FUNCIONES ELEMENTALES

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1 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. I II IV III Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son: a) y = y = + c) y = d) y = + Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de: el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas; la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos; y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de sus puntos. a) III II c) IV d) I Página Problema Teniendo en cuenta los pasos descritos antes, representa gráficamente las siguientes funciones: + si < si < + si 0 a) y = y = c) y = si si si > 0 Unidad 0. Funciones elementales

2 a) c) 0 Página 7. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = + y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = / h) y = / i) y = / j) y = / k) y = + l) y = m) y = n) y = ñ) y = + o) y = + p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. a) Á [, ) c) (. ] d) [, ] e) (, ] U [, ) f) (, ) U (, ) g) (, ) h) (, ) i) (, ) j) (, ) U (, ) k) Á l) Á {0} m) Á {0} n) Á {, } ñ) Á o) Á { } p) l > 0 Página 8. Representa la siguiente función: y = + 7, (, ]. Unidad 0. Funciones elementales

3 . Una función lineal f cumple: f () =, f (7) =, D ( f ) = [0, 0]. Cuál es su epresión analítica? Represéntala. 9 m = = y = ( ) = +, [0, 0] Página 9. Representa las parábolas: a) y = + y = c) y = + d) y = e) y = + f ) y = + a) c) d) e) 8 f) Representa las funciones: a) y = +, [, ) y = +, [0, ] c) y =, (, ) (, ) Unidad 0. Funciones elementales

4 a) c) 8 8 Página 0. Representa y =. A partir de ella, representa: a) y = + y = y = a) 0 8. Teniendo en cuenta el ejercicio anteior, representa: a) y = y = + a) 8 Unidad 0. Funciones elementales

5 Página. Representa y = f () = para. A partir de ella, representa: a) y = f ( ) y = f ( + ) c) y = f ( ) d) y = f ( + ) 7 7 a) c) d) Página. Representa: a) y = y = c) y = d) y = + Unidad 0. Funciones elementales

6 a) c) d). Representa estas funciones: + a) y = + y = + c) y = d) y = a) c) d) Página. Representa las siguientes funciones: a) y = + y = c) y = d) y = + Unidad 0. Funciones elementales

7 a) c) d). Representa: a) y = + y = + c) y = + d) y = a) c) d) Página. Representa esta función: f () = + [, 0) + [0, ] (, 7) Unidad 0. Funciones elementales 7

8 . Haz la representación gráfica de la siguiente función: g() = + < Página. Representa: y = Representa gráficamente: y = 8 0 Página. Si f () = + y g () =, obtén las epresiones de f [g()] y g [f ()]. Halla f [g()] y g [f ()]. f [g()] = f [ ] = + g [ f ()] = g [ + ] = ( + ) f [g()] = 79; g [ f ()] = Unidad 0. Funciones elementales 8

9 . Si f () = sen, g () = +, halla f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y =. f g () = sen ( + ); f g(0) = 0,9; f g() = 0, g f () = sen + ; g f (0) = ; g f () =,8 f f () = sen (sen ); f f (0) = 0; f f () = 0,79 g g () = ( + ) + ; g g (0) = 0; g g () = 8 Página 7. Representa y =, y = / y comprueba que son inversas. y = y = y = /. Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y =. Averigua cuáles son. a) y = si 0 y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +. Si f () = + y g() =, comprueba que f [g ()] =. Son f () y g () funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + ) está en la gráfica de f y que el punto (a +, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y =. Unidad 0. Funciones elementales 9

10 f [g()] = f ( ) = ( ) + = Son funciones inversas. y = y = + Página EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Cuáles de estas gráficas son funciones? a) c) d) e) f) Son funciones a), y d). Indica si los valores de : 0; ;,; ; 0, pertenecen al dominio de estas funciones: a) y = y = c) y = d) y = + e) y = f) y = 7 a),; Todos salvo c) Todos d) Todos e), f ) Todos Unidad 0. Funciones elementales 0

11 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = y = + ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = a) Á {, 0} Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, } f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = y = c) y = d) y = a) (, ] [/, + ) c) (, ] d) (, 0] Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 9 = + + c) y = d) y = e) y = f ) y = g) y = h) y = a) 9 0 ( + ) ( ) 0 Dominio = (+, ] U [, + ) Dominio = Á c) 0 ( ) 0 Dominio = [0, ] d) 0 ( + ) ( ) 0 Dominio = (, ] U [, + ) e) > 0 > Dominio = (, ) f) > 0 ( ) > 0 Dominio = (, 0) U (, + ) g) = 0 ( ) = 0 = 0, = Dominio = Á {0, } h) = 0 = = ± = ± Dominio = Á {, } Unidad 0. Funciones elementales

12 Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) c) d) 0 0 0, 0, a) y = + y = + 8 c) y = 0,0 0,0 d) y = 0 7 Asocia a cada una de estas parábolas una de estas ecuaciones: a) y = y = 0, c) y = ( + ) d) y = I II 8 III IV 8 a) II I c) IV d) III 8 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = 0, y = + c) y = d) y = a) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) Unidad 0. Funciones elementales

13 Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) c) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0) 9 Representa las siguientes funciones: a) y = + + y = + + c) y = + d) y = + + a) c) d) 8 Unidad 0. Funciones elementales

14 Página 7 0 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = ( + + ) y = ( + ) + c) y = d) y = ( + ) a) Vértice: (, ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 0, ) Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; (, ) U (, + ) y [, + ). Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, + ) y [0, + ). Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntariamente su dominio: a) y =, si [, ] y =, si [, + ) a) 0 8 Unidad 0. Funciones elementales

15 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? a) A () = Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? a) V () = Domini: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 si < a) y = si 0 < y = ( )/ si si a) Representa f () = y, a partir de ella, representa: a) g() = f () h() = f ( + ) f () = a) Unidad 0. Funciones elementales

16 7 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = y = + c) y = d) y = + a) (, 0] U [, + ) Á c) [, ] d) (, ] U [, + ) 8 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + y = c) y = d) y = + I II III IV a) II III c) IV d) I 9 Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f () y = f ( ) c) y = f () + Unidad 0. Funciones elementales

17 a) c) Página 8 0 Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa la función y = log. Si el punto (, 9) pertenece a y =, el punto (9, ) pertenecerá a y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 8 y = (0, ) y = log (, 0) Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = ( ) y represéntala gráficamente. 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = ( ) Unidad 0. Funciones elementales 7

18 Representa la función y = ( ). Es creciente o decreciente? f () = ( ) Es una función creciente en todo Á. Considera las funciones f y g definidas por las epresiones f () = + y g() =. Calcula: a) (f g) () (g f ) ( ) c) (g g) () d) (f g) () a) 0 c) g (g()) = d) f (g()) = + Dadas las funciones f () = cos y g() =, halla: a) (f g) () (g f ) () c) (g g) () a) f [g()] = cos g[ f ()] = cos c) g[g()] = Halla la función inversa de estas funciones: a) y = y = + 7 c) y = a) = y y = f () = = y + 7 y = 7 f () = 7 + c) = y y = f () = + Unidad 0. Funciones elementales 8

19 Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) y = log / 7 Comprueba que las gráficas de y = e y = ( ) son simétricas respecto al eje O. Represéntalas en los mismos ejes. y = ( ) 8 y = (0, ) PARA RESOLVER / + si ( + )/ si < 8 Representa: a) y = y = / si > + si a) Unidad 0. Funciones elementales 9

20 9 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y = si y = ( )/ si > c) y = si < d) y = si si si > si < 0 si 0 a) c) d) 0 Representa: si a) y = si < < y = si ( /) + si < si a) A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g() = f () h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () Unidad 0. Funciones elementales 0

21 a) 0 0 h() 0 0 g() c) 0 d) 0 j () 0 i () Representa la función f () = y dibuja, a partir de ella: a) g() = + h() = a) g() 0,8 f () 0, 0, 0, 0, 0, f () 0, 0, 0, 0,8 h() Unidad 0. Funciones elementales

22 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido,8 euros por m, y en octubre,,8 por m. a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m consumidos y represéntala. Cuánto pagarán si consumen 8 m? a) y =,8 + 0, ( ) y (8) =,9 euros IMPORTE (euros) CONSUMO (m ) y =,8 + 0, ( ) = 0, + 7, El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 7 km he pagado,8 euros y por 8 km,, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. Cuál es la función que nos indica el precio según los kilómetros recorridos? y =,8 + 0,09( 7) y (00) =,9 euros La función es: y =,8 + 0,09 ( 7) = 0,09, Página 9 La dosis de un medicamento es 0, g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máimo de g. Representa la función peso del paciente-cantidad de medicamento y halla su epresión analítica. y = 0, hasta un máimo de g: 0, = = 0 kg DOSIS (g) 0 y = 0, 0 < < PESO (kg) Unidad 0. Funciones elementales

23 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G = 000 +, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 0 0,0, también en miles de euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función Beneficio viene dada por la epresión: B = I G = 0 0,0 000 = 0, Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo. El máimo de la función se encuentra en el vértice: b 0 = = = a 0,0 El beneficio máimo se obtendrá para televisores. 7 Midiendo la temperaura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 80 m de ascenso el termómetro baja C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 0 C, cuál será la temperatura en la cima? Representa gráficamente la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. Haz una tabla de valores y represéntala. h T (h) = 0 ; T (800) =, C 80 TEMPERATURA ( C) ALTURA (m) 8 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, ]. Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? Unidad 0. Funciones elementales

24 a) ALTURA (m) TIEMPO (s) 80 metros. c) segundos. 9 El precio de venta de un artículo viene dado por la epresión p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 00 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? Representa la función Nº de artículos-ingresos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 00 artículos, su precio será: 0,0 00 = 7 cientos de euros Ingresos = INGRESOS I() = p = 0, Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máimos (0 000 euros). 0 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 0 euros? Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? Unidad 0. Funciones elementales

25 a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 0 euros cada uno; luego los ingresos serían de 0 90 = 0 00 euros. I () = (00 + 0) (00 ) = ( = decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = 0 euros a 0 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) euros y el precio de venta de una unidad es 0 / euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas. Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (0 /) euros. a) B () = 0 ( + + ) = + El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = Deben venderse unidades. Busca la epresión analítica de estas funciones: a) si a) f () = f () = si > si si > Representa la función y = y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: y = + si < si 8 0 Unidad 0. Funciones elementales

26 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = y = a) y = si < + si 8 0 y = + si < si 8 0 Representa las siguientes funciones: a) y = y = + c) y = d) y = a) c) d) Representa las siguientes funciones: a) y = y = + c) y = + d) y = Unidad 0. Funciones elementales

27 a) 8 c) d) 8 7 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. a) Representa la función tiempo-distancia. Busca su epresión analítica. a) DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 0 si 0 < 0 /0 ( 70) si 0 < 70 Página 70 8 Representa y define como funciones a trozos : a) y = y = + c) y = d) y = Mira el ejercicio resuelto número. Unidad 0. Funciones elementales 7

28 a) y = si < y = si si < + si a) 8 c) y = + si < d) y = si si < + si c) d) Dividendo resto 9 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir divisor divisor + la función y = de esta forma: + y = + + Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y hacia arriba. y = Unidad 0. Funciones elementales 8

29 y = Representa las funciones y =, y = utilizando el procedimiento del problema anterior. y = = + y = = Unidad 0. Funciones elementales 9

30 Con las funciones f () =, g() =, h() =, hemos obtenido, + por composición, estas otras: p () = q() = r() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p = g f q = f g r = h g Representa las funciones: a) y = + y = Utiliza la gráfica de y =. a) 0 8 y = + y = y = 0 8 y = y = y = Representa las siguientes funciones: a) y = y = ( ) + c) y = d) y = a) ( 0, ) 0 8 ( 0, 8) Unidad 0. Funciones elementales 0

31 c) d) y = 0 8 (0, ) De la función eponencial f () = ka conocemos f (0) = y f () = 0. Cuánto valen k y a? f (0) = = k f () = 0 0 = a a = La función es f () = Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = y = + a) = y ; = y ; log = y y = + log f () = + log = + y ; = y ; log ( ) = y f () = log ( ) Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = a, y = log a. Identifícalas e indica, en cada caso, si es a > o 0 < a <. ) ) ) ) Unidad 0. Funciones elementales

32 ) y = log a, 0 < a < ) y = a, 0 < a < ) y = log a, a > ) y = a, a > 7 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : a) y = + log y = log ( ) En, el dominio es (, + ). a) y = + log (, 0 ) y = + log y = log y = log ( ) = y = log y = log ( ) 8 Cuál es el dominio de esta función?: y = log ( ). Represéntala. Dominio: (, ) = Unidad 0. Funciones elementales

33 9 La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,) y (;,7). a) Calcula k y a. Representa la función. a) 0, = k a 0 0, = k,7 = k a,7 = k a k = 0, a =, La función es y = 0, (,) 0 Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo que costó 00 euros al cabo de un año cuesta 0 euros, la inflación ha sido del %. Suponiendo que la inflación se mantiene constante en el % anual, cuánto costará dentro de 7 años un terreno que hoy cuesta cinco mil euros? Para un capital C y una inflación del % durante años, el valor de ese capital será: Para = 7 años y C = 000 euros: C' = C (,0) C' = 000 (,0) 7 = 7 8 euros Página 7 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un % anual. a) Si empieza ganando euros anuales, cuánto ganará dentro de 0 años? Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo. a) (,0) ,8 euros,0 = años tardará en duplicarse. Unidad 0. Funciones elementales

34 Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas epresiones: a) y = arc sen 0,8 y = arc sen ( 0,9) c) y = arc cos 0, d) y = arc cos ( 0,7) e) y = arc tg, f ) y = arc tg ( 7) a) 0,9 rad 7' 8", rad 9' 9" c),0 rad 8 ' 9" d), rad 8 ' " e),9 rad 7 ' 7" f ), rad 8 ' " Obtén el valor de estas epresiones en grados, sin usar la calculadora: a) y = arc sen y = arc cos c) y = arc tg d) y = arc sen ( ) e) y = arc cos ( ) f) y = arc tg a) 0 0 c) d) 90 e) 0 f ) 0 Calcula en las siguientes epresiones: a) arc sen = arc cos = 0 c) arc tg = 7 d) arc sen = 7 π e) arc cos = rad f ) arc tg =, rad a) c),078 d) 0,9 e) f ),0 CUESTIONES TEÓRICAS Si f () = y g() = log, cuál es la función (f g) ()? (g f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = Unidad 0. Funciones elementales

35 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del _er cuadrante. f () = ( ), 8 y = ( ), y = y = Dada la función y = a, contesta: a) Puede ser negativa la y? la? Para qué valores de a es creciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? a) La y no puede ser negativa, la sí. a > c) (0, ) d) Para < 0. 8 Una parábola corta al eje de abscisas en = y en =. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? y = k ( ) ( ) = k ( + ) Vértice = = y () = k = k = La ecuación es: y = ( + ) = + PARA PROFUNDIZAR 9 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: + a) y = y = 9 Unidad 0. Funciones elementales

36 + 0 > > 0 + a) 0 Dominio = (, ] U (, + ) + 0 < > 0 0 Dominio = (, 0) U [9, + ) 9 0 < 0 < 0 70 Representa y define como funciones a trozos : a) y = y = c) y = + d) y = + si < a) y = + si y = si > si <, + + si,, si >, a) ( /) si < c) y = ( /) + si d) y = ( /) si > + si <,7 + si,7 0,7 + si > 0,7 c) d) Unidad 0. Funciones elementales

37 7 Representa estas funciones y eprésalas en intervalos: a) y = y = si 0 a) y = y = + si < 0 si 0 si 0 < < si 7 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). Obtén la epresión analítica. a) INGRESOS CARGA (t) f () = Es decir: 0 si 0 0 [0 ( 0)] si 0 < 0 f () = 0 si si 0 < 0 Unidad 0. Funciones elementales 7

38 PARA PENSAR UN POCO MÁS 7 En una piscina hay un trampolín a 8 m del agua. Un nadador se lanza tomando impulso y elevándose m antes de empezar a caer. El nadador alcanza el agua a 8 m del borde del trampolín. 8 m 8 m a) Si tomamos como origen de coordenadas la proyección del etremo del trampolín sobre el agua y el vértice de la parábola es (a,, cuánto vale b? La ecuación del movimiento es y = k ( α) + 9. Justifícala y halla k y α. a) b = 8 + = 9 El vértice es (α, 9), por eso la ecuación es y = k ( α) + 9. Como y (0) = 8 8 = k α + 9 Como y (8) = 0 0 = k (8 α) + 9 k = /α k = 9/(8 α) = 9 (8 α) = 9α 8α + α = 0 α (8 α) α k = / + α 8 = 0 α = (vemos por la gráfica que no vale) La ecuación será, por tanto: y = ( ) + 9 Unidad 0. Funciones elementales 8