Una parábola. Figura 9.1

Transcripción

1 Caítulo 9 Secciones Cónicas 9.1 La Parábola Definición: Una arábola es el conjunto de todos los untos P del lano que equidistan de una recta fija L, llamada directriz, de un unto F (que no está en L), llamado foco. Llamaremos eje (de simetría) de la arábola a la recta erendicular a la directriz L que asa or el foco F. Al unto medio entre F L lo llamaremos vértice de la arábola (ver Figura 9.1 ). EJE F P V DIRECTRIZ Una arábola Figura 9.1 A continuación encontraremos analíticamente la ecuación de la arábola que tiene como foco al unto F (0;) como directriz a la recta de ecuación =. Es fácil ver que esta arábola tiene como vértice al origen como eje de simetría al eje. Además, según la definición, P (; ) es un unto de la arábola si sólo si d(p; F )=d(p; L) es decir: +( ) = +: Elevando al cuadrado ambos miembros simlificando:

2 106 Secciones Cónicas +( ) = (+) + + = + + = : Nos queda: (9.1) = 4: La ecuación 9.1 se llamada la forma canónica de la ecuación de una arábola que tiene como directriz a la recta horizontal L de ecuación = como foco F (0;), un unto está sobre esta arábola si sólo si cumle con esta ecuación. Si >0, la arábola se abre hacia arriba como en la Figura 9.. Si <0, la arábola se abre hacia abajo. =4 F(0,) P(,) V =- P'(,-) Una arábola con eje vertical Figura 9. De manera similar odemos ver que la forma canónica de la ecuación de una arábola que tiene como directriz a la recta vertical L de ecuación = como foco F (; 0) es (9.) = 4: En este caso, si >0, la arábola se abre hacia la derecha como en la Figura 9.3. si <0, la arábola P'(-,) P(,) =- V F(,0) =4 Una arábola con eje horizontal Figura 9.3 se abre hacia izquierda. Ejemlos 1. Encuentre el foco la directriz de la arábola de ecuación = 1 9.

3 9.1 La Parábola 107 F(-9/4,0) =9/4 La arábola = Figura Resuesta. Reescribiendo la ecuación dada como = 9 obtenemos que 4 = 9 es decir, = 9 4. Por lo tanto, el foco es F ( 9 ; 4 0) la directriz es la recta L de ecuación = 9 4 (ver Figura 9.4 en la ágina 107 ).. Determine la ecuación de la arábola con vértice (0; 0), que tiene al eje como eje de simetría que asa or el unto P ( 3; 3). Resuesta. Según las condiciones dadas, la ecuación de la arábola es de la forma =4. Como P ( 3; 3) está sobre la arábola, ( 3) =1, es decir que = 9 1 = 3 4. Por lo tanto, la ecuación de la arábola es: = Forma canónica de ecuación de la arábola Ahora buscaremos la forma canónica de la ecuación de una arábola con vértice V (h; k) directriz aralela a uno de los ejes coordenados. Si la directriz es aralela al eje X el vértice de la arábola es V (h; k), el eje de simetría es la recta vertical = h. Suongamos que el foco es el unto F (h; k + ), entonces la directriz L de la arábola es la recta horizontal = k. P (; ) está sobre la arábola si sólo si, d(p; F )=d(p; L), es decir: ( h) +( (k+)) = (k ): Elevando al cuadrado ambos miembros simlificando: Nos queda: (9.3) ( h) +( (k+)) = ( (k )) ( h) + (k + ) +(k+) = (k )+(k ) ( h) +(k+) = +(k ) ( h) + k +k + = + k k + ( h) = 4( k): ( h) +k = k: Como antes, si >0, la arábola se abre hacia arriba como en la Figura 9.5 en la ágina 108, si <0, la arábola se abre hacia abajo. Una forma alternativa, sencilla, ráida elegante de obtener las ecuaciones canónicas anteriores se tiene artiendo de la forma de las ecuaciones con vértice en el origen luego cambiar variables. Que el lector cambie 7! h 7! k e interrete el significado de estos cambios.

4 108 Secciones Cónicas (-h)=4(-k) F(h,k+) P(,) =k- V(h,k) Una arábola con eje vertical con vértice (h; k) Figura 9.5 Si la directriz es aralela al eje Y el vértice de la arábola es V (h; k), el eje de simetría es la recta horizontal = k. Suongamos que el foco es el unto F (h + ; k), entonces la directriz L de la arábola es la recta vertical = h. De manera similar odemos ver que, en este caso, la forma canónica de la ecuación de la arábola es: (9.4) ( k) = 4( h): Aquí, si >0, la arábola se abre hacia la derecha como en la Figura 9.6, si <0, la arábola =h- (-k)=4(-h) > 0 V(h,k) =k F(h+,k) La arábola ( k) =4( h) Figura 9.6 se abre hacia la izquierda. Ejemlos 1. Determine la ecuación de la arábola que asa or el origen, tiene vértice V ( 1; 4) su directriz es aralela al eje Y. Resuesta. Como el vértice de la arábola es V ( 1; 4) su directriz es aralela al eje Y, la forma canónica de su ecuación es: ( 4) =4(+1): Si la arábola asa or el origen, entonces (0; 0) es solución de esta ecuación, es decir (0 4) = 4(0+1). Por lo tanto =4 la ecuación buscada es: ( 4) = 16( +1):. Encuentre el foco la directriz de la arábola de ecuación +8+4=.

5 9.1 La Parábola 109 Resuesta. Podemos comletar cuadrados del lado derecho de la ecuación. Sumando restado 16 nos queda: Esto es equivalente a: = : = (+4) +8 = (+4) = 8 De aquí que la forma canónica de la ecuación de la arábola dada es: ( +4) =( 4): Por lo tanto, = 1, el foco es el unto F (4 + 1 ; 4) = F ( 9 ; 4) la directriz es la recta vertical = 7, ver Figura 9.7, =7/ = +8+4 V(4,-4) -4 F(9/,-4) Figura 9.7 La arábola ( +4) =( 4) Ejercicios 1. Encontrar las coordenadas del foco la ecuación de la directriz de cada una de las siguientes arábolas: (a) = 1 (b) = 4 (c) = (d) 9 =6 (e) 1 = 1 8 (f) = 1 3 (g) ( +5) = 4 ( 6) 3 (h) = 9( 4). Escribir la ecuación de cada arábola que tenga las roiedades indicadas graficar: (a) Foco en (0; 3), directriz =3. (b) Directriz = 3, vértice (0; 0). (c) Vértice (0; 0); eje vertical; el unto (; (d) Vértice ( 3; ), directriz = 9. ) está en la arábola.

6 110 Secciones Cónicas 9. La Elise Definición: Una elise es el conjunto de todos los untos P del lano (lugar geométrico) tales que la suma de las distancias de P a dos untos fijos F 1 F del lano (llamados focos) es constante. Llamaremos centro de la elise al unto medio entre F 1 F (ver Figura 9.8 ). P F centro Una elise general Figura 9.8 F 1 A continuación encontraremos las ecuaciones de las elises que tienen como centro al unto C(0; 0) como focos a los untos F 1( c; 0) F (c; 0), c>0(ver Figura 9.9 ). Denotemos or a a la suma P(,) F(-c,0) 1 O F(c,0) Una elise con centro C(0; 0) con focos los untos F 1( c; 0) F (c; 0) Figura 9.9 constante de las distancias de F 1 F a un unto P sobre la elise (a es un arámetro adicional que se requiere ara determinar la elise). En la Figura 9.10 en la ágina 111, odemos ver que a>c, ues la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo (d 1 + d =a) es maor que la longitud del tercer lado (c). Por definición P (; ) está en la elise si sólo si d(p; F 1)+d(P; F )=a, es decir: ( + c) + + ( c) + = a: O lo que es lo mismo: ( + c) + = a ( c) + : Elevando al cuadrado ambos miembros simlificando: ( + c) + = 4a 4a ( c) + +( c) + +c + c = 4a 4a ( c) + + c + c a c = a ( c) + :

7 9. La Elise 111 (0,b) (/a) +(/b) =1 (a> b, o a=b) (-a,0) (-c,0) b O a (a,0) c (c,0) Estudio de la ecuación de la elise con centro C(0; 0) con focos los untos F 1( c; 0) F (c; 0) Figura 9.10 Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se obtiene: (a c) = a [( c) + ] a 4 a c + c = a a c + a c + a a 4 a c = a c + a a (a c ) = (a c )+a : Como a c > 0, odemos oner b = a c. Al dividir ambos lados or a b obtenemos la forma canónica de la ecuación de una elise con centro en el origen de coordenadas focos F 1( c; 0) F (c; 0), c>0: a + b = 1: Llamaremos vértices de la elise a los untos V 1( a; 0) V (a; 0) (que son los untos donde la gráfica de la elise interseca al eje X) eje maor al segmento de recta V 1V (en este caso aralelo al eje X). Los untos donde la gráfica de la elise interseca al eje Y son M 1( b; 0) M (b; 0). Llamaremos eje menor al segmento de recta M 1M (ver Figura 9.10 ). De manera similar odemos ver que la forma canónica de la ecuación de una elise con centro en el origen de coordenadas focos F 1(0; c) F (0;c),c>0, es: b + a = 1: En este caso, los untos V 1(0; a) V (0;a)(que son los untos donde la gráfica de la elise interseca al eje Y ) son los vértices de la elise el segmento de recta V 1V es el eje maor (aralelo al eje Y ). Los untos donde la gráfica de la elise interseca al eje X son M 1(0; b) M (0;b) el segmento de recta M 1M es el eje menor. Ver la Figura 9.11 en la ágina 11. Ejemlos 1. Encuentre los vértices los focos de la elise 3 +4 =1: Resuesta. Si dividimos ambos miembros de la ecuación or 1 odemos reescribir la ecuación dada como =1: Por lo tanto, a =4, el eje maor es aralelo al eje X c = a b =4 3=1. De aquí que, los focos son F 1( 1; 0) F (1; 0) los vértices son V 1( ; 0) V (; 0).

8 11 Secciones Cónicas (0,a) (c,0) (/b) +(/a) =1 (a> b, o a=b) a c (-b,0) b O (b,0) (0,-c) Estudio de la ecuación de la elise con centro C(0; 0) con focos los untos (0; c) (0;c) Figura 9.11 (0,-a)

9 9. La Elise 113. Determine la ecuación de la elise con ejes aralelos a los ejes coordenados, que tiene un foco en (0; ), e interseca el eje Y en =5. Resuesta. Como el foco está en el eje Y, la ecuación de la elise debe ser de la b + a =1: Además, c =,a=5, or lo tanto, b = =1: 4=1. Entonces la ecuación buscada es: 9..1 La forma canónica de la ecuación de la elise Busquemos ahora la forma canónica de la ecuación de una elise con centro (h; k) ejes aralelos a los ejes coordenados (al igual que antes, denotaremos or a a la suma de las distancias de F 1 F aun unto P sobre la elise). Si su eje maor es aralelo al eje X los focos de la elise son F 1(h c; k) F (h + c; k), con un sencillo argumento de traslación de ejes se uede robar que la forma de la ecuación es: ( h) ( k) a + b = 1: Los vértices de la elise son V 1(h a; k) V (h + a; k), es decir los untos de corte de su gráfica con la recta horizontal = k. Si su eje maor es aralelo al eje Y los focos de la elise son F 1(h; k c) F (h; k + c), con un argumento de traslación de ejes se uede robar que la forma de la ecuación es: ( h) ( k) b + a = 1: Los vértices de la elise son V 1(h; k a) V (h; k + a), es decir los untos de corte de su gráfica con la recta (vertical) = h. en ambos casos a>cb =a c. Ejemlos 1. Determine la forma canónica de la ecuación de la elise que tiene focos F 1( 1; ) F 1(5; ), cuo eje maor mide 10 unidades. 1+5 Resuesta. El centro de la elise es el unto medio entre los focos, es decir, C( ; ) = C(; ). Sabemos que la distancia entre los focos es igual a c que la longitud del eje maor es igual a a, entonces c =3a=5. Como b = a c =5 9=16los focos están sobre la recta horizontal =, la forma canónica de la ecuación de la elise es: ( ) ( +) + =1: Encuentre el centro los focos de la elise de ecuación = 0: Resuesta. Para encontrar el centro de la elise agruamos los términos en los términos en de la siguiente manera: (9 18) + (16 +64) = 71 9( ) + 16( +4) = 71: Comletando cuadrado en cada una de las eresiones que están dentro de los aréntesis, obtenemos: 9( +1 1) + 16( ) = 71 9( +1) ( +4+4) 64 = 71 9( +1)+16( +4+4) = ( 1) + 16( +) = 144:

10 114 Secciones Cónicas Entonces, dividiendo ambos miembros de la última ecuación or 144 obtenemos la ecuación de la elise: ( 1) ( +) + =1: 16 9 Por lo tanto, el centro de la elise es el unto C(1; ), a =16, b =9, c =a b =7los focos de la elise son F 1(1 7; ), F1(1 + 7; ). 1. Elaborar la gráfica de cada una de las siguientes elises. Señalar las coordenadas del centro, los etremos de los ejes maor menor los focos: (a) =1 (b) =1 (c) 9 + =9 (d) 4 +9 =36 (e) (f) (g) ( 1) ( +) ( +) ( 3) ( +) ( 1) =1 =1 =1. Escribir la ecuación de la elise que tiene las roiedades dadas: (a) Centro en (0; 0); eje maor horizontal con longitud 10, eje menor con longitud 6. (b) Centro en (; 3), focos ( ; 3) (6; 3); eje menor con longitud 8. (c) Centro en ( 5; 0), focos ( 5; ) ( 5; ); b =3. 3. Las circunferencias son elíses? 9.3 La Hiérbola Definición: Una hiérbola es el conjunto de todos los untos P del lano tales que la diferencia de las distancias de P a dos untos fijos F 1 F del lano (llamados focos) es, en valor absoluto, una constante. Llamaremos centro de la hiérbola al unto medio entre F 1 F (ver Figura 9.1 ). F 1 O P F Una hiérbola Figura 9.1 Suongamos que la hiérbola tiene como centro al unto C(0; 0) como focos a los untos F 1( c; 0) F (c; 0), c>0. Denotemos or a al valor absoluto de la diferencia constante de las distancias de F 1 F a un unto P sobre la hiérbola. Por definición, P (; ) está en la hiérbola si sólo si se cumle:

11 9.3 La Hiérbola 115 (9.5) jd(p; F ) d(p; F 1)j = a: En la Figura 9.13 en la ágina 115 ), odemos ver que: P(,) F 1(-c,0) O F (c,0) La hiérbola jd(p; F ) d(p; F 1)j =a Figura 9.13 d(p; F ) <d(f 1;F )+d(p; F 1); ues la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es maor que la longitud del tercer lado. De la misma manera, d(p; F 1) <d(f 1;F )+d(p; F ): Estas desigualdades son equivalentes a: d(p; F ) d(p; F 1) < d(f 1;F ) d(p; F ) d(p; F 1) > d(f 1;F ): Es decir: d(f 1;F )<d(p; F ) d(p; F 1) <d(f 1;F ): De aquí que: jd(p; F ) d(p; F 1)j < d(f 1;F ) or lo tanto: a < c: Para encontrar la canónica del la ecuación de la hiérbola con focos F 1( la ecuación 9.5 que es equivalente a: c; 0), F (c; 0) utilizamos j ( + c) + ( c) + j =a: Elevando al cuadrado ambos miembros simlificando: ( + c) + ( + c) + ( c) + +( c) + = 4a (+c) + ( c) + = 4a +c + +c + a = (+c) + ( c) + : Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación se obtiene:

12 116 Secciones Cónicas ( +c + ) 4a 4a c 4a +4a 4 = ((+c) + )(( c) + ) ( +c + ) 4a 4a c 4a +4a 4 = [(+c)( c)] + ( +c )+ 4 ( +c ) 4a 4a c 4a +4a 4 = ( c ) 4 c 4a 4a = 4a c 4a 4 (c a ) a = a (c a ): Como c a > 0, odemos tomar b = c a. Al dividir ambos lados or a b obtenemos la forma canónica de la ecuación de una hiérbola con centro en el origen de coordenadas focos F 1( c; 0) F (c; 0), c>0: a b = 1: Llamaremos vértices de la hiérbola a los untos V 1( a; 0) V (a; 0) (que son los untos donde la gráfica de la hiérbola interseca al eje X) eje transversal de la hiérbola al segmento de recta V 1V (en este caso aralelo al eje X). Las rectas cuas ecuaciones son: = b a ; son llamadas asíntotas de la hiérbola. (ver Figura 9.14 ). =-(b/a) =(b/a) (-c,0) (0,a) O (c,0) (a,0) La hiérbola a b =1 Figura 9.14 (/a) -(/b) =1 De manera similar odemos ver que la forma canónica de la ecuación de una hiérbola con centro en el origen de coordenadas focos F 1(0; c) F (0;c),c>0, es: a b = 1: En este caso, los untos V 1(0; a) V (0;a)(que son los untos donde la gráfica de la elise interseca al eje Y ) son los vértices de la hiérbola el segmento de recta V 1V es el eje transversal (en este caso aralelo al eje Y ). Las rectas cuas ecuaciones son: = a b ; son las asíntotas de la hiérbola. (ver Figura 9.15 en la ágina 117 ). Ejemlos 1. Encuentre los focos las asíntotas de la hiérbola 9 =9:

13 9.3 La Hiérbola 117 =-(a/b) (0,c) =(a/b) (0,a) O (0,-a) (0,-c) (/a) -(/b) =1 Figura 9.15 La hiérbola a b =1 Resuesta. Si dividimos ambos miembros de la ecuación or 9 odemos reescribir la ecuación dada como 9 =1: Por lo tanto, a =9, b =1el eje transversal es aralelo al eje X c = a + b =10. De aquí que, los focos son F 1( 10; 0) F( 10; 0) las asíntotas son = 3. Determine la ecuación de la hiérbola que tiene vértices V 1( 10; 0) V (10; 0) tiene como asíntotas a las rectas de ecuaciones = 1 : Resuesta. Como los vértices están en el eje X la ecuación de la hiérbola debe tener la forma a b = 1: Además, a =10, a b = 1, es decir, b = 1 a =5. La ecuación buscada es: = 1: La forma canónica de la ecuación de la hiérbola Busquemos ahora la forma canónica de la ecuación de una hiérbola con centro (h; k) ejes aralelos a los ejes coordenados (al igual que antes, denotamos or a al valor absoluto de la diferencia de las distancias de F 1 F a un unto P sobre la hiérbola). Si su eje transversal es aralelo al eje X los focos de la hiérbola son F 1(h otra vez, vía una traslación de ejes se uede robar que la la ecuación es: ( h) ( k) a b = 1: c; k) F (h + c; k),

14 118 Secciones Cónicas Los vértices de la hiérbola son V 1(h a; k) V (h + a; k), es decir los untos de corte de su gráfica con la recta horizontal = k. Las rectas: k = b ( h); a son las asíntotas de la hiérbola. Si su eje transversal es aralelo al eje Y los focos de la hiérbola son F 1(h; k se uede robar (vía una traslación de ejes) que la ecuación es: ( k) ( h) a b = 1: c) F (h; k + c), Los vértices de la hiérbola son V 1(h; k a) V (h; k + a), es decir los untos de corte de su gráfica con la recta vertical = h. Las rectas: k = a ( h); b son las asíntotas de la hiérbola. en ambos casos c>ab =c a. Ejemlos 1. Determine la forma canónica de la ecuación de la hiérbola que tiene focos F 1(5; ) F 1(5; 4) un vértice en (5,3). Resuesta. Como conocemos los focos odemos encontrar el centro de la hiérbola C( 5+5 ; +4 )= C(5; 1) el valor de c = 4 1 = 3. Así mismo, como las coordenadas de los focos son iguales, sabemos que el eje transversal de la hiérbola es vertical. Como la coordenada del vértice (3) es maor que la coordenada del centro (1) entonces a = 3 1 = Por lo tanto, b = c a =9 4=5la ecuación buscada es ( 1) ( 5) + =1: 4 5. Encuentre el centro, los focos las asíntotas de la hiérbola de ecuación =0: Resuesta. Para encontrar el centro de la hiérbola,agruamos los términos en los términos en de la siguiente manera: (9 36) ( 1) = 9 9( 4) ( 1) = 9: Comletando cuadrados en cada una de las eresiones que están dentro de los aréntesis, obtenemos: 9( ) ( ) = 9 9( 4 +4) 36 ( 1 +36)+36 = 9 9( ) ( 6) = 9: Entonces, dividiendo ambos miembros de la última ecuación or 9 obtenemos la forma canónica de la ecuación de la hiérbola: ( ) ( 6) =1: 9 Por lo tanto, el centro de la hiérbola es el unto C(; 6), a =1, b =9, c =a +b =10, los focos son F 1( 10; 6), F1( + 10; 6) las rectas: 6= 10( ); son las asíntotas de la hiérbola.

15 9.4 Ejercicios Ejercicios 1. Elaborar la gráfica de cada hiérbola. Señalar las coordenadas del centro, vértices focos: (a) 5 9 =1 (b) 16 5 =1 (c) 16 4 =1 (d) 9 =9 (e) 5 9 = 5 (f) 4 9 =36 (g) ( 1) ( +) 16 4 (h) ( +3) ( ) 16 9 =1 =1. Escribir la ecuación de la hiérbola que tenga las roiedades indicadas: (a) Centro (0; 0), focos (6; 0), vértices (4; 0). (b) Centro ( ; 3); eje transversal vertical con longitud 6; c =4. (c) Centro (4; 4); vértices en (4; 7); b =. 9.5 Ejercicios adicionales 1. Identificar cada cónica: (a) =0 (b) = 4+5 (c) = 8 (d) 9 8=0 (e) =0 (f) = +8. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los untos tales que la suma de sus distancias a F 1(1; 3); F ( 1; 3) es Demostrar que, en la elise a + =1, la longitud del segmento trazado desde (0;b)hasta el b foco es a. 4. Hallar la ecuación de la arábola cuo eje es aralelo al eje X, que asa or lo untos (0; 0); (8; 4) (3; 1). 5. Hallar la ecuación de la elise que asa or los untos (1; 3); ( 1; 4); (0; 3 3 ); ( 3; 3) que tiene sus ejes aralelos a los ejes coordenados. 6. Hallar la ecuación de la hiérbola que asa or los untos (3; ) (7; 6), tiene su centro en el origen el eje transversal coincide con el eje X.

16 10 Secciones Cónicas