empieza a trabajar cuando el agua alcanza la altura de 3,60 metros, y se para cuando su nivel desciende de la citada altura. La bomba C se pone en marcha a las diez y cuarto de la mañana y termina cuando el nivel del agua baja en el depósito hasta los 60 centímetros. Determinar a qué hora dejan de trabajar las bombas B y C. 52 Deducir si es un número entero. 53 Dados 3 números complejos z, z 2 y z 3 tales que: z = z 2 = z 3 = ; z + z 2 + z 3 = 0. Demostrar que sus afijos son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio. 54 Sean z, z 2, z 3 y z cuatro números complejos que verifican las siguientes condiciones: a) Los afijos de z, z 2, z 3 son puntos del plano complejo que coinciden con los vértices de un triángulo equilátero. b) Re ( z + z 2 + z 3 ) =2 c) z = ; z.z = î ; z.z 2 = î. Calcular z, z 2, z Sea la ecuación z 3 + ( 2 î 9 ) z 2 + ( 23 - l3 î ) z + 6 ( î 5 ) = 0 que admite una raíz real. Los afijos de las raíces son 3 vértices de un paralelogramo. Encontrar el complejo correspondiente al cuarto vértice. 56 Demostrar que n a n = ( 2 n+ 3), 3 40 n 27 es divisible por Demostrar que no existe ningún número natural que resulte ser la mitad del número que se obtiene cuando su cifra inicial se pasa al final.

7 58 Calcular la suma de todas las fracciones irreducibles de denominador 5 comprendidas entre 73 y a) Probar que: mcd.(a,b) = mcd ( a+b, mcm (a,b) ). b) Encontrar dos enteros positivos cuya suma es 30 y su mcm es Resolver la ecuación: z 3 - ( 8 + î ) z 2 + ( î ) z - ( 24 6 î ) = 0 sabiendo que una raíz está situada en la bisectriz del primer cuadrante. 6 Dada la ecuación: z 4 - ( î ) z 3 + a 2 z 2 + a 3 z + a 4 = 0, se sabe que los afijos de las raíces de dicha ecuación son cuatro de los vértices de un pentágono regular cuyo quinto vértice es el afijo del plano complejo + î. Se pide: a) Afijo del centro de dicho pentágono. b) Determinar los coeficientes a 2, a 3 y a Calcular la suma de todos los números de 4 cifras diferentes que se pueden formar con las cifras: 0,, 2, 3, 4, 5 y Resolver la ecuación: z 4-24 z z z = 0, sabiendo que todas sus raíces son de la forma a+ b î con a y b números enteros. 64 Sea z un complejo dado. Determinar el conjunto Γ formado por los afijos de los números complejos z 2 que verifican la condición z z z 2 = a z. 65 Resolver en el cuerpo de los números complejos la ecuación: sen z = 4 66 Demostrar que si sen ( b + c - a ), sen ( c + a b ), sen ( a + b c ) están en progresión aritmética, ocurre lo mismo con tan a, tan b, tan c. 67 Probar que para 3, 0 n n es divisible por 3 n Calcular en forma de fracción continua: a) 5. b) Log Sabiendo que x es un de las raíces séptimas imaginarias de la unidad, encontrar el valor de la 2 3 expresión: E = x + x + x x + x + x

8 70 Hallar un número natural, sabiendo que es múltiplo de 30 y que la suma de sus 6 divisores es igual a Sea z un número complejo. Determinar los posibles valores de z en cada uno de los casos siguientes: a) z es la solución de la ecuación (z+) 3 + î.(z ) 3 = 0. b) Los afijos, de, z, + z están alineados. c) z es la solución de la ecuación: Ch 2 z - 3 Sh z + = Hallar en base 9 un número formado por 3 cifras significativas, tal que al expresarlo en el sistema de base 3 se escriba con las mismas cifras. 73 Hallar los números de 6 cifras que sean el cuadrado del número formado por sus tres últimas cifras (en base 0). 74 En el sistema de numeración de base x los números 2 (x 52 (x y 23 (x son tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente. ) Deducir los criterios de divisibilidad por 4 y por 5 en dicho sistema de numeración. 2) Considerando en este sistema los números capicúas de 4 cifras, demuestra que cualquiera de ellos es múltiplo de 4 y hallar la suma de aquellos que son además múltiplos de Demostrar que todas las combinaciones posibles de: a b c - d e f g h i siendo a, b, c,..., i las nueve cifras significativas distintas, verifican que a + b + c =8. 76 Hallar el número de permutaciones de las cifras, 2, 3, 4, 5, 6 en las cuales las 3 primeras conservan siempre el orden relativo. 77 Calcular cuántos números de 7 cifras se pueden formar con las cifras 0,, 2, 2, 3, 3, 3. Hallar la suma de todos ellos. Si se ordenasen dichos números de menor a mayor, hallar el lugar que ocuparía el n o

9 78 Sean k y n dos enteros mayores que cero. Pruébese la identidad: n k n j = k j j= 0 k ( ) ( ) 79 Sean p y n dos enteros mayores que cero. Pruébese las identidades: ) n n p = n p p n n n 2) = 2 0 n n 80 Cuántas soluciones naturales tiene la ecuación x + x x 6 = 0?. Cuántas tiene la 8 inecuación x + x x 6 < 0?. Sumar todos los números de la forma aa 2 a cuyos denominadores son los productos de k todos los elementos de cada uno de los subconjuntos no vacíos del conjunto {, 2, 3,..., n}. 82 Probar que el producto de 4 número naturales consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero. 83 Demostrar que 437 es divisor de y de 8! Probar que n + el número n + n n-, es múltiplo de 8 85 En un triángulo rectángulo cuyos lados son números naturales, probar que el producto de los catetos es: ) Múltiplo de 3. 2) Múltiplo de Demostrar que si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son todos números enteros, uno de ellos debe ser forzosamente un múltiplo de Demostrar que la expresión ( n 3 n ).( 5 8n n +2 ) siendo n un número entero no negativo, es un múltiplo de Demostrar que 3 2 n, An = 2 n + 3 n + n es múltiplo de 6.

10 89 ) En una batalla en la que participaron entre y.000 soldados, resultaron muertos y 35 heridos del total. Hallar cuántos resultaron ilesos. 43 2) Hallar el número 2 n - 5 n sabiendo que la suma de todos sus divisores es Encontrar un número de 4 cifras abcd, tal que abcd = ( a + b + c + d ) 2 9 Encontrar los números de 4 cifras de la forma abab que disminuidos en unidad sean cuadrados perfectos. 92 ) Hallar un número de 5 cifras diferentes que sea igual a la suma de todas las variaciones sin repetición de orden 3 que se puedan formar con estas 5 cifras. 2) Halla un número con 5 divisores, tal que la suma de todos estos divisores sea igual a Demostrar que n con n N, sólo es primo cuando n =. 94 Hallar los n tales que 2 n - es divisible por 7. Demostrar que no hay ningún n tal que 2 n + sea divisible por Demostrar las siguientes afirmaciones:. La suma de dos números naturales consecutivos no es divisible por La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por Encontrar el caso general de estas afirmaciones y demostrarlo o poner un contraejemplo. 96 En una sucesión finita de números reales, la suma de 7 términos consecutivos cualesquiera es negativa, y la términos consecutivos cualesquiera es positiva. Determinar el número máximo de términos que puede tener la sucesión. 97 Sea α = y β = 2-2. Probar que: ) α n + β n N, n N. 2) α n + β n = E[α n ] + 3) lim n ( α n + β n ) =. 98 Si a, b, y c son respectivamente, los términos p-ésimo, q-ésimo, r-ésimo de una progresión aritmética y de una progresión geométrica, demostrar que se verifica a b-c. b c-a. c a-b =. 99 Siendo a un número complejo fijo, determinar en función de a, los posibles números complejos z tales que las imágenes en el plano complejo de los afijos a 2.z, a.z 2, z 3 son vértices de un triángulo equilatero.

11 00 Calcular los productos: n- k = e 2 k π n n- k π sen k = n. 0 Hallar la parte imaginaria del número complejo (a+b.î) n, siendo n la base del sistema de numeración en el que los números 25 (n, 50 (n y 74 (n en progresión aritmética; a es el valor del límite: 2 ( + n n) lim n 4 3 n b es el valor de la pendiente de la tangente a la curva 2 y = 3 3 x -5 en el punto de abcisa x = 2. z+ 02 Resolver la siguiente ecuación: z e = î 03 Dada la ecuación z 4 + ( î ) z 3 + a 2 z 2 + a z + a 0 = 0, se sabe que los afijos de las raíces de dicha ecuación ( z,z 2, z 3,z 4 ) son los vértices de un pentágono irregular cuyo quinto vértice es el afijo del complejo z 5 = + î, El pentágono es simétrico respecto a la recta que pasa por los afijos de los complejos z 0 y z 5. Los radios del pentágono trazados desde z 0 a los afijos de z 5, z y z 2 forman una progresión geométrica de razón 2. El afijo de z 0 es interior al pentágono. Los ángulos entre radios consecutivos son iguales. Se pide calcular z Calcular el lugar geométrico descrito por el afijo de z+ î w = z î si z describe la circunferencia x 2 + y 2 = Dado el complejo z = + î, calcular el lugar geométrico del afijo B de otro complejo z 2, tal que el producto z z 2 tenga su afijo sobre la recta que determinan los afijos de z y z 2. (Determinar la ecuación cartesiana y determinar sus elementos). 06 Hallar todas las raíces de la ecuación: z 3 - ( 8 + î ) z 2 + ( î ) z - ( 24-6 î ) = 0 teniendo en cuenta que el producto de dos de ellas es î.

12 07 Sabiendo que z + = 2cos; t z z hallar el valor de n z + n z lo más simplificado posible. 08 Demostrar que en cualquier sistema de numeración los números 00, 0000, ,... No son primos. 09 Sean m, y n números enteros positivos. a) Hallar para que valores de n existe m impar tal que m+ n 2 m + 4 n b) Hallar todos los valores de m que verifique la condición anterior en los casos n = 6 y n = 89 0 Sea la expresión: x= a + a + a +... ; a a) Calcular el valor de x. b) Hallar la relación tal que a cada natural le corresponda un valor de a de forma que x sea un número racional. c) Demostrar que para cualquier a (natural) se verifica x = a +. Determinar los vértices de un cuadrado, sabiendo que: (a) Su centro es el punto (2,3) (b) Si se traslada al origen, se gira un ángulo de 60º en sentido positivo y se reducen sus lados a la mitad, los vértices del nuevo cuadrado son los afijos de un polinomio de cuarto grado con coeficientes reales que tienen la raíz x =.

13 2 Se consideran los números naturales escritos en modo usual en base 0. Se pide: a) Encontrar el menor número tal que al suprimirle la primera cifra quede reducido a su quinta parte. b) Demostrar que no existe ningún número que al suprimirle su primera cifra de la izquierda quede reducido a su doceava parte. c) Formular un criterio general que permita afirmar cuando hay un número que quede reducido k veces al suprimirle la primera cifra. 3 En el conjunto C de los números complejos se considera la ecuación: z 3 ( î ) z 2 + ( î ) z 2.î = 0 Se pide: a) Probar que la ecuación tiene una solución única real. b) Sean b y c son las soluciones complejas y real, siendo b < c. Obtener b y c. 4 Demostrar que no es un número racional. 5 a) Determinar todos los números complejos a, b, c tales que para todo elemento z del cuerpo de los números complejos, se tenga: z 3 3.( î ) z 2 - ( î ) z + 2.î + 94 = ( z î ).( a.z 2 + b.z + c ) b) Resolver en el cuerpo C la ecuación: z 3 3.( î ) z 2 - ( î ) z + 2.î + 94 = 0. c) Representar los puntos a, b y c, afijos de las soluciones de la ecuación anterior en el plano complejo y, considerándolos como vértices de un triángulo, razonar de que tipo es. 6 La suma de dos números naturales es de 5264, y su mínimo común múltiplo es de Cuáles son estos números?. 7 Demostrar que un número x es racional si y solo si la sucesión x, x+, x+2,..., x+n,... contiene, al menos, tres términos en progresión geométrica. 8 Sean p, q y r tres números naturales tales que la suma: p 3 + q 3 + r 3 es un múltiplo de 9. Demostrar que al menos uno de los tres números p, q, r es múltiplo de 3.

14 9 Se forman los números 49, 4489, , ,... intercalando cada vez 48 en el centro del número anterior. Demostrar que todos ellos son cuadrados perfectos y hallar la raíz cuadrada del que consta de 2.n cifras. 20 En el parlamento de Poldavia hay diputados. Un periodista observó que los presentes en una sesión el 2, eran mujeres y el 23,423, Pertenecían al partido popular. Se pide el número de diputados que faltaron a dicha sesión. 2 En el parlamento de español hay 350 diputados y para la aprobación de una ley es necesario un quórum de los 2/3. En la sesión para la aprobación de los Presupuestos Generales del Estado, un periodista observa que únicamente,... de los presentes son mujeres y el 45, son mayores de 45 años. Se pide el número de diputados ausentes en la reunión. 22 Si los términos de una progresión aritmética, 5, 9, 3, 7,..., se colocan así: a) Hallar la fila enésima. b) Calcular la suma de cada fila. 23 Sea C un capital prestado a interés compuesto, que se amortizará en n periodo, a un rédito por periodo r. Determinar el valor de las cuotas periódicas c i, de manera que formen una 24 progresión geométrica de razón q. 0 0 Demostrar que es un entero