Matemáticas II. * Análisis III: Integrales * o) x x. p) 3. q) 5. r) 1. s) e 2x 3 dx. t) 5 dx. u) x2 5 x 4. v) x3 3x 2 x 1. z) 3

Transcripción

1 I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Análisis III: Integrales *. Integrales inmediatas (o casi inmediatas): a) b) c) 2 7 d) 5 e) sen f) sen +7cos g) tg 2 h) 2 i) 2 j) e 2 + k) cos(a +b) l) m) 3 2 n) o) 2 p) 3 2 q) r) 2 2 s) e 2 3 t) u) v) w) 2 + ) e ( ) e ( ) 2 y) 2 e2 +e 2 e z) 3 Dividendo = cociente resto divisor divisor 2. Integrales de funciones compuestas / cambio de variable: a) (2 +6) 5 d) (5+3)(5 3) b) e) cos sen 3 c) 3 e f) 3 4

2 g) sen cos 3 q) h) i) ln j) k) ln3 l) m) sen cos 5 n) 2 2 o) arcsen 2 ln 2 p) 3. Integrales por partes: a) 2 e b) e 3 c) 2 e 2 d) [ e ] 3 e) ln f) 2 ln g) ln h) + i) r) 4 e 5 3 s) sen 2 t) ln u) e 2 e v) tg 2 tg w) tg ) 3 9 y) 3 sen 4 3 z) e 5 j) e sen k) e 2 + l) 3 cos m) sen 2 n) arctan o) arccos p) ln 2 q) 2 e r) ln s) ln 3

3 4. Integrales racionales: a) 2 6 b) c) d) e) f) g) 2 3 h) 3 2 i) j) k) l) 3 m) n) o) p) q) 3 + r) s) t) u) 2 + ( 2)( 4 2 +) v) 2 4 w) ) y) z) Integrales trigonométricas: a) cos 7 b) cotg c) 3 sen cos d) 4 sen 3 cos 2 e) sen cos 2

4 f) sen tg cos g) sen 5 cos 3 h) cos3 sen i) sen j) sen 2 cos 2 6. Determina las siguientes integrales por el método que consideres más conveniente: a) 3 f) 2 b) ln c) ln g) h) d) ln 2 e) cos ln i) 5 e 3 j) e e 2 3 e 2 7. Calcula la función f() que cumple que f''() = 6+, f()= y f()=. 8. Encuentra la familia de funciones que tienen como segunda derivada f''()=4 sabiendo que tienen un máimo relativo en =-. Determina cuál de las funciones de la familia pasa por el punto, Busca una primitiva F() de la función f()=2 4 que verifique que F [, 4]..Halla f() sabiendo que: f ' ' =cos 2 f ' 2 = f()=.calcula el área encerrada entre la gráfica de las funciones f =, g =2, h = 2. 2.Integrales definidas: a) sen2 2 b) 2 ln 3 c) 2 4 d)

5 e) h) 2 f) e g) ln e i) 2 ln e 3 j) Dadas la parábola y= 2 y la recta y=5, representa y calcula el área de los siguientes recintos: a) Recinto acotado limitado por ambas curvas. b) Recinto acotado limitado por la parábola a la izquierda, la recta a la derecha y el eje OX por debajo. c) Recinto acotado limitado por el eje OY a la izquierda, la parábola a la derecha, la recta por encima y el eje OX por debajo. 4. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las siguientes funciones en cada caso: a) f = 2 5 g = 2 5 e) f =sen g =cos con 2 b) f =4 2 g =8 2 2 c) f ( )= ( 3) g( )=2 4 f) f = 2 g = d) f = 6 g =7 g) f = 3 2 g = 2 5.Halla el área del recinto acotado limitado por las gráficas de las funciones f =e 2, g =e y el eje OY. 6.Considera el área de la región encerrada entre la parábola y= 2 y la recta y=. Esta región se divide mediante una recta horizontal y=a. Determina el valor de a que hace que la región original quede dividida en dos mitades de igual superficie. 7.Deduce la fórmula del área de un círculo de radio r y. (Nota: Una circunferencia de radio r centrada en el origen tiene por ecuación 2 y 2 =r 2 que, para valores de y positivos, puede epresarse como y= r 2 2. Después ten en cuenta la simetría) 8. Deduce la fórmula del volumen de una esfera de radio r. (Nota: Considera que la esfera se genera como un cuerpo de revolución a partir de un semicírculo que gira sobre un diámetro; ver ejercicio 7).

6 9.Considera la parábola y= 2 5. Determina la ecuación de las rectas tangentes a dicha parábola en los puntos de abscisa + y - y calcula el área del recinto acotado limitado por la parábola y ambas tangentes. 2. Calcula el área limitada por el eje OX, la gráfica de la función f =e 2 y las rectas verticales = y =a. Calcula el límite de esa integral cuando a e interpreta el resultado. 2.Determina el volumen engendrado al girar un lóbulo de la función sen() ( ) alrededor del eje OX. 22. Se considera la parábola y= 2. Compara el volumen de los dos cuerpos engendrados al hacer girar con respecto al eje OX y al eje OY respectivamente el recinto plano encerrado entre la parábola y el eje OX. 23.Si se hace girar con respecto al eje OX el recinto plano encerrado entre el propio eje OX, l a gráfica de la función f =e (a>) y las rectas = y =a se obtiene un cuerpo con forma de embudo. Determina el valor de a para que el volumen de ese cuerpo sea de 4 unidades de volumen. 24.Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada de la velocidad y que ésta es la derivada del desplazamiento (con respecto al tiempo), trata de deducir la ecuación del desplazamiento en un M.R.U.A. (Nota: Integra la igualdad v'(t)=a, y luego la igualdad s'(t)=v(t) teniendo en cada caso precaución con las constantes de integración y su interpretación cuando t=). 25.(P.A.U. 29) a) Para cada valor de c>, calcular el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función f =c 4 c 2, el eje OX y las rectas =, =. b) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado a) es mínima. 26.(P.A.U. 28) Dada la función f =e 2 se pide: a) Dibujar la gráfica de f estudiando el crecimiento, decrecimiento, puntos de infleión y asíntotas. b) Calcular f. 27.(P.A.U. 28) a) Calcular 3 ln donde ln() es el logaritmo neperiano de.

7 b) Utilizar el cambio de variable =e t e t para calcular 4 2. Indicación: Para deshacer el cambio de variable utilizar t=ln (P.A.U. 27) Dada la función f = encerrada por su gráfica y el eje OX. calcular el área de la región acotada 29.(P.A.U. 27) Dada la función f = derivada sea f() y además F()=4. determinar una función F() tal que su 3.(P.A.U. 27) Dada la función f =6 2 3, se pide: a) Hallar un valor a> tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) sea paralela a la recta y=-5. b) Hallar el área de la región acotada limitada por la gráfica de f y la parte positiva del eje OX. 2 3.(P.A.U. 26) Calcular (P.A.U. 26) Dada la función f = e 2, se pide: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f() cuando. 33.(P.A.U. 26) a) Estudiar y representar gráficamente la función f = 2 2. b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y=, = (P.A.U. 26) Dada la función f = 4 : 2 2 a) Hallar sus máimos y mínimos locales y/o globales.

8 a b) Determinar el valor del parámetro a> para el cual es f = 35.(P.A.U. 25) Sea f() una función derivable en (, ) y continua en [, ] tal que f() = y 2 f ' =. Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar f. 36.(P.A.U. 25) Calcular un polinomio de tercer grado p =a 3 b 2 c d sabiendo que verifica: i) Tiene un máimo relativo en =. ii) Tiene un punto de infleión en el punto de coordenadas (, ). iii) p = (P.A.U. 25) Se considera la función f = e : e 2 a) Calcular los etremos locales y/o globales de la función f(). a b) Determinar el valor del parámetro a tal que f = (P.A.U. 25) Se consideran las funciones f = 3 2 2, g =. a) Representar f y g en el mismo gráfico. b) Calcular el ángulo que forman en los puntos de corte. c) Calcular el área comprendida en la región acotada entre las dos funciones. 39.(P.A.U. 25) a) Determinar los intervalos de concavida y conveidad, para [, ], de la función f()=5 + cos. b) Esbozar la gráfica de la función anterior en el mismo intervalo. c) Hallar el área comprendida entre las gráficas de la función anterior f(), g = cos y las rectas =, = (P.A.U. 24) Se considera la función f =. 4 2 a) Calcular las asíntotas, el máimo y el mínimo absolutos de la función f(). b) Calcular f.

9 4.(P.A.U. 24) Sea la función f = a) Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas. b) Dibujar la gráfica de la función utilizando la información obtenida en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene eactamente tres puntos de infleión cuyas abscisas son = 3 2, 2 = 2, 3= 3 2 respectivamente. c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta =, y la recta =2. 42.(P.A.U. 23) Calcular: 3 a) sen 2 cos 5 b) c) 3 43.(P.A.U. 23) Calcular la integral indefinida (P.A.U. 22) Se considera la función f = 2 3 : a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de infleión de abscisa positiva. b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f, la recta anterior y el eje =. 45.(P.A.U. 22) Dada la parábola y=4 2, se considera el triángulo rectángulo T(r) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa = r >. a) Hallara r para que T(r) tenga área mínima. b) Calcular el área de la región delimitada por la parábola, su tangente en el punto de abscisa =, y el eje vertical. 46.(P.A.U. 22) Se considera la función f = e 3. a) Estudiar y representar gráficamente la función f(). b) Sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de f() y el eje OX entre

10 = y =p (p>) vale 9 u.d.s. calcular el valor de p. 47.(P.A.U. 22) Se considera la función real de variable real f = 2. a) Determinar sus máimos y mínimos relativos. a b) Calcular el valor de a> para el cual se verifica la igualdad f =. 48.(P.A.U. 2) Sea la función f t = e t a) Calcular f t dt. b) Se define g = f t dt. Calcular lim g. 49.(P.A.U. 2) Sea la función f() = sen. a) Calcular a> tal que el área encerrada por la gráfica de f, el eje y=, y la rectas = y =a sea 2. b) Calcular la ecuación de la tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa = 4. c) Calcular el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f() y las rectas = y = (P.A.U. 2) e a) Hallar el valor de la integral definida e. b) Calcular la integral indefinida de la función f = e variable. mediante un cambio de 5.(P.A.U. 2) Determina el área del recinto plano acotado comprendido entre las gráficas de las funciones f = 2, g = 3 y la recta =2.