Resuelve. Unidad 10. Funciones elementales. BACHILLERATO Matemáticas I. Familias de funciones. Página 247

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1 Unidad 0. Funciones elementales Resuelve Página 7 Familias de funciones a conoces muchas familias de funciones: sus nombres, cómo son sus epresiones analíticas y qué forma tienen sus gráficas. Asocia cada nombre de familia con su representación gráfica y con su epresión analítica general.. F. cuadrática. F. raíz. F. de proporcionalidad inversa. F. eponencial 5. F. logarítmica A B C D E I. y = II. y = III. y = IV. y = log V. y = 8 C 8 III 8 E 8 I 8 A 8 V 8 D 8 II 5 8 B 8 IV

2 Unidad 0. Funciones elementales Las funciones y su estudio Página 9 Verdadero o falso? a) El dominio de definición de una función nunca puede ser Á. b) El dominio de definición de y = es [0, + ). c) El dominio de definición de y = es (, 0]. a) Falso. Por ejemplo, el dominio de la función cuadrática f () = + 5 es. b) Verdadero. Siempre que 0 la función está definida. c) Verdadero. Cuando 0, se tiene que 0 y la función está definida correctamente. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = h) y = i) y = j) y = k) y = + l) y = m) y = n) y = ñ) y = o) y = + + p) El área de un círculo de radio variable, r, es A = πr. a) Para que esté definida debe ocurrir que 0. Ahora resolvemos la inecuación y se tiene que Dom = (, ] «[, + ). b) [, + ) c) (, ] d) [, ] e) La raíz cúbica está definida independientemente del signo del radicando. Como este es un polinomio de.º grado, también está siempre definido. Por tanto, el dominio de la función es. f) (, ) «(, + ) g) Por un lado, para que se pueda definir la raíz. Pero, además, para que no se produzca una división entre 0. Por tanto, Dom = (, + ). h) Razonando de forma análoga al apartado anterior, y. El dominio de definición es Dom = (, ). i) En esta ocasión la raíz cúbica siempre está definida, pero para que lo esté el cociente, el denominador no puede ser 0. = 0 8 =, = y el dominio de definición es Dom = {, } j) Por una parte, 0, que ocurre siempre que esté en (, ] «[, + ). Pero no puede ser ni ni para no dividir entre 0. Luego el dominio es Dom = (, ) «(, + ). k) Su dominio es, ya que siempre está definida. l) {0} m) {0} n) {, } ñ) Como la ecuación + = 0 no tiene solución, el dominio de definición es Dom =. o) La ecuación + = 0 tiene una única solución, =. Luego el domino es Dom = { }. p) Por el conteto de la función, estará definida en (0, + ) ya que el radio es siempre un número positivo.

3 Unidad 0. Funciones elementales Familias de funciones elementales Página 5 Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación. A B C D (, π) 0 5 E F G H 0 (5, ) (, ) 5 I J K L lineales cuadráticas proporcionalidad inversa L y = C y = PI y = radicales R y = + E y = eponenciales L y = ( ) + 5 C y = ( + ) ( + 5) PI y = R y = + E y = 0,5 L + y = 0 C y =, > 0 PI y = R y = E y = ,95 L y = + C y = π, > 0 PI y =, > 0 R y = + E y = A 8 L B 8 R C 8 L D 8 C E 8 PI F 8 E G 8 C H 8 E I 8 L J 8 PI K 8 PI L 8 R Cada uno de los siguientes enunciados se corresponde con una gráfica de entre las del ejercicio anterior. Identifícala.. Superficie, en centímetros cuadrados, de un círculo. Radio, en centímetros.. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros.. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 00 C. Tiempo, en minutos.. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una. 5. Longitud de un muelle, en decímetros. Mide dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga.. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es de cm.. D. E. F. H 5. A. J

4 Unidad 0. Funciones elementales Verdadero o falso? a) En una función cuadrática y = a + b + c, cuanto mayor es a, más ancha es la parábola que la representa. b) Las gráficas de y = 5 + b + c son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas. c) Todas las parábolas de ecuación y = a + c tienen su vértice en el punto de abscisa = 0. a) Falso. Por ejemplo, la función cuadrática y = es más estrecha que la función y =. b) Verdadero. Como la anchura de la parábola está determinada por el término de, los otros solo influyen en la posición de la parábola respecto de los ejes de coordenadas. c) Verdadero. Como no tiene término en, la abscisa del vértice es 0 = 0. a Verdadero o falso? a) Las funciones y = k se representan mediante medias parábolas con el eje paralelo al eje. b) El dominio de definición de y = a + b es [ b, + ). c) Los ejes e son asíntotas de las funciones y = k. d) El dominio de definición de y = k es Á {k}. a + a) Falso. El eje de estas medias parábolas es el eje. b) Verdadero. La función está definida si + b 0, es decir, si b. Por tanto, el dominio de definición es el intervalo dado. c) Verdadero. d) Falso. La función no está definida si a + = 0 8 = a. El dominio de definición es Á { a}.

5 Unidad 0. Funciones elementales Funciones definidas "a trozos" Página 5 Representa esta función: f () = + + * é[ 0, ) é[ 0, ] é( 7, ) Haz la representación gráfica de la siguiente función: + g () = ) si si < Escribe la epresión analítica que corresponde a la siguiente gráfica: Primer tramo: Recta que pasa por los puntos (, ) y (, ). La pendiente es Segundo tramo: y = Tercer tramo: ( ) = y la ecuación es y ( ) = ( ( )). ( ) Pertenece a una recta que pasa por (0, ) y (, ). ( ) La pendiente es = y la ecuación es y ( ) =. 0 Cuarto tramo: y = Z ] + si < ] f () = [ si < ] si < ] si \ 5

6 Unidad 0. Funciones elementales Página 55 Practica Ent (7,5) = 7 Ent ( ) = Ent ( 5,) = atención! Continúa: Ent (,8) Ent (7) Ent (,9) Ent (,) Ent ( 8) Ent (,8) = Ent (7) = 7 Ent (, 9) = Ent (, ) = Ent ( 8) = 8 Practica Mant (7,8) = 0,8 Mant ( 8) = 0 Mant ( 7,8) = 0, Continúa: Mant (,79) Mant (,9) Mant () Mant (,80) Mant (,79) = 0,79 Mant (,9) = 0,0 Mant () = 0 Mant (,80) = 0,9 Verdadero o falso? a) La gráfica roja corresponde a la función y = Ent b l. b) La gráfica verde corresponde a la función y = 5 + Ent b l. 5 a) Verdadero. b) Falso. La gráfica verdes es y = 5 Ent b l 8 5 Representa: a) y = Ent () + b) y = Ent ( + 0,5) a) y = Ent ( + ) b) y = Ent ( + 0,5)

7 Unidad 0. Funciones elementales Verdadero o falso? a) La gráfica roja corresponde a y = Mant b l. b) La gráfica roja corresponde a y = Mant (). 5 c) La gráfica verde corresponde a y = 5 Mant b l. a) Verdadero b) Falso c) Verdadero 8 7 Representa: a) y = Mant () 0,5 b) y = Mant () 0,5 a) y = Mant ( 0,5) b) y = Mant () 0,5 7

8 Unidad 0. Funciones elementales Transformaciones elementales de funciones Página 5 Representa sucesivamente: a) y = b) y = + c) y = + d) y = a) b) Se obtiene desplazando la gráfica anterior tres unidades a la izquierda. c) Es la simétrica de la anterior respecto del eje. d) Es igual a la anterior trasladándola 8 unidades hacia arriba

9 Unidad 0. Funciones elementales Página 57 Si y = f () pasa por (, 8), di un punto de: y = f (), y = f ( + ), y = f (), y = f (), y = f (), y = f ( ), y = f ( ) + y = f () 8 (, ) y = f ( + ) 8 (, 8) y = f () 8 (, ) y = f () 8 (, ) y = f () 8 (, 8) y = f ( ) 8 (, 8) y = f ( ) + 8 (, ) Representa: a) y = + 8 b) y = + 0 a) Representamos y = 8 y = y = y = + 8 y = y = y = y = b) Representamos y = 8 y = 8 y = ( 0) 9 9 y = y = y =

10 Unidad 0. Funciones elementales 5 Composición de funciones Página 58 Si f () = 5 + y g () =, obtén las epresiones de f [ g ()] y g [ f ()]. Halla f [ g ()] y g [ f ()]. f [g ()] = f [ ] = 5 + g [ f ()] = g [ 5 + ] = ( 5 + ) f [g ()] = 79; g [f ()] = Si f () = sen y g () = + π, obtén las epresiones de f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y = π/. f g () = f [g ()] = f b+ πl= sen b + πl g f () = g [f ( )] = g (sen ) = sen + π f f () = f [f ()] = f (sen ) = sen (sen ) g g () = g [g ()] = g b+ π l= + π + π = + π f g (0) = sen π = g f (0) = sen 0 + π = π f f (0) = sen (sen 0) = 0 g g (0) = 0 + π = π f g bπ l = sen π π b + l= g f bπ l = π π + π sen + = f f bπ l = senbsen π l = 0,5 g g bπ l = π + π = 5π 0

11 Unidad 0. Funciones elementales Función inversa o recíproca de otra Página 59 Verdadero o falso? a) La función recíproca de y = es y =. b) Cada una de las funciones y =, y = es recíproca de sí misma. c) La inversa de y = 9, [, 9] es y = 9, [, ]. d) Si una función es creciente, su recíproca es decreciente. a) Falso. Las gráficas de esas funciones no son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, puesto que una es recta y la otra es curva. b) Verdadero. Si f () = y calculamos f f () = f [f ()] = f () =, vemos que f es recíproca de sí misma. Análogamente, si g () = y calculamos g g () = g [g ()] = g c m = =, vemos que g es / recíproca de sí misma. c) Verdadero. Podemos comprobarlo en el gráfico. La gráfica verde es simétrica, respecto de la bisectriz del primer cuadrante, de la gráfica roja. d) Falso. Por ejemplo, la recíproca de la función f () =, 0, es la función f () =, 0, y ambas son crecientes. Representa y =, y = y comprueba que son inversas. y = y = y = / Comprueba que hay que descomponer y = en dos ramas para hallar sus inversas. Averigua cuáles son. a) y = si 0 b) y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + y = +

12 Unidad 0. Funciones elementales Comprueba que la función recíproca de y = + es y =. Llamemos f () = + y g () = f g () = f [g ()] = f c m= c m+ = g f () = g [f ()] = g ( + ) = ( + ) = Luego g = f. Página 0 5 Verdadero o falso? La función recíproca de y =, > 0 es y = log, >. Falso. La función recíproca de y =, > 0 es y = log, > 0. Halla la función recíproca de: y = log, [8, ] La función recíproca es y =, é [, 5].

13 Unidad 0. Funciones elementales 7 Funciones arco Página Verdadero o falso? a) La función y = arc tg, (, + ) es la recíproca de la función y = tg, b π, π l. b) En las calculadoras científicas (tienen que estar puestas en modo rad), las funciones sin, cos, tan responden eactamente (coinciden) con las funciones arc sen, arc cos y arc tg. a) Verdadero. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. b) Verdadero. Los valores que da la calculadora están en los intervalos correspondientes de cada una de las funciones.

14 Unidad 0. Funciones elementales Ejercicios y problemas resueltos Página. Ecuación y representación de una parábola Hazlo tú. Escribe la ecuación de la parábola que tiene el vértice en (, ) y pasa por el punto (, ). Si la parábola es y = a + b + c tenemos que: b = 8 b = a a Por otro lado: = a + b + c 8 = a + b + c = a + b + c 8 = 9a + b + c Resolvemos el sistema: Z b= a ] [ = a+ b+ c 8 a =, b =, c = 0 8 y = ] = 9a+ b+ c \ Página. Función "parte entera" Hazlo tú. Representa la función f () = Ent (). Esta gráfica es como la de la función parte entera, pero contraída a la mitad en el sentido del eje horizontal.. Valor absoluto de una función Hazlo tú. Define por intervalos y representa: a) f () = 5 b) f () = a) La parábola y = 5 tiene su vértice en el punto (, 9). Es negativa entre y 5. Luego en ese intervalo su gráfica es f (). Z 5 si ] 9 f () = [ si < 5 8 ] 7 5 si 5< \ 5 5

15 Unidad 0. Funciones elementales b) Por la definición de la función valor absoluto: ( ) si < 0 si < 0 f () = * = * si 0 0 si 0 Página 5 5. Composición y función inversa Hazlo tú. Halla g f y f g, siendo f () = 5 y g () =. 5 g f () = g [f ()] = g ( 5) = = f g () = f [g ()] = f ( ) = 5 = 5. Representación de hipérbolas Hazlo tú. Representa la función y = + 7. y = + 7 = + (efectuando la división entre el numerador y el denominador). Por tanto, la gráfica es como la de y = desplazándola unidades hacia abajo y unidades a la derecha. 5

16 Unidad 0. Funciones elementales Ejercicios y problemas guiados Página. Interpolación lineal El porcentaje de hogares españoles que tenían teléfono móvil era, en 00, del 80,5 y en 009, del 88,. Estimar el porcentaje que había en , 805, La pendiente de la recta es =,57. Por tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (00; 80,5) y B (009; 88,) es: y 80,5 =,57( 00) 8 y =,57( 00) + 80,5 8 y =,57 507,9 Si = 08 8 y =, ,9 = 85,. Una función cuadrática Los costes de producción de un cierto producto (en euros) de una empresa, vienen dados por: C = q + q siendo q el número de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad es de 50 euros. a) Epresar en función de q el beneficio de la empresa y representarlo gráficamente. b) Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máimo? a) B (q) = 50q ( q + q ) = q + 500q b) El beneficio es máimo en el vértice de la parábola anterior, ya que tiene las ramas hacia abajo. La abscisa del vértice es 500 = 50 y el beneficio será: B (50) = = 500. Una función polinómica Considerar todos los conos cuya generatriz mide 5 cm. a) Escribir la función que nos da el volumen del cono según lo que mide su altura,. b) Cuál es su dominio de definición? a) Usando el teorema de Pitágoras tenemos que: R = 5 = 5 ( ) Luego V () = 5 5 π π ` j = b) La altura es un número positivo que no puede ser mayor que la generatriz. Por tanto, el dominio de definición de V () es Dom = (0, 5).. Función logística La función f () = 000 da las ventas totales de un videojuego días después de su lanzamiento. En qué día se llegó a 000 juegos + 99( 09, ) vendidos? Tenemos que hallar el valor de tal que: 000 = = + 99(, ( 09, ) 000 ) 8 = 99(,09 ) 8 =,09 99 Tomando logaritmos y despejando: log 99 = 8 = 7 días log 09,

17 Unidad 0. Funciones elementales Ejercicios y problemas propuestos Página 7 Para practicar Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = ` + 5j b) y = + + c) y = + d) y = + + a) La función no está definida cuando = 5. Su dominio es Dom = { 5}. b) + = 0, tiene como única solución = 0. El dominio es Dom = {0}. c) La función no está definida cuando + = 0, que no tiene solución. Por tanto, el dominio es Dom =. d) Las fracciones no se pueden evaluar ni en = 0 ni en =. El dominio es Dom = {, 0}. Estudia el dominio de definición de estas funciones: a) y = + 5 b) y = 7 c) y = + + d) y = + a) Para que esté definida debe ser + 5 0, cuya solución es < 5, + m. Su dominio es este intervalo, Dom = < 5, + m. b) En este caso 7. El dominio de definición es Dom = (, 7]. c) Dom = d) Para que ambas raíces eistan simultáneamente debe cumplirse a la vez que y. El dominio es Dom = [, + ). Di cuál es el dominio de definición de: a) y = + b) y = log ( + ) c) y = ln ( ) d) y = a) Su dominio es porque la función eponencial siempre está definida. b) Para que eista el logaritmo, su argumento debe ser positivo. Por tanto, + > 0 y el dominio es Dom = (, + ). c) Análogamente al caso anterior, <. Su dominio es Dom = (, ). d) La función eponencial siempre toma valores positivos. Por tanto, la raíz siempre se puede evaluar y el dominio de definición de esta función es Dom =. 7

18 Unidad 0. Funciones elementales Observa las gráficas de estas funciones e indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: a) b) c) d) a) Dominio: [, ] Recorrido: [, ] b) Dominio: (, ] Recorrido: [0, + ) c) Dominio: {, } Recorrido: d) Dominio: [, 5] Recorrido: [, ] 5 La función h(t) = 80 + t t nos da la altura a la que está una pelota lanzada hacia arriba en el instante t, hasta que vuelve al suelo. Cuál es su dominio de definición? Necesitamos calcular el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Para ello es necesario resolver la ecuación: 80 + t t = 0, que tiene una solución posible, t = 5. Como el tiempo no puede ser negativo, el dominio es Dom = [0, 5]. Escribe el área de este rectángulo de perímetro cm en función de su base. 8 Cuál es el dominio de definición de esa función? su recorrido? La función área es A () = (8 ) = 8, que es un función cuadrática. Su dominio es Dom = (0, 8). El valor máimo lo alcanza en el vértice, cuya abscisa es el recorrido de la función es el intervalo (0, ]. 8 =. Este valor es A() =. Por tanto, 7 La temperatura de un paciente, desde que comienza su enfermedad hasta que vuelve a tener 7 C ha evolucionado según la función T = 0,t +,t + 7, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la enfermedad. Cuál es su dominio de definición? su recorrido? Calculamos los días en los que tiene 7 C. 0,t +,t + 7 = 7 8 t = 0, t = Es decir, a los días vuelve a tener 7 C de temperatura. El dominio es el intervalo [0, ]. Como se trata de una función cuadrática con las ramas hacia abajo, el valor máimo lo alcanza en el, vértice, cuya abscisa es =. 0, La temperatura máima es 0, +, + 7 = 0, C. En consecuencia, el recorrido es el intervalo [7; 0,]. 8

19 Unidad 0. Funciones elementales Funciones elementales 8 Asocia a cada gráfica su epresión analítica. a) y =,5 b) y = + c) y = d) y = e) y = + 5 f ) y = 0,75 I III II IV g) y = log h) y = a) VIII b) IV c) VII d) I e) II V 8 VI f) V VII VIII 8 g) VI h) III 9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = + + b) y = 0,5 + c) y = + 5 d) y =,5 a) Vértice: (, 0) Cortes con los ejes: (, 0), (0, ) b) Vértice: abscisa = = ; ordenada = 0,5 + = Corte con el eje vertical: = 0 8 y = Corte con el eje horizontal: y = 0 8 0,5 + = = ± = ± 8 = + ; = 9

20 Unidad 0. Funciones elementales c) Vértice: c, m Cortes con los ejes: ( 5, 0) d) Vértice: abscisa = = ; ordenada =,5 ( ) ( ) = 0,5 Corte con el eje vertical: = 0 8 y = Corte con el eje horizontal: y = 0 8,5 ± 9 = 0 8 = No corta al eje horizontal. Podemos evaluar ahora en algún punto cercano al vértice; por ejemplo, (, ), (0, ). 0 Representa estas funciones en el intervalo indicado: a) y =, [0, ] b) y =, c) y =, < 0 d) y = 0,, [, ] e) y = log, (0, 7] f ) y =, [0, ] a) y =, [0, ] b) y =, c) y =, < 0 d) y = 0,, [, ] Se trata de una rama de la función de proporcionalidad inversa y su gráfica es: Es una función eponencial con base menor que. Mediante una tabla de valores obtenemos: y 0,,7 0, 0, 0

21 Unidad 0. Funciones elementales e) y = log, (0, 7] f ) y =, [0, ] Es un fragmento de la función logaritmo en base. Página 8 Funciones definidas "a trozos" Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 a) y = * si 0 < b) y = ) si + si > c) y = * si a) si si < b) Construimos una tabla de valores para cada recta y obtenemos la gráfica. c) Hallamos el vértice de la parábola, (, ), y los puntos de corte, (0, 0) y (, 0) (primer trozo). Construimos una tabla de valores para el segundo trozo y obtenemos:

22 Unidad 0. Funciones elementales Representa. / si < 0 a) y = * si 0 b) y = * + si si si < < 7 7 a) Está formada por dos trozos de funciones ya representadas en ocasiones anteriores. b) 8 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: si si < a) y = * b) y = * c) y = si > si * si si < < si a) b) c) Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: + 5 y = ) 5 si si <

23 Unidad 0. Funciones elementales 5 Representa las siguientes funciones y defínelas como funciones a trozos : a) y = b) y = + c) y = d) y = a) b) 8 0 c) d) Representa estas funciones: a) y = b) y = c) y = + d) y = + a) b) 5 c) d) 5 7 Representa. a) y = b) y = log c) y = d) y = + La función valor absoluto de f () mantiene la parte positiva de la gráfica y convierte la parte negativa de f () en f (), es decir, en la simétrica de f () respecto del eje horizontal. a)

24 Unidad 0. Funciones elementales b) 8 c) y = Z ] si < 0 = [ = ] si > 0 \ si < 0 * si > 0 ( ) + si < 0 si < 0 d) y = + = * = * + si 0 si 0 Transformaciones de una función 8 Representa f () = y, a partir de ella, representa: a) g () = f () b) h() = f ( + ) f () = a) b)

25 Unidad 0. Funciones elementales 9 Esta es la gráfica de la función y = f (): Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f ( ) b) y = f () + a) b) 0 A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g () = f () b) h() = f ( ) c) i() = f () d) j() = f () a) f () = g () = f () b) c) h() = f ( ) i () = f () d) j() = f () 5

26 Unidad 0. Funciones elementales Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: a) g () = f ( + ) b) h() = f () f () = a) g () = + b) h() = Representa las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = a) b) c) d)

27 Unidad 0. Funciones elementales Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = + d) y = a) b) 8 c) d) 8 Representa estas funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = c m + e) y = f ) y = a) 0 8 y = + y = y = b) 0 8 y = y = y = c) d) ( 0, ) 0 8 ( 0, 8) e) f) 5 y = 0 8 (0, ) 7

28 Unidad 0. Funciones elementales 5 Representa las siguientes funciones a partir de la gráfica de y = log : a) y = + log b) y = log ( ) c) y = log d) y = log ( ) a) (, 0 ) y = + log y = log 5 b) = y = log 5 y = log ( ) c) y = log 5 y = log d) y = log ( ) = y = log 5 5 La epresión analítica de esta función es del tipo y = a Observa la gráfica y di el valor de a y b. a = b = + b. 8

29 Unidad 0. Funciones elementales Página 9 Composición y función inversa 7 Dadas las funciones obtén las epresiones de: f () = + g () = a) f g b) g f c) f h h() = d) g h e) h f f ) h g Halla, si es posible, el valor de las funciones obtenidas en = 5 y en = 0. a) f g () = f [g ()] = f 9 c m= c m + = + = + ( ) ( ) f g (5) = = ( 5 ) f g (0) = = ( 0 ) b) g f () = g [ f ()] = g ( + ) = = + g f (5) = = 5 8 g f (0) = = 0 c) f h() = f [h()] = f ( ) = + = f h(5) = 5 = f h(0) = 0 = d) g h() = g [h()] = g ( ) = g h(5) = = 5 g h(0) no eiste. e) h f () = h [f ()] = h ( + ) = + = h f (5) = 5 = h f (0) no eiste. f) h g () = h [g()] = h c m= = + 9 h g(5) no eiste. h g (0) no eiste. 9

30 Unidad 0. Funciones elementales 8 Eplica cómo a partir de las funciones se pueden obtener estas otras: a) m() = + b) n() = + c) p() = + d) q() = e) r () = f ) s () = f () = g () = + h() = + + a) m () = f g() = f [g ()] = f ( + ) = = b) n () = g f () = g [f ()] = g ( ) = + c) p () = g h () = g [h ()] = g c m= + d) q () = f h () = f [h ()] = f c m = = e) r () = h g() = h [g()] = h ( + ) = = + f) s () = h g f () = h g [f ()] = h g ( )] = h ( + ) = = + 9 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = b) y = + c) y = + d) y = + e) y = + log f ) y =, 0 a) y = 8 = y 8 y = + b) y = + 8 = y + 8 y = c) y = + 8 = y + 8 y = d) y = + 8 = + y 8 y = log ( ) e) y = + log 8 = + log y 8 y = f) y =, > 0 8 = y 8 y =, 0

31 Unidad 0. Funciones elementales 0 Representa gráficamente la función inversa en cada caso: a) b) c) Hacemos una simetría respecto de la bisectriz del primer cuadrante para dibujar la función inversa. a) b) c) Comprueba si cada par de funciones son una inversa de la otra. Para ello calcula f f o bien f f : a) f () = + ; f () = b) f () = + ; f () = + c) f () = + log ; f () = a) f f () = f [f ()] = f c m = = + b) f f () = f + + f ()] = f ( + ) = = + 5 En este caso no es verdad que las funciones sean recíprocas. f es incorrecta. c) f f () = f [f ()] = f b+ log log[( /) ] log( /) l = + = = =

32 Unidad 0. Funciones elementales Considera la función y = +, [, 7]. a) Cuál es su recorrido? b) Obtén su función inversa, y determina el dominio de definición y el recorrido de esta. a) Como la función es creciente, calculamos los valores en los etremos del intervalo. = 8 y = + = 0 = 7 8 y = 7+ = El recorrido es el intervalo [0, ]. b) y = + 8 = y + 8 y =, é [0, ] es la función inversa. Su dominio es el intervalo [0, ] y el recorrido es el intervalo [, 7]. Para resolver Obtén la epresión analítica de las siguientes funciones: a) b) c) d) a) Primer tramo: Función lineal con pendiente y ordenada en el origen, luego la epresión es y = +. Segundo tramo: y = 8 Tercer tramo: Función lineal que pasa por los puntos (8, 8) y (0, 0). Su pendiente es 0 8 =. 0 8 La epresión es y 8 = ( 8) 8 y = 0 Z + si 0 ] f () = [ 8 si < 8 ] 0 si 8< 0 \ b) Primer tramo: y = Segundo tramo: Función lineal con pendiente y ordenada en el origen, luego la epresión es y = +. f () = si 0 + si 0 < * si c) f () = * si > d) f () = * si si >

33 Unidad 0. Funciones elementales Representa las siguientes funciones partiendo de una más sencilla y realizando transformaciones sobre ella: a) y = b) y = c) y = + d) y = + + a) y = = + b) y = = c) y = + = + d) y = + = La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). a) Calcula k y a. b) Representa la función. a) 05, = k a0 7, = k a b) 05, = k 7, = k a La función es y = 0,5 (,) k = 05, 8 a =,

34 Unidad 0. Funciones elementales Determina, en cada caso, la ecuación de la parábola de la que conocemos el vértice y otro punto. a) V(, ), P(, 0) b) V(, ), P(0, ) a) Si la parábola es y = a + b + c tenemos que: V (, ) 8 b = 8 a b = a = a + b + c 8 = a+ b+ c * P (, 0) 8 0 = a ( ) + b ( ) + c 8 0 = a b + c Z b= a ] [ = a+ b+ c ] 0 = a b+ c \ La solución del sistema es: a =, b =, c =. La parábola buscada es y =. b) Si la parábola es y = a + b + c, tenemos que: V (, ) 8 b = 8 a b = a = a ( ) + b ( ) + c 8 = a b+ c * P (0, ) 8 = a 0 + b 0 + c 8 = c Z b= a ] [ = a b+ c ] c = \ La solución del sistema es: a =, b =, c =. La parábola buscada es y = Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas epresiones: a) y = arc sen 0,8 b) y = arc sen ( 0,9) c) y = arc cos 0, d) y = arc cos ( 0,75) e) y = arc tg,5 f ) y = arc tg ( 7) a) 0,9 rad 8 5 7' 8'' b), rad 8 9' 9'' c),0 rad 8 8 5' 59'' d), rad 8 8 5' 5'' e),9 rad 8 7 ' 7'' f), rad 8 8 5' '' 8 Obtén el valor de y en grados, sin usar la calculadora: a) y = arc sen b) y = arc cos c) y = arc tg d) y = arc sen ( ) e) y = arc cos c m f ) y = arc tg a) 0 b) 0 c) 5 d) 90 e) 0 f) 0

35 Unidad 0. Funciones elementales 9 Calcula en radianes. a) arc sen bsen π l b) arc cos (cos π) c) arc tg btg π l 5 d) tg (arc tg ) e) sen (arc cos ( )) f ) arc cos (tg π) a) arc sen bsen πl = π b) arc cos (cos π) = π c) arc tg btg πl= π 5 5 d) tg (arc tg ) = e) sen (arc cos ( )) = 0 f) arc cos (tg π) = π Página 70 0 En un triángulo equilátero de 0 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos equiláteros de lado. Escribe el área del heágono que resulta en función de. Cuál es el dominio de definición de esa función? su recorrido? C 0 cm A 0 cm B La altura del triángulo de lado 0 es 0sen 0 = 5. La altura del triángulo de lado es sen 0 =. El área del heágono es igual al área del triángulo de lado 0 menos veces el área del triángulo de lado, es decir: 0 5 A () = = 5 = c5 m El dominio es el intervalo (0, 5) porque debe ser positivo y menor que la mitad del lado para que se pueda construir el heágono. El recorrido es el intervalo e 5, 5 o. Se quiere hacer una ventana con forma de rectángulo añadiéndole un semicírculo sobre el lado menor, en la parte superior. Si el perímetro del rectángulo es 8 m, escribe el área de la ventana en función del lado menor del rectángulo. Di cuál es su dominio y su recorrido. Si llamamos al lado menor, el lado mayor es para que el perímetro del rectángulo sea 8. El radio del semicírculo es. Por tanto, el área de la ventana es: A () = ( ) + π ( / ) = ( ) + π 8 = b π l 8 + El dominio de la función es el intervalo (0, ) por ser el lado menor y tener el rectángulo un perímetro de 8 m. A (0) = 0 A () = ( ) + π 8 = π + El recorrido es el intervalo (0, π + ). 5

36 Unidad 0. Funciones elementales En las funciones de oferta y demanda, se llama cantidad de equilibrio al número de unidades que hay que producir para que la oferta y la demanda se igualen, o () = d (); y se llama precio de equilibrio al precio con el cual se consigue esa igualdad. a) Halla el precio y la cantidad de equilibrio de un producto cuyas funciones de oferta y demanda son o () =,5 00 y d () = 00,5 ( en euros, d y o en miles de unidades del producto). b) Si el precio del producto es de 80, habrá escasez o eceso del mismo? si el precio fuese de 0? c) Cuál sería el precio y la cantidad de equilibrio si las funciones de oferta y demanda fuesen o () = 0,5 00 y d () = 85? a) o () = d () 8,5 00 = 00,5 8 = 00 es el precio de equilibrio. La cantidad de equilibrio es o (00) = d (00) = 00,5 00 = 50 miles de unidades. b) Si = 80, hay escasez, porque la demanda supera a la oferta. En efecto: o (80) =, = 00 d (80) = 00,5 80 = 80 Si = 0, hay eceso, porque la oferta supera a la demanda. En efecto: o (80) =, = 00 d (80) = 00,5 0 = 0 c) o () = d () 8 0,5 00 = 85 da lugar a una única solución posible: = 0. La dosis de un fármaco comienza con 0 mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a 0 mg. Se debe seguir 5 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo mg cada día. a) Representa la función que describe este enunciado y determina su epresión analítica. b) Di cuál es su dominio y su recorrido. a) En el 5.º día la dosis alcanza los 0 mg y este ya es el primero de los 5 días de tratamiento con la dosis máima. Por tanto, el 9.º día es el último que toma 0 mg Z 0 + si 0 5 ] La epresión es f () = [ 0 si 5< 9 ] 9 si 9 < \ b) El dominio es el intervlao [0, ]. El recorrido es el intervalo [0, 0].

37 Unidad 0. Funciones elementales En un cilindro de radio 8 cm, depositamos una bola esférica de radio y echamos agua hasta que cubra la bola. Escribe la función que da la cantidad de agua que hay que echar según la medida del radio de la bola. Cuál es su dominio de definición? Como la bola tiene radio, la altura del agua es. El volumen del agua es el volumen de un cilindro de radio 8 y altura menos el volumen de una esfera de radio. 8 cm V () = π 8 π = 8π π = π e El dominio de definición es el intervalo (0, 8), ya que la bola no puede tener un radio de 8 cm. 5 En una pared de dimensiones m m se quieren abrir dos ventanas cuadradas de lado. o m m a) Epresa el área que queda de pared, una vez hechas las ventanas, en función de. b) Cuál es su dominio de definición? a) El área es A () = 8. b) El dominio de definición es el intervalo (0, ). Una feria ganadera está abierta al público entre las 0 y las 0 horas. El número de visitantes viene dado por la función N (t) = 0t + Bt + C, donde t es la hora de visita. Sabiendo que a las 7 h se alcanza el máimo de 500 visitantes, halla B y C y representa la función. Como la función N (t ) es una parábola con las ramas hacia abajo, el número máimo se alcanza en el vértice de la parábola, luego: B = 7 8 B = 80 8 N (t ) = 0t + 80t + C ( 0) Como a las 7 h la feria tiene 500 visitantes, se tiene que: 500 = C 8 C = 80 La función es N (t ) = 0t + 80t 80 Para representar la función calculamos N (0) = 50 y N (0) = 0. El vértice y estos dos puntos son suficientes para construir la gráfica

38 Unidad 0. Funciones elementales 7 El coste de producción de unidades de un producto es igual a (/) euros y el precio de venta de una unidad es 50 (/) euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas, y represéntala. b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. a) B () = 50 c m= b) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = 5 = 5. Deben venderse 5 unidades. 8 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá electrodomésticos menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máimos? a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = 0500 euros. b) I () = (00 + 0) (00 ) = (, en decenas de euros) c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = b = 00 = euros a 0 9 En un cuarto de circunferencia de 0 cm de radio tomamos un punto M y M construimos el triángulo rectángulo OMH. O 0 cm H Epresa el área de ese triángulo según la medida del cateto. Cuál es su dominio de definición? Utilizando el teorema de Pitágoras, MH = El área del triángulo es la función A () = la construcción tenga sentido y su dominio es el intervalo (0, 0) para que 50 Un cultivo de bacterias comienza con 00 células. Media hora después hay 5. Si ese cultivo sigue un crecimiento eponencial del tipo y = ka t (t en minutos), calcula k y a y representa la función. Cuánto tardará en llegar a bacterias? y = ka t t = 0, y = = k a 0 8 k = 00 t = 0, y = = 00 a 0 8 a 0 =,5 8 La función es y = 00,05. 8 a =,5 /0 8 a,05 Si y = = 00,05 50 =,05 log 50 8 = 80 min log 05, Tardará 80 minutos, aproimadamente N.º BACTERIAS TIEMPO (min) 8

39 Unidad 0. Funciones elementales 5 Un negocio en el que invertimos 0 000, pierde un % mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mitad? y = ,9 CAPITAL ( ) TIEMPO (meses) Si y = = ,9 0,9 = 0,5 8 = log 05,,98 meses log 09, Tardará 7 meses, aproimadamente. 5 Una taza de café recién hecho está a 75 C. Después de minutos en una habitación a C, la temperatura del café ha descendido a C. Si la temperatura, T, del café en cada instante t viene dada por la epresión T = A e kt +, calcula A y k y representa la función. Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea de 5 C? Por los datos del problema, la función temperatura pasa por los puntos (0, 75) y (, ), luego: 75 = A e k A = 5 = 5 e k + 8 e k =,, 8 k ln 0 79 = 0 79 =, 5 = 0 07 Por tanto, T = 5 e 0,07t Si la temperatura del café es de 5, entonces: 5 = 5 e 0,07t + 8 e 0,07t =,, 8 t ln 0 = 0 = 5 0, 07 = 0,7 minutos Debemos esperar 0 minutos segundos para que alcance los 5. 9

40 Unidad 0. Funciones elementales Página 7 Cuestiones teóricas 5 Dada la función y = a, contesta: a) Puede ser negativa la y? la? b) Para qué valores de a es decreciente? c) Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = log a? d) Para qué valores de se verifica 0 < a < siendo a >? a) La y no puede ser negativa porque la función eponencial siempre toma valores positivos. La sí puede ser negativa porque el dominio de definición de esta función es Dom =. b) Es decreciente para valores de a comprendidos entre 0 y, es decir, si 0 < a <. c) Todas pasan por el punto (, 0) porque log a = 0 para cualquier a. d) Se verifica siempre que < 0, como podemos ver en su gráfica. 5 Puede ser simétrica una función respecto del eje O? Justifica tu respuesta. La única función simétrica respecto del eje O es la función y = 0 ya que, si algún punto de ella se "saliera" del eje O, debería tener otro reflejado en la misma vertical y esto es imposible por el concepto de función. 55 Demuestra que y = log b ( a) e y = log c ( a) cortan al eje O en el mismo punto. Los puntos de corte de una función con el eje O son aquellos que verifican y = 0. Para que el logaritmo de un número sea 0, su argumento debe ser. Por tanto, el punto de corte es: y= logb( a+ a) = logb= 0 = a + 8 * y= log ( a+ a) = log = 0 c 5 Cuántas soluciones puede tener cada uno de estos sistemas? y= a) * b) y = y=/ * c) * y= a+ b y= a+ b y= a+ b Justifícalo gráficamente y pon ejemplos. c a) Puede tener como máimo dos soluciones, dependiendo de la posición relativa de la parábola y la recta. Es decir, el sistema puede tener 0, o soluciones. Desde otro punto de vista, la ecuación = a + b puede tener 0, o soluciones. y= No tiene solución. y = y= Tiene una solución, (, ). y= y= Tiene dos soluciones, e , o y e 5 5, o. y= + 0

41 Unidad 0. Funciones elementales b) Este caso es análogo al anterior. En función de la posición relativa de la semiparábola y la recta, el sistema puede tener 0, o soluciones. La ecuación = a + b puede tener, como máimo, dos soluciones. y= No tiene solución. y = y= y= ( + ) Tiene una solución, (, ). y= y Tiene dos soluciones, (0, 0) y (9, ). = c) El sistema da lugar a una ecuación de segundo grado como podemos ver. = a + b 8 (a + b) = 8 a + b = 0 Por tanto, al igual que en los casos anteriores, puede tener, como máimo, dos soluciones. También puede interpretarse desde el punto de vista de la posición relativa de una hipérbola y una recta. y = No tiene solución. y= y = Tiene una solución, (, ). y= + y = Tiene dos soluciones, (, ) y (, ). y= 57 Calcula en las siguientes epresiones: a) arc sen = 5 b) arc cos = 0 c) arc tg = 7 d) arc sen = 75 e) arc cos = π rad f ) arc tg =,5 rad a) b) c),078 d) 0,9 e) f),0 58 Alguna de estas funciones verifica f (a + b) = f (a) + f (b)? a) f () = + b) f () = c) f () = a) f (a + b) = a + b + f (a) + f (b) = a + + b + = a + b + b) f (a + b) = (a + b) = a + b = f (a) + f (b) c) f (a + b) = (a + b) = a + ab + b f (a) + f (b) = a + b

42 Unidad 0. Funciones elementales Para profundizar 59 Qué transformación hemos hecho en cada una de estas funciones para obtenerlas a partir de y =? a) y = + 5 b) y = + 5 a) y = + 5 = = ( ) Hemos hecho una traslación de unidades a la derecha en el eje O y de unidades hacia abajo en el eje O. b) y = + 5 = ( ) + 5 = ( + ) + 5 = ( ) + Hemos hecho una traslación de unidad a la derecha en el eje O y de unidades hacia arriba en el eje O. También hemos hecho un estiramiento en el sentido vertical al multiplicar por. 0 Define por intervalos y representa. a) y = b) y = + + c) y = + si < si a) = * = * si si < 0 0 Disponemos los cálculos en una tabla para hallar la función resultante: (, 0) [0, ) [, + ) + + Z ] y = = [ ] \ si < 0 si 0 < si si < + si < b) + = * = * + si si Por tanto, análogamente al ejemplo anterior, obtenemos: Z si < ] y = + + = [ si < ] si \

43 Unidad 0. Funciones elementales + si < + si < c) = * = * si si Por tanto, análogamente al ejemplo anterior, obtenemos: Z + si < ] y = = [ + 5 si < ] si \ Las tarifas de una empresa de transporte son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 0 t). b) Obtén la epresión analítica. a) INGRESOS CARGA (t) 0 si si 0 0 b) f () = *. Es decir: f () = * [ 0 ( 0 )] si 0 < 0 0 si 0 < 0 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = + b) y = * > a) + > 0 0 Dominio = (, ] «(, + ) + 0 * < * b) 9 9 > 0 0 Dominio = (, 0) «[9, + ) 9 0 * < 0 < 0

44 Unidad 0. Funciones elementales Cuántas soluciones tienen estas ecuaciones? a) e = b) ln = Busca, por tanteo, una solución en cada caso. a) Si representamos gráficamente las funciones y = e e y =, observamos que se cortan en dos puntos. Las abscisas de estos puntos son las soluciones de la ecuación dada. Vemos que uno de ellos está muy cerca de =. e = e,7 = Probemos ahora en =, e,, =,79 Una solución aproimada, a la vista de los resultados anteriores, es =,05 b) Si representamos gráficamente las funciones y = ln e y =, observamos que se cortan en un punto. Su abscisa es la solución de la ecuación dada. Si tomamos =,75, obtenemos: ln,75 = 0,5 = 0,57 75, Por tanto, una solución aproimada es =,75.

45 Unidad 0. Funciones elementales Autoevaluación Página 7 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = a) La función está definida por los valores de tales que 0. Resolvemos la inecuación: Dom = (, 0] «[, + ) > 0 > 0 0 b) Los valores de que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la función. = 0 8 = 0 ( ) = 0 = Dom = Á {0, } Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = + + b) y = * si si < a) La recta y = + corta al eje en =. Para valores menores que, cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (, ) 8 (, ). y = + y = + b) Para valores menores que, la gráfica es una parábola de vértice (0, ). Para valores mayores que, es una recta. 5

46 Unidad 0. Funciones elementales Representa y =. A partir de ella, dibuja la gráfica de y = = + y = y = + (*) (*) La gráfica de y = hacia abajo. + 5 es como la de y = trasladada unidades a la derecha y unidades Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. a) Representa la función que describe este fenómeno y halla su epresión analítica. b) Di cuál es su dominio y su recorrido. a) TEMPERATURA ( C) TIEMPO (min) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). Hallamos la ecuación de esta recta: Pendiente: 00 0 = 8 8 y = 8( 0) Para valores de mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 y = Epresión analítica: f () = * 00 si 0 < 5 si 5 5 b) Dominio: f () está definida para valores de entre 0 y 5, ambos incluidos. Por tanto, Dom f = [0, 5]. Recorrido de f = [0, 00]. 5 El precio de venta de un artículo viene dado por la epresión p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función número de artículos-ingresos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será: p (500) = 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = =

47 Unidad 0. Funciones elementales b) INGRESOS I() = p = 0, N.º DE ARTÍCULOS c) Hallamos el vértice de la parábola: * = = 00 artículos 00, y = 00 00, 00 = 00 cientos de euros Deben fabricar 00 artículos para obtener unos ingresos máimos (0 000 euros). Depositamos en un banco 000 al % anual. a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. Qué tipo de función es? Represéntala. b) En cuánto tiempo se duplicará el capital? a) Al cabo de un año el capital se convertirá en: = 000 c + m = 000, Al final del segundo año, el capital será 000,0,0 = 000,0 Luego la función que da el capital al cabo de t años es: C (t ) = 000,0 t b) Tenemos que calcular el tiempo, t, necesario para que: 000 = 000,0 t 8,0 t log = 8 t = =,9 log 0, Deberán pasar años para que el capital se haya duplicado. 7 Dadas f () = +, g () =, halla: a) f [ g ()] b) g [ f (5)] c) f g d) g () a) f [g()] = f c m = f ( ) = + = 0 b) g [f (5)] = g ( 5+ ) = g( ) = = c) f g () = f [g ()] = f c m= + = d) = y g () = 8 y = 8 y = + + 7