FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

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1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Página 0 PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Modificando la escala, representa la función: : tiempo transcurrido y: distancia al suelo correspondiente a cuatro vueltas de la noria. DISTANCIA AL SUELO vuelta TIEMPO DISTANCIA AL SUELO vuelta vueltas vueltas vueltas TIEMPO Problema Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición). Esto se realiza más o menos rápidamente según las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo). Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproimadamente cada hora y que, inicialmente, hay una ameba. a) Calcula el número aproimado de amebas que habrá según pasan las horas y completa esta tabla en tu cuaderno: TIEMPO (horas) 0 5 N-º DE AMEBAS b) Representa gráficamente estos datos en una hoja de papel cuadriculado. N-º DE AMEBAS TIEMPO (horas) Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

2 c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables sean, ahora: : número de amebas y: tiempo (en horas) a) TIEMPO (horas) 0 5 N-º DE AMEBAS 8 b) N-º DE AMEBAS TIEMPO (horas) c) TIEMPO (horas) N-º DE AMEBAS Página Problema Las sustancias radiactivas se desintegran transformándose en otras sustancias y lo hacen con mayor o menor rapidez, según de cuál se trate. Supongamos que tenemos kg de una sustancia radiactiva que se desintegra reduciéndose a la mitad cada año. El resto de la masa no desaparece, sino que se transforma en otro componente químico distinto. a) Completa la tabla siguiente (utiliza la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales): TIEMPO (años) 0 5 SUST. RADIACT. (en kg) 0,5 0,50 0,5 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

3 b) Representa gráficamente los datos en papel cuadriculado.,000 PESO (en kg) 0,500 0,50 0,00 5 TIEMPO (en años) c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables son, ahora, : peso de la sustancia radiactiva (en kg) y: tiempo transcurrido (en años) a) TIEMPO (años) 0 5 SUST. RADIACT. (en kg) 0,5 0,50 0,5 0,0 0,0 0,0 b) PESO (kg) c),000 0,500 TIEMPO (horas) 5 0,00 0,500,000 PESO (kg) 0,00 5 TIEMPO (horas) Página. Si f () = 5 + y g () =, obtén las epresiones de f [g()] y g [f ()]. Halla f [g()] y g [f ()]. f [g()] = f [ ] = 5 + g [ f ()] = g [ 5 + ] = ( 5 + ) f [g()] = 79; g [ f ()] =. Si f () = sen, g () = + 5, obtén la epresión de f g, g f, f f y g g. Halla el valor de estas funciones en = 0 y =. f g () = sen ( + 5); f g (0) = 0,9; f g () = 0, g f () = sen + 5; g f (0) = 5; g f () = 5,8 f f () = sen (sen ); f f (0) = 0; f f () = 0,79 g g () = ( + 5) + 5; g g (0) = 0; g g () = 8 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

4 Página 7. Representa y =, y = / y comprueba que son inversas. y = y = y = / 8 8. Comprueba que y = hay que descomponerla en dos ramas para hallar sus simétricas. Averigua cuáles son. a) y = si 0 b)y = si < 0 y = + y = + y = y = y = y = y = + 8 y = +. Si f () = + y g() =, prueba que f [g ()] =. Son f () y g () funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + ) está en la gráfica de f y que el punto (a +, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y =. f [g()] = f ( ) = ( ) + = Son funciones inversas. y = + y = y = 8 8 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

5 Página 5 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Haz una tabla de valores de la función y =. A partir de ella, representa la función y = log. Si el punto (, 9) pertenece a y =, el punto (9, ) pertenecerá a y = log. 0 /9 / 9 /9 / 9 log 0 y = (0, ) y = log (, 0) Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = ( ) y represéntala gráficamente. 5 0 y,,78,7 0, 0, 0, y = ( 5 ) Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 5

6 5 Representa la función y = ( ). Es creciente o decreciente? f () = ( 5 ) Es creciente. Considera las funciones f y g definidas por f () = + y g() =. Calcula: a) (f g) () b) (g f ) ( ) c) (g g) () d) (f g) () 5 + a) b) c) g (g()) = d) f (g()) = 0 5 Dadas las funciones f () = cos y g() =, halla: a) (f g) () b) (g f ) () c) (g g) () a) f [g()] = cos b) g[ f ()] = cos c) g[g()] = Representa las funciones: a) y = + sen b) y = cos a) π π/ π π/ π/ π π/ π b) π π/ π π/ π/ π π/ π Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

7 7 Halla la función inversa de estas funciones: a) y = b) y = + 7 c) y = a) = y y = f () = b) = y + 7 y = 7 f () = 7 + c) = y y = f + () = 8 Dada la función f () = +, halla f (). Representa las dos funciones y comprueba su simetría respecto de la bisectriz del _er cuadrante. f () = ( ), 8 y = ( ), y = y = Representa la gráfica de y = log / a partir de la gráfica de y = ( ). y = ( ) y = log / 5 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 7

8 0 Representa las funciones: a) y = + ; b) y = Utiliza la gráfica de y =. a) b) y = + 8 y = y = y = y = y = Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = ( ) + c) y = d) y = a) b) ( 0, ) 0 8 ( 0, ) 8 c) d) y = 0 8 (0, ) Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 8

9 Comprueba que las gráficas de y = e y = ( ) son simétricas respecto al eje O. Represéntalas en los mismos ejes. y = ( ) 8 y = (0, ) Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log : a) y = + log b) y = log ( ) En b), el dominio es (, + ). a) y = + log (, 0 ) y = + log y = log 5 b) y = log ( ) = y = log 5 y = log ( ) Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 9

10 Cuál es el dominio de esta función?: y = log ( ). Represéntala. Dominio: (, ) = PARA RESOLVER 5 La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0; 0,5) y (;,7). a) Calcula k y a. b) Representa la función. a) 0,5 = k a 0 0,5 = k,7 = k a,7 = k a La función es y = 0,5 (,) k = 0,5 a =, b) Se llama inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo que costó 00 euros al cabo de un año cuesta 0 euros, la inflación ha sido del %. Suponiendo que la inflación se mantiene constante en el % anual, cuánto costará dentro de 5 años un terreno que hoy cuesta cinco mil euros? (,0) 5 9, euros 7 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un % anual. a) Si empieza ganando euros anuales, cuánto ganará dentro de 0 años? b) Calcula cuánto tiempo tardará en duplicarse su sueldo. a) (,0) ,8 euros b),0 = años tardará en duplicarse. Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 0

11 8 Se sabe que la concentración de un fármaco en sangre viene dado por y = 00 (0,9) t (y en miligramos, t en horas). a) Cuál es la dosis inicial? b) Qué cantidad de ese fármaco tiene el paciente al cabo de hora? de tres horas? c) Representa la función. d) Si queremos que la concentración no baje de 0 mg, al cabo de cuánto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo? a) t = 0 y = 00 mg b) t = y = 9 mg en hora t = y = 8 mg en horas c) CONCENTRACIÓN DE FÁRMACO (mg) TIEMPO (horas) d) 00 (0,9) t = 0 t 8 h 5 min Al cabo de, aproimadamente, 8 h 5 min. Página 5 9 Con las funciones f () = 5, g() =, h() =, hemos obtenido, + por composición, estas otras: p () = 5 q() = 5 r() = + Eplica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r. p = g f q = f g r = h g 0 Si f () = y g() = log, cuál es la función (f g) ()? (g f ) ()? ( f g) () = (g f ) () = Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

12 Un cultivo de bacterias crece según la función y =+ /0 (y: miles de bacterias, : horas). a) Cuántas había en el momento inicial? b) al cabo de 0 horas? c) Calcula cuánto tiempo tardarán en duplicarse. a) = 0 y = + 0 = + = 000 bacterias b) = 0 y = + = 000 bacterias c) + /0 0 log = = 5,8 h h log Aproimadamente, horas. De la función eponencial f () = ka conocemos f (0) = 5 y f () = 0. Cuánto valen k y a? f (0) = 5 5 = k f () = 0 0 = 5 a a = La función es f () = 5 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = b) y = + a) = y ; = y ; log = y y = + log f () = + log b) = + y ; = y ; log ( ) = y f () = log ( ) Resuelve las siguientes ecuaciones: a), = 8 b) 7 = 57 c) = 7,5 d) = 0,5 log 8 a) log, = log 8 = =,7 log, b) 57 = = 8 = 7 c) log,5 =,5 = =,9 log d) = = = 0 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

13 5 Las siguientes ecuaciones eponenciales tienen soluciones enteras. Hállalas: a) + = b) 5 = 87 c) 7 = 9 d) (0,5) = a) + = 5 + = 5 =, = b) 5 = 7 5 = 7 = c) 7 / = 7 = = d) = = Resuelve mediante un cambio de variable: a) 5 + = 0 b) + = c) = a) = z; z 5z + = 0; z =, z = =, = 0 b) z z = z; z + = z = 7 = 9 c) 78 = z; z = z 78 = z 7z 78z 7 = 0 z 7 7 z = 7 = ; z = 5 (no vale) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 7 + = 8 5 b) 5 5 = 90 5 c) + + = 9 d) 0 + = a) 7 + = = 7 = 5 b) 5 5 = 5 8 = c) ( + 9) = 9 log,9 =,9 = log =, d) + = 0 = 8 Calcula en las siguientes ecuaciones: a) log = log 9 log b) ln = ln 5 c) + log = 5 d) log = 9 9 a) log = log = b) ln = ln 5 = 5 c) log = = 0 d) log = 9 = 9 = 5 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

14 CUESTIONES TEÓRICAS 9 Estas gráficas corresponden a funciones del tipo y = a, y = log a. Identifícalas e indica, en cada caso, si es a > o 0 < a <. ) ) ) ) ) y = log a, 0 < a < ) y = a, 0 < a < ) y = log a, a > ) y = a, a > 0 Para cada una de las funciones y = sen e y = cos, contesta: a) Son funciones continuas? b) Cuál es su periodo? c) Entre qué valores están acotadas? d) Para qué valores de es sen < 0? cos <0? a) Sí. b) π c) Entre y. d) Entre 0 y π: sen < 0 para (π, π) π π cos < 0 para (, ) a) Eiste algún valor de tal que sen =,5? b) Justifica que sen. a) No. b) El radio de la circunferencia es, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado; y sen es uno de los catetos. Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

15 cos sen cos (π ) π sen (π ) sen (π + ) π + π sen (π ) cos (π + ) cos (π ) Busca los valores de comprendidos entre 0 y π que verifiquen sen =. π 5π =, = Página 55 Para cada una de las funciones y = a e y = log a, contesta: a) Puede ser negativa la y? b) Podemos dar a valores negativos? Para y = a : a) No. b) Sí. Para y = log a : a) Sí. b) No. Las gráficas de las funciones y = a pasan todas por un mismo punto. Cuál es ese punto? (0, ) 5 Para qué valores de a la función y = a es creciente? Para cuáles es decreciente? Para a > la función y = a es creciente. Para 0 < a < la función y = a es decreciente. Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 5

16 Indica para qué valores de a es creciente la función y = log a. Para cuáles es decreciente? Para a > la función y = log a es creciente. Para 0 < a < la función y = log a es decreciente. 7 Las gráficas de las funciones y = log a tienen un punto en común. Cuál es ese punto? (, 0) 8 Para qué valores de se verifica 0 < a <, siendo a >? < 0 PARA PROFUNDIZAR 9 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a) + y = 90 b) 7 + y = 9 + y = 79 7 y = 9 a) + y = 90 Cambio: = a; y = b y = 79 a + b = 90 a b = 79 b = 90 a a (90 a) = 79; 90a a = 79 a 90a + 79 = 0; a 9 b = 8 8 b = 9 b) Soluciones: + y = y = = ; y = = ; y = = y = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) log + log 50 = b) log = log 8 log a) log (50) = 50 = = = 0, b) log = log = = = ( = no vale) Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas

17 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: log + log y = log + log y = a) b) log log y = y = 90 + y = 0 ln + ln y = ln 0 c) d) log e y log y = = /e a) Sumando las dos ecuaciones: log = log = = 00 log y = y = 0 Solución: b) = 90 + y log ( y) = y = 000 (90 + y) y = 000; 90y + y = 000; y + 90y 000 = 0 y = Solución: c) y = 0 log = = = y; y = 0 y y =, = 8 y y Solución: = 00 y = 0 0 = (no vale) = 00 y = 0 = 8 y = d) ln ( y) = ln 0 y = 0 y = y = + = Solución: y = 5 5 (no vale) = y = 5 ( + ) = = 0 Si un punto P recorre una circunferencia completa de radio, el ángulo de giro es 0 que, medido por el arco, equivale a π radianes. a) Teniendo en cuenta esta equivalencia, epresa en radianes los siguientes ángulos: Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 7

18 b) Epresa en grados estos ángulos medidos en radianes: 5π 7π π 5π,,,, π π π a) 0 = rad 5 = rad π π 0 = rad 90 = rad π π 0 = rad 5 = rad 5π 7π 50 = rad 0 = rad 5π 7π b) rad = 50 rad = 5 π 5π rad = 0 rad = 50 π = 50 Sobre la circunferencia de radio señalamos un ángulo en el primer cuadrante. A partir de él, dibujamos los ángulos π, π + y π. Busca la relación que eiste entre: a) sen (π ) y sen π cos (π ) y cos b) sen (π + ) y sen π + cos (π + ) y cos c) sen (π ) y sen π cos (π ) y cos a) sen (π ) = sen cos (π ) = cos b) sen (π + ) = sen cos (π + ) = cos c) sen (π ) = sen cos (π ) = cos Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 8

19 PARA PENSAR UN POCO MÁS Con la calculadora puesta en modo RAD efectúa la siguiente secuencia: 0 [En los modelos de calculadora más antiguos la secuencia puede ser 0 ]. De este modo estás calculando cos (cos (cos (cos 0))). Si prosigues así sucesivamente tecleando, el número resultante llega a estabilizarse en 0, Es decir: Epresa dicho resultado final mediante una sencilla igualdad y di de qué ecuación es solución el número 0,79085 así obtenido. El resultado se epresaría como: cos 0,79085 = 0,79085 Luego = 0,79085 es solución de la ecuación cos =. 5 De un número sabemos que log log =. Cuántos libros se necesitan para escribirlo si cada libro tiene 500 hojas ( 000 páginas), cada página 50 renglones y cada renglón admite 00 caracteres? log log = log = 0 = 0 0 libro 000 páginas 50 renglones 00 caracteres = 5 0 caracteres Para saber cuántos libros necesitaríamos, hemos de dividir: 0 0 = 000 libros 5 0 Unidad. Funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas 9