APELLIDOS Y NOMBRE: CURSO:

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1 APELLIDOS Y NOMBRE: CURSO: Ricardo Palancar Hermosilla

2 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo Índice. LOS NÚMEROS REALES.... POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS.... POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS...8. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.... SISTEMAS DE ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA FÓRMULAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA FUNCIONES TIPOS DE FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES LÍMITES Y DERIVADAS... 7

3 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo. LOS NÚMEROS REALES. Cómo es un número irracional desde el punto de vista decimal?. En qué consiste la densidad de los números racionales y pon un ejemplo.. Calcular un número racional que esté entre /7 y /7.. Una aproimación del número π debida a Mecio (los griegos no conocían la epresión decimal de los números) fue: π = +. Calcular su valor y una cota de error cometido.. Una pizza tiene un diámetro de 0 cm y cuesta.09 Pts. Cuánto debería costar una de 0 cm de diámetro? Suponemos que el grueso es idéntico. 6. Cálculo de n m. Calcular: 7 0 ; ; 0 7. Hallar la fila ª del triángulo de Tartaglia y decir a qué se corresponde cada número. 8. Cuáles son las propiedades de los números combinatorios? 9. Epresa en forma de intervalo E(, ) 0. Epresa en forma de desigualdad: (, +inf); [, 7). Cálculo de n m. Calcular: 7 m n ; ; 0 n. Triángulo de Tartaglia. Hallar todas las combinaciones posibles de 6 elementos apoyándose en el triángulo de Tartaglia.. Cálculo de n m. a) Comprueba que. Calcular: 7 0 ; ; = + n = n b) Sabiendo que hallar el valor de n. hallando el valor de cada uno por su fórmula.. Triángulo de Tartaglia. Hallar la fila ª del triángulo de Tartaglia y decir a qué se corresponde cada número.

4 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo. POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 6. Determina el valor de: a) ( ) b) d) ( ) e) f) g) h) 9 9 i) j) / k) / 7. Epresa en notación científica: a) Distancia Tierra Sol = millones de metros b) Radio del protón = 0, metros c) Distancia Tierra Luna = 8 millones de metros d) Tamaño de unvirus = 0, metros e) Peso de una bacteria = 0, gramos l) / 9 m) / 8. Dados los números: A = ; B = y C = 0, , epresa los números en notación científica para calcular (utilizando calculadora): 9. Si A + B = C 6 A =, 0, A B + C D = B =, 0, C =,8 0 y D = 6, 0 0. Simplifica en una única potencia y, después, determina su valor: a) ( ) ( ) ( ) = 8 b) =. Simplifica las epresiones siguientes al máimo: 8 6 a) = b) = 6 c) 6 7 = c) : = 9, calcula:. Simplifica las siguientes fracciones utilizando las propiedades de las potencias: ( a b ) ( a b ) ( ) ( ) a b c a) b) c) d) 8 ( ) 9 a b c a b. Pasa las siguientes epresiones de raíces a potencias y después simplifica la potencia resultante: a) = a b) =. Pasa las siguientes potencias a su epresión radical y después simplifica el radical al máimo según sus propiedades:

5 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo / a b) = a) ( / ) =. Opera y simplifica: 9 + = 6. Simplifica etrayendo factores de los siguientes radicales: y a) = y z b) 8a 6 b = 7. a) Simplifica este radical al máimo: y b) Introduce dentro del radical los factores: + y y 8. Opera en forma de potencias y epresa el resultado en forma de raíz: a a) = a a 9. Opera y simplifica: a) = 0. Calcula: a / / a b) = a b) + = 9 d) = 6 a e) = c) = f) = a) ( ) = b) ( + ) ( ) = c) ( 6 + ) = d) ( ) ( + ) =. Utilizando la definición y/o las propiedades de los logaritmos, calcula: a) log / b) d) log 00 log c) log e) ln f) log 0, e. Epresa con un único logaritmo: + b) ( log a logb) a) log a logb log c c) log log. Utiliza el cambio de base y/o la calculadora para determinar con cuatro cifras significativas: 8 a) log 7 b) log c) log 8 d) ln f) log g) log / 7. Calcula :

6 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 6. Calcula: a) log 6 = b) log 0,0 = c) = 00 d) 0 = 6 a)log ; b)log 8; c)log 8; d )log ; e )log 7 ( a 6. Simplifica: ) a a a 7. Epresa en forma de potencia simplificando si es posible: a) ; b) a a 8. Epresa en forma de radical: a. 7 b. c. d. 9. Etraer en cada caso todos los factores posibles: a b c d a Simplifica: a) b) Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor: a) + ; b) a a c) y y z. Simplifica las epresiones siempre que sea posible: ( ) 6 6 a) b) = c) d). Etrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: 7 b 8 a) 7; b) 6 a ; c) 8 a ; d) 8 y z 6. Racionaliza simplificando: a) b) c) d) Hallar el valor de en las siguientes epresiones: a) log = b) log = c) log = 8 6. Hallar el valor de aplicando las propiedades de los logaritmos: ) log ) log 00 ) log ) log 8 8 = a b = c = d = 7. Desarrolla al máimo utilizando las propiedades del logaritmo: a)log b)log( a a) a a a 8. Sabemos que logak=0'7, cuánto vale? log k log log 6 9. Epresa como un solo logaritmo: log 6 log Reduce a un solo radical: a) b) 7 a a k

7 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 7. Efectúa con la calculadora y redondea a cuatro cifras significativas: a., b. 0 c., 87.0 d. L. Efectúa el siguiente producto utilizando la epresión de los radicales en forma de potencia: 8. Etraer factores de un radical. Etraer todos los factores posibles de las raíces y simplificar el resultado: Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor:. Calcula: 6. Calcula: ( ) = ( ) ( 7 7 ) = a) + y; b) a 7. Utiliza las propiedades y/o la definición de logaritmo para calcular: log = 9 8. Epresa en un único logaritmo: log a + logb logc = 9. Saber aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar una epresión. Hallar el valor de aplicando las propiedades de los logaritmos: a) log = 0 b) log = c) log 00 = d ) log = Etraer factores de un radical. Etraer en cada caso todos los factores posibles: a b c d a Introducir factores dentro de un radical. Introducir dentro del radical el factor: a) + ; b) a a 6. Convertir una epresión logarítmica en su eponencial equivalente y viceversa. Hallar el valor de en las siguientes epresiones: a)log = b)log = c)log = 8 6. Saber aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar una epresión. Hallar el valor de aplicando las propiedades de los logaritmos: n a) log = b) log 00 = c) log = d)log8= 8

8 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 8 6. Racionaliza: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 6. Si es la base de un rectángulo e y la altura escribe en lenguaje algebraico las siguientes frases: a) La base es igual al doble de la altura. y b) La base supera en unidades a la altura. c) La altura es / de la base. d) El área del rectángulo es 0 cm e) La base y la altura se diferencian en 0 unidades 66. Escribe en lenguaje simbólico las siguientes ecuaciones: a) La suma de números consecutivos es 8 b) Un padre (y) tiene el doble de edad que su hijo () c) Entre Juan (), Antonio (y) y Manolo (z) suman 000 Pts. 67. Plantea la ecuación: a) Si resto a un número me queda b) Un compañero piensa un número, lo triplica, a lo que da le resta 7 y el resultado es 68. Para = cuál es el valor de la siguiente epresión algebraica? Cuál es el valor para a = y b =0 de la siguiente epresión algebraica? a + 7b 6 b ab + a 70. Sacar factor común en las siguientes epresiones: a/ m 7m n b/ m( ) ( ) c/ + y + a + ay 7. Despeja la incógnita indicada en las siguientes ecuaciones o fórmulas: a + b a) m = despeja b 9 C+ 60 b) F = despeja C + 6 c) y = despeja 7. Desarrolla los siguientes polinomios: a) ( ) (+) b) (+) c) (+) ( ) d) ( ) 7. Saca factor común en los siguientes polinomios: a) b) + c) + 7. Efectúa en línea: ( 6 + ).( + 7) 7. Efectúa: ( + + ) ( + ) 76. Desarrollar la siguiente potencia: ( + ) Sean polinomios de abajo. Efectuar las siguientes operaciones indicadas: P( ) = + Q( ) =

9 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 9 a) P() Q(); b) P()+Q() 77. Calcula los polinomios siguientes: a) ( ) (+) b ) ( + ) ( ) 78. Calcula el área sombreada de las figuras siguientes: a) b) c) Calcula el área sombreada de las figuras siguientes: Efectúa el cuadrado: a) ( + ) b) ( a ) c) ( y) 8. Efectúa: a) ( + )( ) b) ( a )( a + ) c) ( y)( y) 8. Sacar factor común en: a) a + b + b) c) abc ab + ac 8. Saca factor común: a) a 9a; b) ; c) 6 9; d) b b 8. Sacar factor común y simplificar: a b. + a. b. c a. b. c 8. Cuánto vale el cociente C() y el resto R() de la siguiente división? Comprueba el resultado. ( ) : ( + ) 86. Halla un polinomio que al ser dividido entre + y de resto Hallar el cociente y el resto de la división. resultado. + se obtenga de cociente : + Comprueba el 88. Calcula "a" para que el resto de la división sea a : Efectúa: : Hallar el cociente y el resto de la división comprobando que está bien: Escribe un polinomio que tenga de raíces:, y 0. Primero puedes hallar la epresión factorial y después obtener la general.

10 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 0 9. Polinomio que tenga de raíces: y 9. Factoriza y comprueba el resultado: Factoriza el polinomio y comprueba el resultado: 6 9. Simplifica: Simplifica la fracción: 97. Simplifica: Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) Calcula y simplifica: 00. Calcula y simplifica: 9 + : 0. Calcula y simplifica: Calcula y simplifica al máimo los resultados: + 0. Calcula y simplifica al máimo los resultados: 0. Hallar el inverso de: Hallar el inverso de: Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( ) Desarrolla el siguiente binomio: ( ) 08. Desarrolla el siguiente binomio: ( + ) 09. Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores irreducibles: 6 a b 0. Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( ). Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores irreducibles: P ( ) = Binomio de Newton. Desarrollar el siguiente binomio: ( )

11 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo. Descomponer un polinomio. Descomponer el polinomio siguiente en factores irreducibles: 6. Efectuar la siguiente potencia del binomio: ( ). Halla el valor de k para que el polinomio +. P( ) k 6. Descomponer el siguiente polinomio en factores irreducibles: = sea divisible por 0 7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b) + 8. Efectúa la siguiente operación: : Efectúa la operación siguiente y simplifica el resultado: Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de los polinomios siguientes: P( ) = ; Q( ) = +. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. Resolver:. Resolver: 6 0 = 0 = +. Resolver la siguiente ecuación: = + 0. Resolver: ( ) ( ) a = b + = )' ' )log log. Resolver: 6. Resolver: 7. Resolver: 8. Resolver: 9. Resolver: 0. Resolver: + 6 = = + ( ) log + a), =,7 b) log( + ) = 6 0 = 0 = + ( ) ( ) a b )' = ' )log + log =

12 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo. Una moto se devalúa un % anual. Si nos ha costado 000, qué valor tendrá al cabo de 0 años?. La población mundial es de unos mil millones de habitantes y crece a un ritmo anual del %. Cuánto tiempo tardará en duplicarse?. Una colonia de millón de bacterias es combatida con un tratamiento que las reduce al 0% diariamente. Cuánto tiempo tiene que pasar para que tengamos menos de 00 mil?. Resuelve la siguiente ecuación + = 0. Resolver la ecuación: = 0 6. Resuelve la siguiente ecuación: + = 7 7. Resuelve la ecuación: = 8. Resolver la ecuación: ln( ) = ln ln 9. Resolver la ecuación: ( ) ( ) 0. Resolver la ecuación: ln + ln = ln + + =. Resuelve la siguiente ecuación: = 0. Se tiene un cuadrado cuyo lado es cm mayor que el lado de otro cuadrado. Si entre los dos cuadrados tienen 9 cm de área, cuál es el área de cada uno de ellos?. En un triángulo rectángulo un cateto mide unidades más que el otro. La hipotenusa mide a su vez unidades más que el cateto mayor. Cuánto mide cada lado?. SISTEMAS DE ECUACIONES. + y = Resuelve el sistema: = 0 y. Obtén las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones: y = y = y = 9 6. Halla las soluciones del sistema: log logy = 7. La suma de dos números es y la suma de sus inversos es números se trata?. De qué 8. El perímetro de un rectángulo es de 6 cm y su diagonal mide 0 cm. Calcula la longitud de sus lados.

13 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 6. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES 9. Resolver: + a) + 6 0; b) 0 ( + ) 0. Resolver: + > 6. ( + ) ( ) Resolver: < 0. Resuelve gráficamente el sistema: 0 y y. Resolver: a) ; b) 0 ( + )( ). Resolver la inecuación: 0 ( + ). Resolver la siguiente inecuación: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 6. Por una carretera con una inclinación de un 0% un conductor recorre km. Qué altura ha subido? 7. Calcula el área de un eneágono regular polígono de 9 lados, inscrito en una circunferencia de radio mts. 8. Calcula la superficie de un triángulo equilátero de lado 6cm 9. Las dimensiones de una portería de fútbol son m de largo y, m de alto. El punto de penalti está a 0,8 m de distancia de la portería. a) Calcular el ángulo máimo de elevación para que el balón pase por debajo del larguero. Según el dibujo. b) Calcular el ángulo de barrido horizontal para meter gol. Según el dibujo. 60. Calcula el valor eacto de las siguientes razones trigonométricas: sec 0 ; cosec 60 y cotg 6. Desde cierto punto vemos la torre de un castillo con un ángulo de elevación de 0º, acercándonos 00 m el ángulo pasa a ser de 0º. Qué altura tiene la torre? 6. Calcula el volumen de un cono en el que el radio de la base mide cm y la generatriz mide cm. 6. En la figura vemos un pozo de metros de diámetro y que a 0 cm del brocal y desde 7 m de altura ve en línea el borde eterior con el interior según el

14 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo A dibujo. Cuál es la profundidad del pozo? 6. Se llama tamaño aparente de un objeto al ángulo que ocupa desde nuestra posición. a. Una casa de m de altura tiene un tamaño aparente de. A qué distancia estamos de ella? b. Si nos acercásemos 0 m, cuál sería su tamaño m aparente? 6. La pared de una pirámide forma un ángulo de 0º con el suelo según el dibujo. A 90m de ese punto vemos la pirámide bajo un ángulo de 0º según el dibujo. Calcula la altura de la pirámide y la apotema de la cara lateral. 66. Calcula el área de un pentágono de m de lado. 67. Los vértices de un paralelogramo son: A(, ); B(, ); C(6, ) y D(, ). Halla las ecuaciones de las rectas que forman las diagonales y su punto de corte. 68. Desde cierto punto vemos la torre de una iglesia con un ángulo de elevación de 0º, acercándonos 00 m el ángulo pasa a ser de 0º. Qué altura tiene la torre? 69. Hallar el área de un rombo de lado 7 y ángulo agudo de Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80 9 Kms. Las visuales desde el avión a A y B forman ángulos de 9 y con la horizontal respectivamente. A qué distancia se halla de cada ciudad? 80 Kms B 7. Resolver el triángulo: 0 0º 90 m 7 0 º 8. FÓRMULAS Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 60 6 m 7. Demuestra que: cos cos = tg 7. Hallar el valor eacto de las razones trigonométricas de un ángulo α que pertenece al II cuadrante sabiendo que sen 7. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: cos sen cos = 0 7. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: sen + = cos + sen 76. En una circunferencia de metros de radio se señala un arco de metros. Qué ángulo le corresponde a dicho arco en radianes? Y en grados? α =

15 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 77. Resolver la ecuación cos sen = 78. Sabiendo que cos = 0' y que IV cuadrante. Hallar el sen y la tg. 79. Responde a los siguientes apartados: a. Escribe un ángulo entre 0 y 60 que tenga las mismas razones trigonométricas que el ángulo de 00 b. Escribe un ángulo entre 0 y 60 que tenga las mismas razones trigonométricas que el ángulo de 0 c. Halla todos los ángulos entre 0 y 60 que tengan cos = 0, d. Halla todos los ángulos entre 0 y 60 que tengan tg = 0, 80. Resolver la ecuación cos sen= y dar la solución en radianes. 8. Hallar el valor eacto de las razones trigonométricas de un ángulo α que pertenece al II cuadrante sabiendo que sen 9. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 8. Hallar un vector director de la recta que pasa por los puntos A(-, ) y B(, -6). Hallar todas sus ecuaciones, puntos de corte con los ejes y pendiente. Dibujarla. 8. Los vértices de un paralelogramo son: A(, ); B(, ); C(6, ) y D(, ). a) Comprueba que es un paralelogramo vectorialmente. b) Halla las ecuaciones de las rectas que forman las diagonales y su punto de corte. α = 8. a) Halla las ecuaciones eplícitas de las siguientes rectas y clasifícalas. Es decir, cuál es su pendiente y ordenada en el origen. b) Halla su punto de corte analíticamente, es decir, por ecuaciones. No se tendrá en cuenta cualquier otro resultado. 8. Dada la recta y r : = a) Halla los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados. b) Calcula el área del triángulo determinado por la recta r y los ejes de coordenadas. c) Escribe la ecuación eplícita de la recta perpendicular a r que pasa por el punto (, ) d) Halla la ecuación implícita de la recta paralela a r que pasa por el punto (, 0). 86. Dados los puntos: (, ) y (, ). a) Hallar la distancia que hay entre ellos. b) Determinar la pendiente del vector que determinan. c) Hallar la ecuación eplícita de la recta que pasa por ellos. d) Hallar una recta perpendicular a dicha recta por el punto (, ) r r 87. Dados los vectores u(, ) y v(, ) a. Hallar el valor de sus módulos y de sus pendientes r r b. Hallar u + v analítica y geométricamente.

16 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo Una recta pasa por los puntos A(, ) y B(, 7) a. Hallar todas sus ecuaciones. b. Determinar el valor de su pendiente y ordenada en el origen. c. Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. 89. Sea el triángulo de vértices A(, ), B(, ) y C(,). a) Dibújalo y halla su perímetro. b) Ecuación general de la recta que pasa por el lado AB. c) Ecuación eplícita de la mediana que pasa por el vértice B. (Pasa por B y por el punto medio del lado opuesto) d) Ecuación de la altura correspondiente al vértice B. (Pasa por B y es perpendicular al lado opuesto) 0. FUNCIONES 90. Un péndulo de longitud oscila con un período T. La función que relaciona ambas cosas es: T = a) Representa gráficamente la función. Haz una tabla inteligente de ó valores. b) Describe sus características generales: dominio, monotonía, concavidad 9. Representa gráficamente la función: g( ) =. La tabla de valores debe ser con números racionales; es decir, no utilizar epresiones decimales. Coméntala. 9. Comenta los siguientes aspectos de la función cuya gráfica es: a. Dominio y recorrido o imagen. b. Intervalos de crecimiento c. Máimos y mínimos. d. Concavidad y conveidad. e. Simetría.. TIPOS DE FUNCIONES 9. Representa utilizando una tabla de valores significativos la función: y = log. Haz un comentario de la misma. 9. Representa utilizando una tabla de valores significativos la función: Haz un comentario de la misma. 9. Representa la función y = cos. π = 96. Representa la función y sen 97. Representa y = tg (π) 98. Representa gráficamente las siguientes funciones: y = +.

17 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo 7 a y b y c y d y ) = 0, ) = ) = + ) = log ( ) 99. Tenemos tres gráficas de funciones: A, B y C a. Decir de qué tipo es cada una y por qué b. Cuál es la fórmula de cada una de ellas? Y A Y B Y C X X X 00. Tenemos tres gráficas de funciones: A, B y C a. Escribe una tabla con valores de cada una de ellas. b. Cuál es la fórmula de cada una de ellas? - Y - 0 A X Y - B X - - Y C X. OPERACIONES CON FUNCIONES 0. Sean las funciones: 0. Sea la función y = + + f ( ) = y g( ) = a) Hallar ( f o g)( ) b) Hallar ( go f )( ) a. Halla el dominio de la función. b. Halla su función inversa. 0. Hallar ( go f )( ) siendo f ( ) = + 7; g( ) =. 0. Hallar la función inversa de la siguiente función:. LÍMITES Y DERIVADAS 0. Dada la función: y = + 6 g( ) = a) Represéntala obteniendo sus valores más significativos. b) Cuál es su definición a trozos?

18 ESO. MATEMÁTICAS. Cuaderno de refuerzo Dada la función: f ( ) si 0 =. Dibuja su gráfica. + si > Representa la siguiente gráfica razonando tu respuesta: + para >0 f ( ) = - para Dadas las funciones f ( ) = + ; g( ) = ; h( ) = ; p( ) = + realiza las operaciones que se indican: a) f() g(); b) f() h(); c) f() g(); d) g() h(); e) h() f(); f) p() h(); g) fog(); h) hof(); i) gof() 09. Calcula la función inversa de cada una de las funciones y comprueba en el primer caso que son inversas: 0. Representa la función:. Representa la siguiente función: trozos. + a) y = b) y = + para f ( ) = + para < - + para < y = +. Eprésala como función a