con a 2 0 se denomina función cuadrática o función de segundo grado, cuyo dominio es

Transcripción

1 Función cuadrática Matemática 3º Año Cód P r o f. M a r í a d e l L u j á n M a r t í n e z P r o f. C a r l a N á o l i P r o f. J o r g e l i n a O s é s Dto. de M at emática

2 FUNCIÓN CUADRÁTICA Toda función olinómica de la forma: f() a a1 a0 con a 0 se denomina función cuadrática o función de segundo grado, cuyo dominio es En articular, llamaremos a los coeficientes a = a; a1 = b y a0 = c. Resulta entonces: f() a b c siendo a el término cuadrático, b el término lineal y c el término indeendiente Estudiamos la función f ( ) gráficas de otras eresiones como, su gráfica es una arábola, ahora analizaremos las h ( ) 4, sabes tienen sus gráficas or los corrimientos realizados a Sea g conocemos. 1 t( ) 3 f ( )., etc. ue como ya ( ) 3 1, la cual odemos graficar con las herramientas ue ya Imortante Forma Canónica de la función cuadrática f a h k ar a 0 hr k R Notemos ue la gráfica tiene la articularidad de ser simétrica resecto de un eje aralelo al eje y, llamado eje de simetría. Imortante Forma Polinómica Trabajando g() algebraicamente obtienes: de la función cuadrática g( ) 6 10 Siendo a 1 b 6 c 10 f() a a,b,c R b c y a 0 P O L I T E C N I C O 1

3 Función cuadrática Matemática Queremos determinar ara las funciones cuadráticas algunos elementos imortantes, ue nos ermitirán comrender su comortamiento ara luego graficarlas. Determinación de las coordenadas del vértice de una función cuadrática. El vértice ;y ), es el unto de intersección de la arábola y su eje de simetría. ( v v Consideraremos y Dom( f ), las abscisas de dos untos cualesuiera de la arábola, tal ue f ) f ( ) ( La abscisa del vértice será de la forma sobre el eje de simetría. Como f ) f ( ), entonces: ( v (*), dado ue el mismo se encuentra a b c a b c de donde: 0 ( a( 0 a( 0 a( 0 ( )( ) a( ) b 0 b ) (**) a ) b( ) b( ) b ) ) reemlazando en (*) or (**), se tiene v f. v b y ara obtener y v bastará evaluar a Entonces las coordenadas del vértice son: b v ; f a v Considerando nuevamente la función g( ) 6 10 resulta: el vértice de esta arábola es v (3 ; 1) el eje de simetría es = 3 P O L I T E C N I C O

4 Relación entre los coeficientes a, b y c de una función cuadrática y h y k de la eresión canónica. f( ) a h k f( ) a h h k f( ) a ah ah k b b resulta ue : ah b h ( 1) a b Sabiendo ue v y de (1) concluimos v a c b b 4ac b ah k c k c a k c h. a 4a 4a Evaluando f( h ) se obtiene ue f ( h) k, entonces el vértice de la arábola es v( h; k ) ue se determina inmediatamente cuando la función cuadrática esta dada en la forma canónica. En la eresión de la función cuadrática, el coeficiente a, tiene imortancia ara oder establecer la concavidad de la arábola. Si a>0, las ramas de la arábola se dirigen hacia arriba (cóncava hacia arriba) y se uede observar ue la ordenada del vértice es el menor valor del conjunto Imagen (mínimo) Si a<0, las ramas de la arábola se dirigen hacia abajo (cóncava hacia abajo) y la ordenada del vértice es el mayor valor del conjunto Imagen (máimo) P O L I T E C N I C O 3

5 Función cuadrática Matemática PRÁCTICA 1) Dada f() 3 a) Indica, a artir de ella, el vértice, su eje de simetría y el conjunto imagen. b) Halla a/ f(a) 4 c) Determina el valor de su coeficiente lineal. ) Dadas las siguientes gráficas eresa la ley de la función cuadrática en forma olinómica a) b) c) Ceros de una función cuadrática. Su ecuación asociada Problema: Se lanza una elota hacia arriba desde 5m del suelo. La altura, en metros, ue alcanza la elota en función del tiemo, en segundos, viene dada or la función h(t) 0t 5t 5 Cuánto tarda en llegar al iso? Resolver este roblema imlica saber cuando la altura de la elota es nula, ara lo cual tendremos ue encontrar las soluciones de la siguiente ecuación: 0t 5t 5 0 Es evidente ue no odemos desejar la variable en forma directa arenderemos nuevas herramientas. or lo ue Llamamos Ecuación de º grado a la eresión: a b c 0 4 P O L I T E C N I C O

6 Esta ecuación uede escribirse, utilizando la eresión canónica de la función cuadrática como b 4ac b a h k 0, con h y k a 4a Reemlazando h y k, se tiene: a b c 0 b 4ac b a 0 a 4a b 4ac b a a 4a b b 4ac a a 4a b b 4ac a 4a b b 4ac b 4ac a 4a a b b 4ac b b 4ac 1 a a a a b b 4ac b b 4ac 1 a a Siendo 1 y las raíces, ceros ó soluciones de la ecuación de segundo grado. En forma simlificada odemos escribir: 1, b b 4ac esta fórmula recibe el nombre de Resolvente de la ecuación de segundo grado Ahora estamos en condiciones de resolver la ecuación del roblema rouesto: a 0t 5t 5 0, con a 5 b 0 c 5 Reemlazando en la fórmula obtenemos: t 1, t 1 t 5 1 P O L I T E C N I C O 5

7 Función cuadrática Matemática En este roblema el valor negativo no tiene sentido, or lo tanto la elota tarda en llegar al iso 5 segundos. PRÁCTICA 3) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3 1 b) 0 c) 3 5 d) 0 3 e) 1 f) g) 6 h) i) j) 0 8 k) 1 y 4 Observaciones Sabemos ue la función cuadrática es una función olinómica, entonces se uede eresar según sus raíces o ceros, de la siguiente manera: Forma factoreada f ( ) a 1, donde 1 y son los ceros de la ecuación asociada a f ( ) a b c Al número b 4ac ue aarece en la fórmula de la resolvente, se lo conoce con el nombre de discriminante y se la simboliza Análisis del discriminante en relación con las soluciones de la ecuación de segundo grado. Si 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas 1 Si 0 entonces la ecuación tiene una solución real doble 1 Si 0 entonces la ecuación no tiene soluciones reales 6 P O L I T E C N I C O

8 Si trabajamos con una función cuadrática f() a b c, al calcular los ceros, 1 y obtendremos los untos de intersección de la arábola con el eje. Con la ayuda del discriminante tenemos: Si 0, la arábola corta al eje en dos untos 0 Si 0, la arábola toca al eje en un unto 0 Si 0, la arábola no corta al eje 0 P O L I T E C N I C O 7

9 Función cuadrática Matemática PRÁCTICA 4) Sin resolver las ecuaciones, analiza el tio de solución de las mismas. a) b) c) ) Siendo 1 y los ceros de una función cuadrática, demuestra: a) 1 b a c b) 1. a c) () a b c a( )( ) f 1 6) Halla la eresión de una función cuadrática sabiendo ue sus ceros son 1 1 y 5 y ue el unto 3; 5 ertenece a su gráfica. 7) Dadas las siguientes funciones : 1 1 f() 4 6 g() 4 4 t() 1 h() 3 a) Halla el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas b) Encuentra los untos de intersección de las mismas con los ejes, si es osible. c) Reresenta gráficamente las funciones e indica el conjunto imagen de cada una. d) Eresa en forma canónica t() y h() e) Eresa en forma factoreada f() y g() 8) Determina una ecuación de segundo grado a coeficientes enteros tal ue sus soluciones sean: a) 1 1 Los recírocos de las de 0 b) Las terceras artes de las de ) Determina k de modo ue la ecuación: a) 4 K 6 0 tenga una solución igual a 1 b) K 0 tenga soluciones iguales c) K 8 0 no tenga soluciones reales 8 P O L I T E C N I C O

10 10) Determina el dominio en las siguientes funciones f() g() h() ) Determina si () 1 asociada. f tiene nulo el discriminante de la ecuación 1) Encuentra el valor de de modo ue las funciones f() y g() 3 iguales. 7 osean ecuaciones asociadas cuyos discriminantes sean 13) Determinar, sin calcularlos, la cantidad de ceros reales ue tienen las siguientes funciones cuadráticas: a) f() 6 9 b) g() 1 7 c) h() y 14) Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f() 5 3 g()? 15) Plantea y resuelve los siguientes roblemas: a) Determina dos números tales ue su suma sea 10 y el roducto de los mismos más la suma de los cuadrados sea 79. b) Encuentra la medida de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo ue son tres números naturales consecutivos. c) Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad ue tenía hace 13 años. Calcular la edad de Marcela. 16) La función ara calcular el ingreso or la venta de n relojes es r(n) n5 0,1n Determina:. a) La cantidad de relojes ue debe venderse ara obtener el ingreso máimo. b) El ingreso máimo. P O L I T E C N I C O 9

11 Función cuadrática Matemática 17) La función ue ermite construir un modelo de los ingresos de una emresa (en esos) en función de la cantidad de artículos ue vende (en unidades de mil) es I() 5 50 y la del costo total (en esos) es C() Determinar cuántos artículos deben venderse ara oder cubrir los costos. Comrueba, a través del software Geogebra, la solución del roblema. 18) Grafica una arábola ara cada situación: a) Los untos de intersección con el eje son 3;0 y ;0 4 y en el vértice tiene un máimo. b) Interseca al eje y en y 3, el coeficiente lineal es el doble del coeficiente cuadrático y el unto ( ;7 ) ertenece a la gráfica de la función. c) Los untos 1 ;3 y ; ertenecen a su gráfica y el coeficiente lineal es 19) Dadas las funciones f() 7 10 y g() 4 5, determina: a) A / f() 0 b) B / g() 0 0) Dada la arábola y 1 4, determina analíticamente y gráficamente si hay untos de intersección con cada una de las siguientes rectas: a) y 4 b) 1 3 y 0 c) y 3 1 1) Para cada rectángulo encontrar el valor de tal ue el área sea máima. Calcula el área máima. a) b) ) La suerficie de un rectángulo es de 19 cm y la diagonal del mismo es de 0 cm. Calcula sus dimensiones. Ecuación Bicuadrática 4 a4 a a0 0 a4 0 ; a4, a y a0 R 10 P O L I T E C N I C O

12 BIBLIOGRAFIA: Matemática /Polimodal Funciones 1 Altman-Comaratone- Kurzrok. Editorial Longseller. Año 00- Bs As Argentina Matemática /Polimodal Funciones Altman-Comaratone- Kurzrok. Editorial Longseller. Año 00- Bs As Argentina Matemática Zaico- Micelli-Tajeyan-Vera Ocamo. Editorial Santillana.Serie Persectiva- Año 008-Bs As-Argentina Matemáticas.Bachillerato 1 Guzmán-Colera-Salvador.Editorial Amaya-Año 1987-Madrid-Esaña Precálculo.Stewart-Redlin-Walson Tercera edición-editorial Thomson Learning- Año 001 Méico DF Méico Precálculo J.Douglas Faires- James DeFranza. Editorial Internacional Thomson.Editores º edición. Año 001-Méico DF-Méico Aunte de Función cuadrática, Función eonencial y su inversa- Ecuaciones. Editado en el Instituto Politécnico Suerior. 3ºaño.Año Cod 1310 P O L I T E C N I C O 11

13 Función cuadrática Matemática Resuestas de los roblemas rouestos 1) a) V(3;) - Eje de simetría =3 - Im( f) ( ; ] b) a 3 3 a 3 3 c)coeficiente lineal =1 ) a) f() 1 4 b) f() 4 1 c) f() 3 4 3) a) 1 3 b) c) 1 5 a d) 1 6 a 1 6 e) 3 f) 3 g) h) 5 i) 4 j) 0 k) 1 4) a) Dos soluciones reales distintas b) No tiene soluciones reales c) Tiene una solución real 5) A cargo del alumno 6) 5 f() ) a) b) c) Función Vértice Eje de simetría 1 ; 8 1 f() g() ;0 t() h() 1 d) t() ; 3 3 ; 4 1 Inters. eje Inters. eje y Im( ) 3 ;0 1 ;0 0 ; 6 8 ; 1 ; 8 0 ; 4 0 ; 1 No osee 0 ;1 1 3 e) f() 3 1 g() 0 ; 0 3 ;0 1 3 h() 3 8) a) 0 b) =0 9) a) k 10 b) k 1 c) 8 k ; 0 ; 3 ; 4 1 P O L I T E C N I C O

14 10) 1 Dom(f) R 1; Dom(g) ; 1; Dom(h) R 3; 11) 1 1) 13) a) un cero b) dos ceros c) no osee ceros reales d V ;V 5 15) a)3 y 7 b)3; 4 y 5 c)1años 14) 1 16) a)15 relojes b)$156,5 17) 3artículos 18)A cargo del alumno 19) A ;5 B 5;1 0) Analíticamente a) 1 b) No tienen untos de intersección c)3; 8 y ; 5 Gráficamente a cargo del alumno 1) a) 7 b) 10,5 ) Las dimensiones son : 16cm y 1cm P O L I T E C N I C O 13