Ejercicio 1. Calcula la distancia que separa a dos puntos inaccesibles A y B.

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1 MATEMÁTICAS I ACTIVIDADES REFUERZO VERANO Ejercicio 1. Calcula la distancia que separa a dos puntos inaccesibles A y B. Ejercicio. Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles (X e Y) si desde dos puntos, A y B que distan 10 m, se observan los puntos X e Y bajo las visuales que muestra la figura. Ejercicio. Resuelve: Ejercicio 4. Resuelve: a) tg + cos = 0 b) log( y) log( y) log5 y 4 Ejercicio 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss y clasifícalo en función del número de soluciones: +z + y = 0 a) { z = 1 y z = 5y + 8z = 14 c) { y + z = 4 + y z = 0 + y + 4z = 1 b) { + y = + 4y + 4z = + y + z = 1 d) { + y + z = + y + z = 1 Ejercicio 6. Plantea el sistema de ecuaciones para resolver el siguiente problema: 1

2 En una competición deportiva celebrada en un centro escolar participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, ecede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría. Ejercicio 7. Plantea el sistema de ecuaciones para resolver el siguiente problema: Sonia ha comprado unos bolígrafos de, unos cuadernos de 1 y unas cajas de. Entre bolígrafos y cuadernos hay el triple que cajas. Considerando que ha comprado 1 objetos y ha pagado, calcula el número de bolígrafos, cuadernos y cajas que ha comprado. Ejercicio 8. Calcula, en función de h, la razón trigonométrica que se indica en cada caso: a) sen 05º, sabiendo que cotg 55º = 1/h b) cosec π 5 5 h c) tg 48º, sabiendo que cos 19º = - h d) sen 1º, sabiendo que sen 57º = h Ejercicio 9. Desarrolla la siguiente epresión: Ejercicio 10. Desarrolla el valor de la siguiente epresión: Ejercicio 11. Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo que tiene por vértices A(, 1), B(, ) y C(-, -). Ejercicio 1. Calcula el valor de k para que el triángulo de vértices A(4, ), B(6, -) y C(6, k) tenga por área 0 unidades cuadradas. Ejercicio 1. Calcula el valor de a para que la distancia del punto P(1, ) a la recta a + y = 0 sea igual a. Ejercicio 14. En el triángulo de vértices A(-, ), B(1, ) y C(4, 1), determina: a) La ecuación general de la mediana que parte del vértice A. b) Las coordenadas del ortocentro. Ejercicio 15. Halla la longitud del segmento que determina la recta y + 5 = 0 al cortar a los ejes de coordenadas. Ejercicio 16. Epresa el vector u = (-5, ) como combinación lineal de los vectores v = (-1, 0) y w = (, 4). Ejercicio 17. Clasifica (según sus ángulos) el triángulo determinado por las rectas: r: + y = 0 s: y = 0 t: + y + 9 = 0 Ejercicio 18. Calcula m y n en las rectas de ecuaciones: r: m y + 5 = 0 s: n + 6y 8 = 0 sabiendo que son perpendiculares y que r pasa por el punto P(1, 4). Ejercicio 19. Clasifica (según sus ángulos) el triángulo de vértices A(-, 8), B(-6, 1) y C(0, 4).

3 Ejercicio 0. Sea un paralelogramo de vértices A(7, 4), B= (, ), C= (, 5). a) Calcula las coordenadas del cuarto vértice. b) Determina su área. c) Calcula su perímetro. d) Halla la ecuación de una de sus diagonales. Ejercicio 1. En el triángulo de vértices A(-, ), B(5, 1), C(, -4), halla: a) La ecuación de la altura que parte de B. b) Las coordenadas del circuncentro. Ejercicio. Determina c para que la distancia de la recta y + c = 0 al punto (6, ) sea de 10 unidades. Ejercicio. Comprueba si el vector a= (, -7) se puede epresar como combinación lineal de los vectores b = (-, ) y c = (-6, 4). Ejercicio 4. Cuánto ha de valer m para que el complejo z = (m i) ( + 4i) tenga módulo 10? Ejercicio 5. Halla dos números cuyo cociente sea imaginario puro y cuya suma sea 5, sabiendo que el módulo del dividendo es doble del módulo del divisor. ki Ejercicio 6. La división produce un número real. Halla k. k i Ejercicio 7. Calcula y representa las soluciones: a) 5 (1 i) 4 b) 5 1 i 1 i Ejercicio 8. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: Ejercicio 9. Calcula para que el cociente i sea imaginario puro. i Ejercicio 0. Calcula a y b de modo que se verifique (a + bi) = + 4i. Ejercicio 1. Determina el dominio de las siguientes funciones: (a) f ( ) 7 (b) g ( ) 18 (c) f() = log5 ( ) 9 (d) g() = (e) (f) (g) y = (h) y = h() = tg y = log( )

4 Ejercicio. Calcula los siguientes límites: (a) lim (b) lim 1 1 Ejercicio. Dada la función: f() = + 5 Determina f -1 (). Ejercicio 4. a) Dadas las funciones f() = + 7 y g() = + 10, obtén, de la manera más simplificada posible, las epresiones analíticas de las funciones (gof)() y (fog)(). b) Considera la función f()= Determina, si es posible, la función f-1 (). Ejercicio 5. Considera las funciones f() = y g() = Calcula: a) g -1 () b) g[f(5)] Ejercicio 6. Considera la función f: definida por f () = (+1)( -1)( -). (a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. (b) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f? a Ejercicio 7. Se sabe que la función f : [0,+ ) definida por f() = 4 continua en [0,+ ). (a) Halla el valor de a, sabiendo que a>0. (b) Representa gráficamente la función para a = 1. si si 0 8 es 8 Ejercicio 8. De la función f() = a + b sabemos que pasa por (1, 1) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y = 0. (a) Halla a y b. (b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Ejercicio 9. Determina el valor de k para que sea continua la función: 4 k f() = { si 0 1 si = 0 Ejercicio 40. Determina el valor que debe tener k para que la siguiente función sea continua: ( + k)( ) g() = { si + 6 si = + a si 1 Ejercicio 41. Dada la función f() = { + si 1 < 1 L si > 1 a) Calcula el valor de a para que f sea continua en = -1. b) Representa gráficamente la función anterior si a =. (L indica logaritmo neperiano) 4

5 c) Justifica la eistencia o no de derivada en los puntos = -1 y = 1 para el caso a=. Ejercicio 4. Calcula las asíntotas de la gráfica de la función f definida para - 1 por 1 f ( ) 1 y estudia la posición de dicha gráfica con respecto a las asíntotas (representa los resultados que obtengas), así como los puntos de corte de la función con las asíntotas (si los hubiera). Ejercicio 4. Considera la función f definida por f() = + 1 para 1 (a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f, estudiando también su posición con respecto a las mismas. (b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). (c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f. Ejercicio 44. Considera la función f : definida para por la relación (a) Halla sus asíntotas. (b) Estudia su posición respecto de las asíntotas y representa los resultados que obtengas. (c) Corta la función a sus asíntotas en algún punto? Ejercicio 45. Sea f la función definida para - por f() = (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f y estudia la posición relativa de las mismas con la función. (b) Estudia su simetría. (c) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas. (d) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. Ejercicio 46. Sea f la función definida para 1 por f() = 1 (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f y estudia la posición relativa de las mismas con la función. (b) Estudia su simetría. (c) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas. (d) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. Ejercicio 47. Considera la función dada por ) 4 ( a) Obtén sus asíntotas y sitúa la gráfica de f respecto de ellas. f 5

6 b) Calcula los puntos de corte con los ejes. c) Estudia su simetría. d) Realiza un esbozo de la gráfica. e) A partir de dicha gráfica representa f() = 4 Ejercicio 48. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) f() = log (Indica, al menos, tres características de la gráfica de esta función) 5 si 0 b) f() = { + 1 si 0 < + si > c) f() = 4 Ejercicio 49. A partir de la gráfica de la función f() = log, haz un esbozo de las gráficas de: a) f() = - 7 +log b) f() = - log c) f()= log ( -1) Ejercicio 50. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) 8 7 f ( ) 5 si si si b) g() = 6 Ejercicio 51. a) Representa gráficamente la función f() = ln indicando al menos tres de sus características. b) A partir de la gráfica anterior obtén las gráficas de: i) y = ln ( + 1) ii) y = + ln iii) y = ln (-) Ejercicio 5. a) Representa gráficamente la función y = 1 b) A partir de la gráfica del apartado a) representa las funciones: i) f() = ii) f() = + 1 iii) f() = 1 Ejercicio 5. Representa gráficamente: 4 si 4 f() = {( 4) si 4 < < 5 si 5 Ejercicio 54. Señala tres características de la función eponencial y = a, siendo a>1. Ejercicio 55. Epresa mediante intervalos la solución de: -+5 >4 Ejercicio 56. Sabiendo que log = 0,4771 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 0 c) log 1/ b) log 900 6

7 5 d) log 70 Ejercicio 57. Sabiendo que log 45 = 1,65 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halla los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 4,5 b) log 450 Ejercicio 58. a) Racionaliza y simplifica: c) log 45 d) log 4500 b) Simplifica las siguientes epresiones hasta escribirlas en la forma a 1/n : Ejercicio 59. Calcula los siguientes límites: a) lim b) n n 1 n lim n +4n 6 n n+ 16n 10 9n c) lim 5 n d) lim ( n n +1 ) n 1 n Ejercicio 60. Indica cuál es el coeficiente de 7 8 en el desarrollo de: Ejercicio 61. Cuál es el coeficiente de 10 en el desarrollo de ( 5 ) 8? 7